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圆锥曲线的综合问题(一)详细解析版

圆锥曲线的综合问题(一)
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;2.了解圆锥曲线的简单 应用;3.理解数形结合的思想.

错误!

知识点睛

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为

0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量

y)的一元方程,

即???Ax+By+C=0,消去 y,得 ax2+bx+c=0. ??F(x,y)=0
(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为Δ ,则Δ >0?直线与圆锥曲线 C

相交;

Δ =0?直线与圆锥曲线 C 相切;

Δ <0?直线与圆锥曲线 C 相离.

(2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点,

此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则直

线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则

|AB|= 1+k2|x1-x2|

= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2



1+k12·|y1-y2|=

1 1+k2·

(y1+y2)2-4y1y2.

例题精讲(考点分析)

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系

【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,

0),且点 P(0,1)在 C1 上.

(1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程.

解 (1)椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),∴c=1,

又点 P(0,1)在曲线 C1 上,

01 ∴a2+b2=1,得

b=1,则

a2=b2+c2=2,

所以椭圆 C1 的方程为x22+y2=1.

(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m, 由???x22+y2=1,消去 y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
??y=kx+m 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以Δ 1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得 2k2-m2+1=0.① 由???y2=4x, 消去 y,得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.
??y=kx+m 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ 2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1.②

??k= 综合①②,解得?

22,或???k=-

22,

??m= 2 ??m=- 2.

所以直线 l 的方程为 y= 22x+ 2或 y=- 22x- 2.

规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程 组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含 x2 项的系数是否为零的情况,以及判别式

的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解.

【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离多 1.记

点 M 的轨迹为 C.

(1)求轨迹 C 的方程;

(2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1),若直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点,求实数 k

的取值范围.

解 (1)设点 M(x,y),依题意|MF|=|x|+1,

∴ (x-1)2+y2=|x|+1,化简得 y2=2(|x|+x),

故轨迹 C 的方程为 y2=???4x(x≥0), ??0(x<0).
(2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x(x≥0);C2:y=0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2).

由方程组?????yy- 2=14=x,k(x+2), 可得 ky2-4y+4(2k+1)=0.①

①当 k=0 时,此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方程,得 x=14.

故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点???14,1???. ②当 k≠0 时,方程①的Δ =-16(2k2+k-1)=-16(2k-1)(k+1),② 设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=-2k+ k 1.③

(ⅰ)若???Δ

<0, 由②③解得

??x0<0,

k<-1,或

k>12.

所以当 k<-1 或 k>12时,直线 l 与曲线 C1 没有公共点,与曲线 C2 有一个公共点,故此时直

线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. (ⅱ)若?????Δx0≥=00,,即?????22kkk2++1k<-01,=0,解集为?. 综上可知,当 k<-1 或 k>12或 k=0 时,直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点.

考点二 弦长问题
x2 y2 【例 2】 (2016·四川卷)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直 角三角形的三个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l′平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于 点 P.证明:存在常数λ ,使得|PT|2=λ |PA|·|PB|,并求λ 的值.

(1)解

由已知,a=

2b,则椭圆

E

x2 y2 的方程为2b2+b2=1.

由方程组???2xb22+yb22=1,得 3x2-12x+(18-2b2)=0.① ??y=-x+3,
方程①的判别式为Δ =24(b2-3),由Δ =0,得 b2=3,

x2 y2 此时方程①的解为 x=2,所以椭圆 E 的方程为 6 + 3 =1.点 T 的坐标为(2,1).

(2)证明 由已知可设直线 l′的方程为 y=12x+m(m≠0),

??? 由方程组???y=21x+m, 可得 ?? ??y=-x+3,

x=2-23m, y=1+23m.

所以 P 点坐标为???2-23m,1+23m???.|PT|2=89m2.

设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).

??x2 y2 6 + 3 =1,

由方程组

可得 3x2+4mx+(4m2-12)=0.②

???y=12x+m,

方程②的判别式为Δ =16(9-2m2),

由Δ >0,解得-3 2 2<m<3 2 2. 由②得 x1+x2=-43m,x1x2=4m2-3 12.

所以|PA|=

???2-23m-x1???2+???1+23m-y1???2

= 25???2-23m-x1???,同理|PB|= 25???2-23m-x2???.

所以|PA|·|PB|=54??????2-23m-x1??????2-23m-x2??????

=54??????2-23m???2-???2-23m???(x1+x2)+x1x2???

=54??????2-23m???2-???2-23m??????-43m???+4m2-3 12???

=190m2.

故存在常数λ =45,使得|PT|2=λ |PA|·|PB|.

规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法: 涉及弦长的问题中,应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线 的定义求解. 【训练 2】 已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为12,左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=-12x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆

交于

C,D

|AB| 5 两点,且满足|CD|=

4

3 ,求直线

l

的方程.

b= 3,
??? 解 (1)由题设知 ca=12,

解得 a=2,b= 3,c=1,

??b2=a2-c2,

x2 y2 ∴椭圆的方程为 4 + 3 =1.

(2)由(1)知,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,

∴圆心到直线

l

的距离

d=2|m|,由 5

d<1,得|m|<

25.(*)

∴|CD|=2 1-d2=2

1-45m2=

2 5

5-4m2.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

??y=-12x+m,

? 由 x2 y2

得 x2-mx+m2-3=0,

?? 4 + 3 =1,

由根与系数关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3.

∴|AB|=

???1+???-21???2???[m2-4(m2-3)]



15 2

4-m2.

|AB| 5 3 由|CD|= 4 ,得

4-m2 5-4m2=1,解得

m=±

3 3 ,满足(*).

∴直线 l 的方程为 y=-12x+ 33或 y=-12x- 33.

考点三 中点弦问题

x2 y2 【例 3】 (1)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( )

x2 y2 A.45+36=1

x2 y2 B.36+27=1

x2 y2 C.27+18=1

x2 y2 D.18+ 9 =1

(2)已知双曲线 x2-y32=1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线

y2=18x 上,则实数 m 的值为________.

解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1,-1),

所以直线 AB 的方程为 y=12(x-3),代入椭圆方程xa22+yb22=1 消去 y,得???a42+b2???x2-32a2x+94a2 -a2b2=0,

32a2 所以 AB 的中点的横坐标为2???a42+b2???=1,即 a2=2b2,

又 a2=b2+c2,所以 b=c=3,a=3 2,选 D.

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),

?x12-y321=1, ??则 x22-y322=1,





x1+x2=2x0, ③
??y1+y2=2y0, ④

由②-①得(x2-x1)(x2+x1)=13(y2-y1)(y2+y1),

显然 x1≠x2.∴yx22- -yx11·yx22+ +yx11=3,即 kMN·yx00=3,

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称,∴kMN=-1, ∴y0=-3x0.又∵y0=x0+m,∴P???-m4,34m???,

代入抛物线方程得196m2=18·???-m4???, 解得 m=0 或-8,经检验都符合.
答案 (1)D (2)0 或-8 规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+ x2,y1+y2,yx11--yx22三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求 得斜率. (2)根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由 根与系数的关系求解. 【训练 3】 设抛物线过定点 A(-1,0),且以直线 x=1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 恰被直线 x=-12平分,设弦 MN 的垂 直平分线的方程为 y=kx+m,试求 m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为 P(x,y),则焦点 F(2x-1,y). 再根据抛物线的定义得|AF|=2,即(2x)2+y2=4, 所以轨迹 C 的方程为 x2+y42=1.
(2)设弦 MN 的中点为 P???-12,y0???,M(xM,yM),N(xN,yN),则由点 M,N 为椭圆 C 上的点, 可知?????44xx2M2N++yy2M2N==44,.
两式相减,得 4(xM-xN)(xM+xN)+(yM-yN)(yM+yN)=0,
将 xM+xN=2×???-12???=-1,yM+yN=2y0, yxMM- -yxNN=-1k代入上式得 k=-y20. 又点 P???-12,y0???在弦 MN 的垂直平分线上, 所以 y0=-12k+m. 所以 m=y0+12k=34y0.

由点 P???-12,y0???在线段 BB′上(B′,B 为直线 x=-12与椭圆的交点,如图所示),所以 yB′ <y0<yB,也即- 3<y0< 3. 所以-3 4 3<m<3 4 3,且 m≠0.

基础过关

1.过抛物线 y2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A,B 两点,它们的横坐标之和等于 2,

则这样的直线( )

A.有且只有一条

B.有且只有两条

C.有且只有三条

D.有且只有四条

解析 ∵通径 2p=2,又|AB|=x1+x2+p,∴|AB|=3>2p,故这样的直线有且只有两条.

答案 B

b

x2 y2

2.直线 y=ax+3 与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的交点个数是( )

A.1

B.2

C.1 或 2

D.0

解析 因为直线 y=bax+3 与双曲线的渐近线 y=bax 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点.

答案 A 3.经过椭圆x22+y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于 A,B 两点,设 O 为坐

标原点,则O→A·O→B等于( )

A.-3

B.-13

C.-13或-3

D.±13

解析 依题意,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45°(x-1), 即 y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1 并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x=43,所以两个交

点坐标分别为(0,-1),???43,13???,∴→OA·→OB=-13,同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也

可得→OA·→OB=-13.

答案 B 4.抛物线 y=x2 到直线 x-y-2=0 的最短距离为( )

A. 2

B.7 8 2

C.2 2

D.5 6 2

解析 设抛物线上一点的坐标为(x,y),则 d=|x-y-2|=|-x2+x-2|=???-???x-12???2-74???,

2

2

2

∴x=12时, dmin=7 8 2.

答案 B 5.(2017·石家庄调研)椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB

3a 中点的直线的斜率为 2 ,则b的值为( )

3 A. 2

23 B. 3

93 C. 2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 中点 M(x0,y0),

由题设 kOM=yx00= 23. 由?????aaxx1222+ +bbyy2122= =11, ,得( (yx22+ +yx11) )( (yx22- -yx11) )=-ab.

又yx22--yx11=-1,yx22++yx11=22yx00= 23.

所以ab= 23.

23 D. 27

答案 A

6.已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭

圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为________.

解析

????? 由题意得

c= 2,

b2 a =1,

解得???ab= =2,2,∴椭圆

C

x2 y2 的方程为 4 + 2 =1.

a2=b2+c2,

x2 y2 答案 4 + 2 =1

7.已知抛物线 y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为 2,则直线 y=x+1 截抛物线所得的弦长

等于________.

解析 由题设知 p=21a=2,∴a=14.

抛物线方程为 y=14x2,焦点为 F(0,1),准线为 y=-1.

联立???y=41x2, 消去 x, ??y=x+1,

整理得 y2-6y+1=0,∴y1+y2=6,∵直线过焦点 F,

∴所得弦|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.

答案 8

x2 y2 8.过椭圆16+ 4 =1

内一点

P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是________.

解析 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由于 A,B 两点均在椭圆上, 故1x621 +y421=1,1x622 +y422=1,

两式相减得

(x1+x2)1( 6 x1-x2)+(y1+y2)4(y1-y2)=0.

又∵P 是 A,B 的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=2, ∴kAB=yx11--yx22=-34. ∴直线 AB 的方程为 y-1=-34(x-3).

即 3x+4y-13=0. 答案 3x+4y-13=0

三、解答题 9.设 F1,F2 分别是椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与

E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43a,

l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2.

??y=x+c,



A(x1,y1),B(x2,y2),则

A,B

两点的坐标满足方程组?x2 y2

消去

??a2+b2=1,

y,化简得(a2+

b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,则 x1+x2=-a2+2ab2c2 ,x1x2=a2(ac2+2-bb2 2).

因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[(x1+x2)2-4x1x2],即43a=a42+abb2 2,

故 a2=2b2,

所以 E 的离心率 e=ca=

a2-b2 2 a =2.

(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x0=x1+2 x2=a-2+a2bc2=-23c,y0=x0+c=c3.

由|PA|=|PB|,得 kPN=-1,即y0x+0 1=-1,

得 c=3,从而 a=3 2,b=3.

故椭圆

E

x2 y2 的方程为18+ 9 =1.

10.已知椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 22.

直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)当△AMN 的面积为 310时,求 k 的值.

a=2,

??? 解

(1)由题意得

c2 a= 2 ,

??a2=b2+c2.

解得 b=

2,所以椭圆

C

x2 y2 的方程为 4 + 2 =1.

??y=k(x-1),

(2)由???x42+y22=1,

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

x1+x2=1+4k22k2,x1x2=21k+2-2k42,

所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2

= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

2 (1+k2)(4+6k2)



1+2k2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d=

|k| 1+k2,

所以△AMN 的面积为 S=12|MN|·d=|k|1+42+k26k2,由|k|1+42+k26k2= 310,解得 k=±1.

能力提高
11.已知椭圆x42+yb22=1(0<b<2)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B

两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( )

A.1

B. 2

C.32

D. 3

解析 由椭圆的方程,可知长半轴长为 a=2,由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a

=8,

所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3.

2b2 由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即 a =3,可求得

b2=3,即

b=

3.

答案 D 12.(2016·四川卷)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值是( )

3

2

A. 3

B.3

2

C. 2

D.1

解析 如图所示,设 P(x0,y0)(y0>0),则 y20=2px0, 即 x0=2yp20 .

设 M(x′,y′),由P→M=2→MF,

得???x′-x0=2???p2-x′???, ??y′-y0=2(0-y′),
解之得 x′=p+3 x0,且 y′=y30.

∴直线 OM 的斜率 k=xy′′=p+y02yp0 =2yp022+p y0 又 y0+2yp02≥2 2p,当且仅当 y0= 2p 时取等号.

∴k≤ 2p = 2 2p

22,则

k

的最大值为

22.

答案 C 13.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线

AF 的斜率为- 3,那么|PF|=________.

解析

直线 AF 的方程为 y=-

3(x-2),联立???xy==--2,3x+2

3, 得 y=4

3,所以 P(6,

4 3).由抛物线的性质可知|PF|=6+2=8.

答案 8 14.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,

且|QF|=54|PQ|.

(1)求 C 的方程;

(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M,N 两点,且

A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程.

解 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0=8p.

所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.

由题设得p2+8p=54×8p,解得 p=-2(舍去)或 p=2.

所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0).代入 y2=4x 得 y2-4my

-4=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),

|AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=-1my+2m2+3.

将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+4my-4(2m2+3)=0.

设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=-4m,

y3y4=-4(2m2+3). 故 MN 的中点为 E???m22+2m2+3,-2m???,

|MN|=

1+m12|y3-y4|=4(m2+1)m2

2m2+1 .

由于 MN 垂直平分 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|,

从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,

即 4(m2+1)2+???2m+2m???2+???m22+2???2

4(m2+1)2(2m2+1)



m4

.

化简得 m2-1=0,

解得 m=1 或 m=-1.

所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.


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