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湖南高考数学知识清单


高中·数学·教材目录(150 分)
高中一年级·数学必修 1 1-1:集合与函数的概念 1-2:基本初等函数(Ⅰ) 1-3:函数的应用 高中一年级·数学必修 2 2-1:空间几何体 2-2:点、直线、平面之间的位置关系 2-3:直线与方程 2-4:圆与方程 高中一年级·数学必修 3 3-1:算法初步 3-2:统计 3-3:概率 高中一年级·数学必修 4 4-1:三角函数 4-2:平面向量 4-3:三角恒等变换 高中一年级·数学必修 5 5-1:解三角形 5-2:数列 5-3:不等式 高中二年级·数学选修 2-1 选修 2-1 第 1 章:常用逻辑用语 选修 2-1 第 2 章:圆锥曲线方程 选修 2-1 第 3 章:空间向量与立体几何 高中二年级·数学选修 2-2 选修 2-2 第 1 章:导数及其应用 选修 2-2 第 2 章:推理与证明 选修 2-2 第 3 章:数系的扩充与复数的引入 高中二年级·数学选修 2-3 选修 2-3 第 1 章:计数原理 选修 2-3 第 2 章:随机变量及其分布 选修 2-3 第 3 章:统计案例 数学选修 4-1 几何证明 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 数学选修 4-5 不等式

高中数学知识结构(代数、几何、概率统计)
代数:函数(指、对、幂) 初中(一次、二次、反)

三角(三角函数、恒等变换、解三角) 数(复数、导数、数列) 式(不等式,逻辑用语、推理证明) 几何:基础(点、直线、平面) 重点(椭圆、双曲线、抛物线) 初中(直线、圆) 难点(立体几何中的点、线、面的关系) 方法(向量 —— 几何问题代数处理) 概率统计:概型(古典概型、几何概型) 计数(排列组合,二项式定理) 概率计算(基本概率,事件分解) 统计计算(频率分布,数字特征)

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数学必修 1—第 1 章:集合与函数的概念
一、元素与集合 1、集合的含义: 研究对象统称为元素;元素组成的总体叫做集合。 2、元素的性质:确定性、互异性、无序性。 3、集合的表示:列举法、描述法。 4、集合的图示:数轴、Venn 图。 5、集合的分类:空集、有限集、无限集。 6、元素与集合的关系:属于、不属于。 7、集合与集合的关系:相等、包含(子集 真子集)。 8、集合与集合的运算:并集、交集、补集。 二、映射与函数 1、映射 (1)文字描述:设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射。 (2)图形理解: (3)符号表示: f:A ? B 2、函数(集合为数集的映射) 设 A、B 是两个非空的数集,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 与之对应,那么就称 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记 作 “f(对应关系) A(原象) B(象)”

y ? f ( x), x ? A
定义域: 自变量 x 的取值范围A ,定义域既要有数学意义又要有物理意义。 值域: 函 数 值 f ( x) 构 成 的 集 合

(1)域:

? f ( x| ) , x ? A? , 它 是 集 合

B的 子 集 。

(2)表示方法:解析式 图象法 列表法 (3)性质:单调性,奇偶性,最值(注意定义域内的存在性)。 (4)相等:对应关系完全一致且定义域要相同。 三、抽象函数(没有具体的函数解析式) (1)求解析式方法(参见解读 P36) 换元法,湊元法,待定系数法,消去法(互倒或互反),赋值法,分段法 (2)求定义域(参见解读 P28) 整式 分式 偶次根式 组合式(取交集)

y ? x0

已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [? ( x)] 的定义域,实质上是根据 ? ( x) 的值域求其定义域。 已知复合函数 f [? ( x)] 的定义域,求 f ( x) 的定义域,实质上是根据 ? ( x) 的定义域求其值域。 (2)求值域(参见解读 P29) 基本初等函数 (换元得到)基本复合函数 二次函数 两个一次函数的比式 两个二次函数的比式

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数学必修 1—第 2 章:基本初等函数
一、基本概念

?乘方运算:N ? a b 幂 a底数 b指数 ? a b ? N ?知二运算 ?? ?? ?开方运算:a ? b N 根式 N被开方数 b根指数 ?对数运算:b ? log N 对数 a底数 N真数 a ? ?指数函数:y ? a x ? a b ? N ?知一函数 ?? ?? ?对数函数:y ? loga x ?幂函数:y ? x b ?
乘方: a
n n



a 底数

n 指数
N 真数

方根: x ? a

x 叫做 a 的 n 次方根。 n 为奇数时 x ? n a , n 为偶数时 x ? ?n a , a ? 0

对数: a x ? N (a ? 0, 且a ? 1 ) x 叫做以 a 为底 N 的对数。 x ? loga N , a 底数 根式: n a 根式 正分数指数幂: a 负分数指数幂: a
m n
? m n

a 被开方数

n 根指数

? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1) 0 的正分数指数幂等于 0
? 1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)

0 的负分数指数幂没有意义

无理数指数幂: a? (a ? 0, ? 是无理数 ) 二、基本公式
指成对数幂成真 ab ? N ?? ??? ?? loga N ? b

(a ? 0, 且a ? 1, N ? 0)

a loga N ? N

幂乘指加,真成对加; a ? a ? a
r s

r ?s

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
log a M ? log a M ? log a N N

幂除指减,真除对减;

ar ? a r ?s s a

幂方指乘,真方对乘; (a r ) s ? a r?s 换底公式,其它公式。 (a ? b) ? a ? b
r r r

loga M n ? n ? loga M
loga b ? logc b logc a
n ? log a b (特别地: m,n ? 1) m

loga b ?

1 logb a

log a m b n ?

?乘方运算 ?指数函数 对 邻 ? ? a ? N ? ?开方运算 ? ?对数函数 sin ? ? cos? ? 斜 斜 ?对数运算 ?幂函数 ? ?
b

tan? ?

对 邻 cot? ? 邻 对

三、基本初等函数

3

1、指数函数: y ? a x (a ? 0, 且a ? 1 ) 定义域: x ? R

值域: f ( x) ? (0,??)

性质:过定点( 0, 1); a值变化规律; a值影响增减性; a倒 y 轴对称性。

2、对数函数: y ? loga x (a ? 0, 且a ? 1 )

? ?) 定义域: x ? (0,

值域: f ( x) ? R

性质:过定点( 1, 0); a值变化规律; a值影响增减性; a倒 x 轴对称性。

3、幂函数: y ? x a (a由0,1 隔开分5种情况,分别讨论定义 域和值域)

性质:过定点( 1, 1 ); a值变化规律; a值影响增减性; a倒 y ? x 对称性。

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四、函数图象 1、图象的平移与收扩:由一个函数图象得到另一个函数图象。 将 y ? f ( x) 的函数图象右移 a 个单位得 y1 ? f ( x ? a) 的图象。 将 y ? f ( x) 的函数图象上移 b 个单位得 ( y 2 ? b) ? f ( x) 即 y 2 ? f ( x) ? b 的图象。 将 y ? f ( x) 的函数图象扩大 c 倍得 y3 ? c ? f ( x) 的图象。 2、函数图象的自对称:一个函数图象的左右两部分对称性分析。 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) 关于原点对称;偶函数 f (? x) ? f ( x) 关于 y 轴对称。 3、函数图象的互对称:两个函数图象的各部分对称性分析。

y1 ? f ( x) 与 y 2 ? ? f ( x) 关于 x 轴对称 y1 ? f ( x) 与 y 2 ? f (? x) 关于 y 轴对称
y1 ? f ( x) 与 y2 ? ? f (? x) 关于原点对称

y1 ? f ( x) 与 y2 ? f ( x)
y1 ? f ( x) 与 y2 ? f ( | x | ) y ? f ( x) 与 x ? f ( y ) y ? f ( x) 与 ? x ? f ( ? y )
五、反函数

下方上折 右方左折

关于 y = x 线对称(函数与反函数图象) 关于 y = - x 线对称

已 知 一 一 对 应 函 数 y ? f ( x) ( x ? A, y ? B) , 等 价 写 成 x ? g ( y ) 形 式 , 再 改 写 成

y ? g ( x) ( x ? B, y ? A) 形式。则 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 互为反函数。
例:指数函数 y ? a
x

(a ? 0, 且a ? 1 )

(x?R

f ( x) ? (0,??) ) f ( x) ? R )

对数函数 y ? loga x (a ? 0, 且a ? 1 )

? ?) ( x ? (0,

指数函数与对数函数互为反函数,图象关于 y ? x 对称。

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数学必修 2—第 1 章
一、柱、锥、台、球 1、棱柱:底面平行,侧棱平行。

空间几何体(基本元素:点、线、面)

性质:(1)底面与平行截面全等;(2)侧面和侧棱截面是平行四边形。 2、棱锥:多边形底面,公共顶点。 性质:(1)底面与平行截面相似;(2)(底、侧、全)面积比等于对应边平方比。 正棱锥的概念:底面是正多边形,顶点的射影在底面中心的棱锥。 正棱锥的特点:侧棱相等,斜高相等,侧面是全等等腰三角形。 3、棱台:棱锥被平行于底面的平面所截得的部分。 4、圆柱、圆锥、圆台:以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴, 旋转一周得到的几何体。 性质:(1)平行于底面的截面都是圆;(2)轴截面是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。 5、球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周得到的几何体。 性质: (1)半径和直径相等; (2)截面都是圆,过圆心的截面圆最大。 二、三视图和直观图 1、三视图:正视图、侧(左)视图、俯视图。 (长对正,宽相等,高平齐) 2、直观图:找关键点,画轴,点对应,成图。 三、表面积公式 空间几何体的表面积或全面积=侧面积+底面积 1、直棱柱侧面积: S直棱柱侧面积 ? ch

1 1 nah ' ? ch ' 正四面体的表面积= 3 a 2 2 2 1 1 3、正棱台侧面积: S 正棱台侧面积 ? n(a ? ? a )h ? ? (c ? ? c)h? 2 2 2 4、圆柱的表面积: S圆柱表面积 ? 2 ? ? r ? 2 ? rl ? 2 ? r (r ? l )
2、正棱锥侧面积: S正棱柱侧面积 ? 5、圆锥的表面积: S圆锥表面积 ? ? r ?
2

6、圆台的表面积: S圆台表面积 7、球的表面积: S球 ? 4?R
2

1 ? 2 ? r ? l ? ? r (r ? l ) 2 1 ? ? r ?2 ? ? r 2 ? ( ? 2 ? r ? ? 2 ? r)l ? ?( r ? 2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) 2

8、(棱、圆)台的中截面积: S台中 ? ( 四、体积公式

S上 ? S下 2

)2

1、柱体(棱柱、圆柱)体积: V柱体 ? S 底 h 2、锥体(棱锥、圆锥)体积: V锥体 ? 3、台体(棱台、圆台)体积: V台体 4、球的体积: V球 ?

1 S底h 3 1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

4 3 ?R 3
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数学必修 2—第 2 章:立体几何
一、四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (平行于同一平面的两个平面互相平行) 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 二、线面的位置关系 1、线线关系:平行、相交、异面 过一点,有且只有一条直线与已知直线平行,但有无数条直线与已知直线垂直。 2、线面关系:平行、相交、面内 过一点,有无数条直线与已知平面平行,但只有一条直线与已知平面垂直。 3、面面关系:平行、相交、(重合) 过一点,有且只有一个平面与已知平面平行,但有无数个平面与已知平面垂直。 三、线面的平行关系 1、线面平行的判定定理:线线平行则线面平行 2、线面平行的性质定理:线面平行则线线平行 3、面面平行的判定定理:线面平行则面面平行(交线平行则面面平行) 4、面面平行的性质定理:面面平行则线线平行(线面平行,平行线段相等,对应线段成比例) 三、线面的垂直关系 1、线面垂直的判定定理:线线垂直则线面垂直(平行线垂直则线面垂直,平行面垂直则线面垂直) 2、线面垂直的性质定理:线面垂直则线线垂直(线面垂直则线线平行,线面垂直则面面平行) 3、面面垂直的判定定理:线面垂直则面面垂直 4、面面垂直的性质定理:面面垂直则线面垂直(过垂面内一点垂直于平面的垂线在垂面内) 附:三垂线定理及逆定理:平面内的一条直线,垂直射影则垂直斜线,垂直斜线则垂直射影。 四、补充说明 1、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线(或既不平行也不相交的两条直线)。 2、异面直线的判定:面内一点与面外一点的连线,与面内不经过该点的直线是异面直线。 3、两异面直线所成的角:范围为 ( 0° ,90°] 4、直线与平面所成的角:范围为( 0° ,90°]。 5、平面与平面所成的角(平面角):范围为 ( 0° ,180° ] 6、点到直线的距离:垂线段 7、点到平面的距离:垂线段 8、两异面直线的距离:公垂线段(有且只有一条)

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数学必修 2—第 3 章
一、倾斜角与斜率 1、倾斜角: ? ? [0?,180?) 2、斜率: k ? tan?

直线与方程

(? ? 90?时斜率不存在 )

k?

y 2 -y1 x2 -x1

( x1 ? x2 )

二、直线方程(注意水平直线、竖直直线、过原点直线,以防对而不全) 1、点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 2、斜截式: y ? kx ? b 3、两点式: 4、截距式:

(k存在)
(k存在)
(k存在,k ? 0)

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

(k存在,k ? 0,不过原点 )

5、一般式: Ax ? By ? C ? 0

( A2 ? B 2 ? 0)
A1 B2 ? A2 B1且A1C2 ? A2 C1 A1 B2 ? A2 B1 , A1 A2 ? B1 B2 ? 0

三、两直线的位置关系(注意水平直线、竖直直线,以防对而不全) 1、平行(不重合) : k1 ? k 2且b1 ? b2 , 2、相交(含垂直): k1 ? k 2 , 1、交点:解方程组 2、两点间的距离公式: | P 1 P2 |? 3、点到直线的距离公式: d ? 五、直线系方程 1、平行直线系方程: Ax ? By ? ? ? 0 2、垂直直线系方程: Bx ? Ay ? ? ? 0 3、交点直线系方程: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 六、对称问题 1、点对点对称(中心对称) 2、点对直线对称 3、直线对点对称 4、直线对直线对称 5、直线上的点到两定点的距离之和最小(同边与异边) 6、直线上的点到两定点的距离之差最大(同边与异边)

k1 ? k 2 ? ?1 ,

四、交点与距离公式(注意水平直线、竖直直线,有简化公式)

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
(? ? C )

(l 2除外)

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数学必修 2—第 4 章
一、圆的方程 1、标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 2、一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 二、点与圆的位置关系(圆上,圆内、圆外) 1、几何判断: | CM |? r , | CM |? r , | CM |? r 2、代数判断:设 M (m, n) , (m ? a) 2 ? (n ? b) 2 ? r 2 三、直线与圆的位置关系(相离,相切,相交) 1、几何判断: d ? r , d ? r , d ? r

圆与方程

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F 2 即: (x ? ) ? ( y ? ) ? ( ) 2 2 2

(? r 2 , ? r 2 )

3、点到圆上点的距离最值:点在圆外;点在圆内。(与圆心的连线与圆的交点)

2、代数判断:将直线方程代入圆方程,再由 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 判断。 3、直线与圆相离时,求距离最值:过圆心直线与圆的交点。 4、直线与圆相切时,求切线方程:由 d ? r 推导 (1)已知圆上点:

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2
x0 ? x y ?y ?E 0 ?F ?0 2 2

或 x0 x ? y 0 y ? D (2)已知圆外点: (3)已知斜率 k: y ? kx ? r 1 ? k 2

l 1 ? k AB ( ) 2 ? d 2 ? r 2 戓 | AB |? 1 ? k AB 2 ? | x A ? x B |? (4) 直线与圆相交时, 求弦长: ? | y A ? yB | 2 | k AB |
(6)切线长: | PM |? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 四、圆与圆的位置关系(内含,内切,相交,外切,相离) 1、几何判断:内含( d ?| r1 ? r2 | ),内切( d ?| r1 ? r2 | ), 相交( r1 ? r2 ? d ?| r1 ? r2 | ),外切 d ? r1 ? r2 ,相离 d ? r1 ? r2 2、代数判断:方程组无解(内含或相离),一个解(内切或外切),两个解(相交) 3、求公切线:画图确定条数;利用代数或几何方法求解。 五、圆系方程 1、同心圆系: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ?2
2 2

2

2

2

或 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? ? ? 0

2、过定点圆系: ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ?1 ( x ? x0 ) ? ?2 ( y ? y0 ) ? 0 3、过直线与圆的交点圆系: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 4、过两圆的交点圆系: x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0 不含圆 C2,特别地:当 ? ? ?1 时为公共弦或公共切线的直线方程。 六、空间直线坐标系 1、两点距离: | P 1P 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

2、对称坐标:面对称反一个,轴对称反两个,原点对称反三个。

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数学必修 3—第 1 章
一、算法概念:按照规则 解决问题 的 明确 有限 步骤。 二、算法描述 1、自然语言:将各步骤用文字进行说明。

算法初步

2、程序框图(流程图) :起止框、输入输出框、处理框、判断框 起止框(单出入) ,入出框(单入单出不计算) ,处理框(单入单出有计算) ,判断框(单入双出) 。 3、程序设计语言:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 三、算法结构 1、顺序结构:按照顺序 依次执行 2、条件结构:条件判断 分支执行(AB 型 A 型) 3、循环结构:条件判断 循环执行(先循环直到型 当型后循环) 注意:计数变量的初值步长终值,累计变量的表示,循环体的位置 三、算法语句 1、输入语句:INPUT “提示内容”;变量 1,变量 2 2、输出语句:PRINT “提示内容”;变量 1,变量 2 3、赋值语句:变量 = 表达式 (把右边的值赋给左边变量) 4、条件语句: 5、循环语句: 6、结束语句:END 四、算法应用 1、辗转相除法(相除取余,余 0 取中,约则倍之) 2、更相减损术(相减取差,差等取中,约则倍之) 3、秦九韶算法(n 次多项式需 n 次乘法和 n 次加法) 4、进位制(按权展开求和 → 十进制数 → 除基取余逆写) 说明:入出框一般不计算,变量名与变量值的关系 计数变量与累计变量的技巧 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 WHILE 条件 循环体 WEND IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF

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数学必修 3—第 2 章
收集数据:普查 抽样调查

统计

实际问题 → 确定对象 → 收集数据 → 整理数据 → 分析数据 → 作出推断 整理数据:条形统计图 拆线统计图 扇形统计图 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图 茎叶图 分析数据:集中趋势(平均数 中位数 众数) 离散程度(极差 方差 标准差) 作出推断:用样本估计总体 变量间的相关关系 0、基本概念 1、总体、个体、容量、抽样、样本:所有对象称总体,每个对象称个体,个体的数目叫容量。从总体 中抽取个体的过程叫抽样,抽出的个体统称样本。 一、随机抽样(机会均等的等可能抽样) 1、简单随机抽样(个体有限 机会均等 逐个抽取 抽不放回) (1)抽签法:总体容量小,样本容量小。编号,做签,搅拌均匀,依次抽取,组成样本。 (2)随机数表法:总体容量大,样本容量小。编号(位数相等),行列选数,读数,判断,组成样本。 2、系统抽样:总体容量大,样本容量大。(随机剔除)编号,分段,随机首号,按规则抽取,组成样本。 3、分层抽样:总体分差异明显的几部分。分层,算抽样比例,算各层个体(有可能需随机剔除部分个 体) ,各层抽样(简单随机抽样或系统抽样) ,组成样本。分层抽样的代表性好。 三、频率分布 计算极差 组数组距 决定分点 列表绘图 1、频率分布表 2、频率分布直方图 3、频率分布折线图 4、茎叶图(保留所有信息,可以随时记录,但容量位数受限) 四、数字特征 1、平均数:反映数据的平均水平,是频率分布的重心

x?

x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? (面 积 ? 中点) n

中位数代表“中等水平”是频率分布的等分线,众数代表“多数水平”是峰值。 2、标准差:反映数据相对平均水平的波动程度。 (差方均根)

s ? s2 ?

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 n

(1)如果把一组数据中的每一个数据都加减同一常数,平均数加减常数,标准差不变。 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以常数 k,平均数变为 k 倍,标准差变为 k 倍。 五、变量相关 (自变量取值一定时,因变量取值带有随机性的两变量之间的关系) 两变量之间可能的关系有:确定关系 因果关系 伴随关系 没有关系 1、散点图:建系 描点 分析 2、线性回归方程(最小二乘法)

? ? bx ? a y

b?

?x y ?x
i i

i 2

? nx ? y ? nx 2

a ? y ? bx

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数学必修 3—第 3 章
一、概率基础 1、基本概念: (1)随机试验(可重复进行、有明确结果、是随机出现) (2)确定事件(必然事件、不可能事件)

概率

(3)随机事件(关系:包含、相等、互斥、对立; 运算:并运算 A∪B、交运算 A∩B) (4)基本事件:一次试验中可能出现的每一个结果。 (5)复杂事件:由两个或两个以上基本事件构成的随机事件。 (6)频数与频率:相同条件下重复 n 次试验,某事件 A 出现的次数 n A 称频数, f n ( A) ?

nA 称频率。 n

(7)概率:反映随机事件发生的可能性大小,是事件 A 的频率在理论上的期望值。记作: p ( A) 2、基本性质: (1)必然事件的概率 P(?)=1,不可能事件概率为 P(Φ )=0,因此 0≤P(A)≤1; (2)当事件 A 与 B 互斥时,P(A∪B)= P(A)+ P(B); (3)当事件 A 与 B 对立时,P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,即:P(A)=1—P(B); 二、古典概型的概率计算(基本事件的有限性和每个基本事件发生的等可能性) (1)写出基本事件的总个数 n (按照顺序逐个写出各种可能的结果,要做到不重不漏) 。 (2)算出事件 A 包含的基本事件个数 m 。 (3)事件 A 的概率 p ( A) ?

m n

(4)较复杂事件的概率计算方法(转化为互斥事件或对立事件) 。 三、几何概型的概率计算(基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性) (1)将基本事件理解为某几何区域内的一点,所有的基本事件构成一个总区域。 (2)将事件 A 理解为总区域内的部分区域。 (3)事件 A 的概率 p( A) ?

构成事件A的区域(长度、角度、 面积、体积) 所有基本事件的总区域 (长度、角度、面积、 体积)

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数学必修 4—第 1 章
一、任意角及弧度制

三角函数

1、任意角:顶点、始边、终边、旋转方向、旋转圈数。正角、负角、零角。象限角、轴线角。 2、角的度量与互化:角度制、弧度制。分秒化成度, 180?对应? rad ,同一式中不能混用。 3、角的表示: (1)与 ? 终边相同的角集

S ? {? | ? ? k ? 2? ? ? , k ? Z} S ? {? | ? ? k ? ? ? ? , k ? Z }

(2)与 ? 终边同线的直线角集

(3)区间角表示 先在( 0 ~ 2? )内写一个区间,再加周期。 4、应用:象限角均分的象限判断(均分象限,依次标号) 。时钟问题。弧长与面积的计算。 二、三角函数的基础知识 1、三角函数的定义: 设任意角 ? 的终边上任一点 P 的坐标是(x,y) , 它与原点的距离为 r,那么:

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? 。 r r x

以角为自变量,以比值为函数值的函数,统称三角函数。 2、三角函数的 定义域、值域(结合正弦线余弦线正切线理解) 、象限符号(结合坐标理解) 3、诱导公式:将角化成 k ? 90? ? ? , k ? Z 形式, “奇变偶不变,符号看象限。 ” 4、三角函数式的化简与求值:负化正,大化小,化到锐角就完了。
2 2 5、同角公式: sin ? ? cos ? ? 1, sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ,

sin ? ? tan ? (知一全知) cos ?

三、三角函数的图象与性质(定义域、值域、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性) 1、正弦函数 y ? sin x 2、余弦函数 y ? cos x 3、正切函数 y ? tan x

四、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 振幅: A , 周期: T ?

y ? A s i n? (x ? ? ) ? k

2?

?

,频率: f ?

? ,相位: (?x ? ? ) ,初相: ? 2?

13

数学必修 4—第 2 章
一、向量的有关概念

平面向量

1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量。区分(几何)有向线段、 (代数)向量、 (物理)矢量。 2、向量的表示:几何法 AB ,字母法 a ;代数法 a ? x i ? y j ,坐标法 a ? ( x, y) 。 3、向量的夹角:两向量的起点移到同一点后所形成的夹角,范围是 [0?,180?] 4、零向量、单位向量、相等相量、平行向量(向量可以平移,平行向量也即共线向量) 二、向量的基本运算(交换律,结合律,乘法对加法的分配律) 1、加法:法则(首尾相接,坐标相加) ;规律(交换律,结合律) 2、减法:法则(连接终点,坐标相减) ;规律(减即加反) 3、数乘:法则( ? a ,坐标相乘) ;规律(交换律,结合律,数加分配律,向加分配律) 4、点乘(点积内积数量积) :法则( a ? b ?| a | ? | b | cos? , a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ) ; 规律(交换律,数乘结合律,分配律) ,切记:点乘不满足向量结合律和向量消去律。 三、向量的基本定理 1、共线相量定理:向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a 。 2、平面向量定理:如果非零向量 e1 , e2 共面不共线,那么对于这个平面内的任一向量 a ,有且只有一 对实数 ? 1, ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 (向量按方向分解与分解的唯一性) (1)基底:共面不共线的非零向量 e1 , e2 叫该平面的一组基底。 (2)正交分解:基底 e1 , e2 垂直时的向量分解。直角坐标系中的坐标可以表示一个向量。 四、方法技巧(将平面几何语言转化为向量语言,向量运算,运算结果再转化为平面几何语言) 1、向量加减法: a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 加法(首尾连) ,减法(共起点) ,化减为加,凑零法。

?

?

?

?

?

?

2、向量相等与平行: a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2 3、相量点乘应用:向量夹角 cos? ?

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
x1 x2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2 2

a ?b | a |?|b|

?

a ? b ? a?b ? 0

4、证明三点共线:先证相量共线(向量 b ? ? a ,或坐标 x1 y 2 ? x2 y1 ) ,再证相量共点。 5、证明三线共点:先求两线交点,再证交点在第三条线上。 6、重心坐标: (

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3
a ? 2a ? b ? b
2 2

7、向量的模: a ? b ?

7、向量不等式: | a | ?| b | ? a ? b ? | a | ?| b | 五、注意: 1、零向量问题,向量平移,坐标表示的向量起点在原点。 2、与向量共线的单位向量有两个,定比分点隐含有共线关系。

14

数学必修 4—第 3 章
一、三角恒等变换公式

三角恒等变换

起源公式(差角余弦公式) : cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 和差角公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? tan ?

倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 tan? tan 2? ? 1 ? tan2 ?

积化和差公式:

降幂公式

1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 sin ? ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 1 sin ? ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2
和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? tan2 ? ? 2 2

半角公式:符号看象限

sin

1 ? cos? ? 1 ? cos? cos ? ? 2 2 2 2 ? 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? tan ? ? ? ? 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ??

?

万能公式:
? ??

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??

2

cos

? ??

cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??

2

sin

? ??

2

sin ? ?

2 t an

?
2
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??
2

2

cos

? ??

2

1 ? t an

?
2

cos? ?

1 ? t an2 1 ? t an
2

? ?
2 2
tan ? ? b a

tan ? ?

化一公式:

sin

? ??
2

2

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )

正弦加正弦正弦在前,正弦减正弦余弦并肩, 余弦加余弦余弦并肩,余弦减余弦余弦未见(负) 。

二、恒等变换公式的应用 1、求值:切化弦法,和积互化,升降幂法,辅助元素法,1 的代换法。 (1)变角变次变名 P160; (2)整体法 P175 2、求最值:P172 (1) y ? sin x cos x
2

(2) y ? a sin x ? b cos x (5) y ?

(3) y ? a(sin x ? cos x) ? b sin x ? cos x (6) y ? ax ?

(4) y ? a sin x ? b sin x ? c

a sin x ? c b cos x ? d

b x

3、化简:不开方不分母,项少种少值最好。 (1) cos ? ? cos 2? ? cos 4? ? cos 8? 加启动式 2 sin ? (2) 1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )
2

15

数学必修 5—第 1 章
一、三角形边角关系

解三角形

1、边关系:任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。 2、角关系:内角和等于 180°,外角等于不相邻的两内角和。 3、边角关系:等边对等角;等角对等边;大边对大角。 4、三角等差则中角 ? 60? ,三角等差且三边等比则是正三角形。 二、正弦定理

a b c ? ? ? 2 R (对边对角外接圆) s i nA s i n B sin C ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C
③ sin ? ?

a b c a?b?c a b c ? ? ? , sin ? ? , sin C ? ; ④ 2R 2R 2R sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C

三、余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A (三边三角 6 参数,知 3 得 3)
cos A ? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ; cosB ? ; cosC ? . 2bc 2ac 2ab

四、射影定理 五、面积公式

a ? bco s C ? c c o sB

1 1 1 abc 1 a ? ha ? a ? b s i n C ? a ?cs i n B? ? (a ? b ? c) ? r 2 2 2 4R 2 五、诱导公式: A ? B ? C ? ? sin( A ? B) ? sin C cos(A ? B) ? ? cosC tan(A ? B) ? ? tanC S? ?

sin

A? B C A? B C ? cos cos ? sin 2 2 2 2 tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? tan B ? tan C

tan

A? B C ? cot 2 2

六、应用举例: 1、判断三角形的形状: sin 2 A ? sin 2 B ? A ? B或A ? B ? 90?

a 2 ? b 2 ? c 2 , A为直角; a 2 ? b 2 ? c 2 , A为钝角; a 2 ? b 2 ? c 2 , A为锐角
2、解三角形:三边三角 6 参数,知 3 求 3 ①已知三角(AAA)不能求解; ②已知三边(SSS)有解唯一; ③两角夹边(ASA)有唯一解; ④两边夹角(SAS)有唯一解; ⑤两角对边(AAS)有唯一解; ⑥两边对角(SSA)一解两解或无解; 对于复杂的图形可以把复杂的图形独立画出一些简单的三角形独立求解。 3、证明三角形中的恒等式或不等式:如 4、求三角形中有关最值:将边角混合函数转化成某边函数或某角函数再求最值。 5、实际应用中的名词:坡度坡比,仰角俯角,方位角方向角,基线,

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数学必修 5—第 2 章
一、数列基础 1、数列:按照一定次序排列的一列数。 数列与集合

数列

数列与函数

2、数列的分类:有穷无穷 有界无界 递增递减 常数摆动 3、数列的表示:列表法,图象法,通项公式(解析法) ,递推公式。 4、通项公式: an ? f (n) 统一结构(如分式幂式) ,分析关系,符号处理,变换处理。 5、求和公式: S n ? a1 ? a2 ? ? ? an 6、公式转换: (1)通项公式 ? 求和公式:拆项相消(分母是等差数列相乘)

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? d ) d n n ? d
P88

12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

1 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)] 2 2

(2)求和公式 ? 通项公式:直接法 a1 ? S1 ,an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ;递推法(与 an 有关) (3)递推公式 ? 通项公式:累加法 an ? an?1 ? f (n) ,累乘法 an ? an?1 ? g (n) , 辅助数列法(平方、开方、倒数、线性、其它函数变换) (P56,P78) 二、等差数列

a1 , d , n, an , S n

知3得2 求和公式 S n ?

1、基本公式:通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d

a1 ? a n n(n ? 1) ? n ? na1 ? ?d 2 2

2 2、判断:定义式 an ? an?1 ? d ,中项式 2an ? an?1 ? an?1 ,通项式 an ? dn ? b ,求和式 S n ? An ? Bn

3、求和最值:函数法(接近取整) ,图象法,通项法(变号) 三、等比数列

a1 , q, n, an , S n

知3得2
n ?1

1、基本公式:通项公式 an ? a1 ? q

a1 ? a n q a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? 求和公式 S n ? 1? q 1? q

2 2、判断:定义式 an ? q ? an?1 ,中项式 an ? an?1 ? an?1 ,通项式 a n ? kq n ,求和式 S n ? A(q n ? 1)

三、性质与应用 1、主要性质: (1)一个等差(或等比)数列依次 k 项取值或求和,新数列是等差(或等比)数列。 (2)二个等差(或等比)数列的和差(或积商) ,是等差(或等比)数列。 (3)等差数列为指数的新数列是等比数列,等比数列为真数的新数列为等差数列。 (4)若 m ? n ? p ? q ,在等差数列中有 am ? an ? a p ? aq ;在等比数列中有 am ? an ? a p ? aq (5)两等差数列的第 n 项之比等于前(2n-1)项的和之比。 an / bn ? S 2n?1 / T2n?1 (6)等差数列 2n 项,则 S奇 ? nan,S偶 ? nan?1 ,且 S偶 ? S奇 ? nd,S奇 / S偶 ? an / an?1 (7)等差数列 2n-1 项,则 S奇 ? nan,S偶 ? (n ? 1)an ,且 S奇 ? S偶 ? an,S奇 / S偶 ? n /(n ? 1)
n (8)等比数列 S m?n ? S n ? q S m

2、主要应用: (1)数列求和的基本方法:等差求和,等比求和,分开求和,错位相减,拆项相消,合比定理法 (2)等差数列和等比数列的对称设项
17

数学必修 5—第 3 章
一、不等式基础

不等式

1、概念:严格与非严格不等式;绝对、条件与矛盾不等式;同向与异向不等式 2、性质: (1)对称性 a ? b ? b ? a (3)加法性 a ? b ? a ? c ? b ? c (4)乘法性 a ? b且c ? 0 ? ac ? bc (2)传递性 a ? b且b ? c ? a ? c

a ? b且c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b且c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0且c ? d ? 0 ? ac ? bd
(5)开方性 a ? b ? 0 ? n a ? n b 4、应用:函数的单调性 二、一元二次不等式 3、方法: (1)作差化积定号法; (2)作商变形比 1 法

a ? b ? 0 ? an ? bn

(6)倒数性 a ? b且同号 ? 1 / a ? 1 / b

y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c, a ? 0

1、不等式求解:绘图 ? 求根 ? 写解集 2、求不等式系数:解集 ? 写根 ? 求系数(韦达定理) , 注意二次项系统! 3、分式不等式: (可能要移项通分)转化为整式不等式并注意分母不为零。 4、高次不等式:根轴法(求根绘轴画线法) ,平方项和不能分解的二次项处理。 三、二元一次不等式 1、约束条件:由 x, y 组成的方程或不等式。 2、由约束方程构成的平面区域:绘函数图象确定平面区域。注意边界! 3、目标函数:由 x, y 决定的解析式(二元函数) 。 4、区域内目标函数的最值: (1)线性目标函数 z ? Ax ? By ,转化为 y ? ?

A z x ? 求截距。 B B

(2)圆形目标函数 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ,转化为点 ( a, b) 到区域求距离。 (3)分式目标函数 z ?

ay ? b d b ,转化为点 ( ? ,? ) 与区域点求斜率。 cx ? d c a

四、基本不等式

a?b ? ab (算术平均值大于等于几何平均值) 2

1、几何意义:直角三角形的高小于等于斜边的一半。 2、重要公式: a 2 ? b 2 ? 2ab

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
1 1 4 ? ? a b a?b

a2 ? b2 a ? b 2 ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b
4、常值代换: (1)已知 ax ? by ? m ,求

3、极值定理:一正二定三相等(和为定值积有最大,积为定值和有最小) ,方法(拆项添项变元)

1 1 a b ? 的最小值。 (2)已知 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y x y

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数学选修 2-1—第 1 章:常用逻辑用语
一、命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题) 1、命题概念:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。命题有真有假。 2、命题结构:“若 p ,则 q ”的结构形式, p 为命题的条件, q 为命题的结论。 3、四种命题及真假性关系:逆否命题具有相同的真假性。

二、条件(充分不必要、必要不充分、充分必要) 1、概念:若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件。 2、判断:定义法;等价法;逆否法;集合法(数轴法);关系图法。 3、证明:先由结论推条件证必要性,再说明或证明充分性。 二、连接词(且、或、非) 1、且:把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q 。真真才真。 2、或:把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q 。假假才假。 3、非:对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p 。一真一假。 4、否定运算: ?( p ? q) ? (?p) ? (?q), ?( p ? q) ? (?p) ? (?q), ?(?p) ? p 四、量词(全称量词、存在量词) 1、全称量词:短语“所有的” 、 “任意一个”在逻辑中常称全称量词,用“ ? ”表示。含有全称量词的 命题称为全称命题。全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” 。 2、存在量词:短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中常称存在量词,用“ ? ”表示。含有存在量 词的命题称为特称命题。特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 。 3、否定运算: ???x ? M , p( x)? ? ?x0 ? M , ?p( x0 ) ; ???x0 ? M , p( x0 )? ? ?x ? M , ?p( x) 五、应用 1、判断充要条件的四个方法:定义法,逆否法,传递图,集合图。 2、已知根的范围,求二次函数的参数范围( a, ?, f ( x 0 ),

?b )。P45 2a

3、已知不等式成立的范围,求不等式的参数范围(将不等式变形成函数,再转化为求极值)P35

?x ? M , g ( x) ? 0恒成立 ? g ( x) min ? 0 ?x ? M , g ( x) ? 0恒成立 ? g ( x) max ? 0 ?x0 ? M , g ( x0 ) ? 0成立 ? g ( x) ?x0 ? M , g ( x0 ) ? 0成立 ? g ( x)
max min

?0

?0

19

数学选修 2-1—第 2 章:圆锥曲线与方程
曲线与方程基础(直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线;二元方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 1、曲线与方程的对应关系:平面曲线的点集 与 二元方程的解集 一一对应 2、已知曲线条件求曲线方程:建系设点,列式代换,化简验证(查漏除杂)。 3、已知曲线方程分析曲线性质:将二元方程转化为标准形式分析 4、求动点的轨迹或方程:直接法、相关法、交点消参法、待定系数法。轨迹要解释,方程标范围。 5、两曲线的交点:特殊先处理、二元变一元、判别式计算。 一、直线(满足一次方程的点的轨迹。一般方程: Ax ? By ? C ? 0 ) 1、标准方程: y ? kx ? b (参数意义) 。水平线、竖直线单独分析。 2、平行(不重合) : k1 ? k 2且b1 ? b2 ,相交(含垂直) : k1 ? k 2 , 3、距离公式: | P 1 P2 |?

k1 ? k 2 ? ?1

A2 ? B 2 4、平行线系方程: Ax ? By ? ? ? 0 (? ? C ) ;垂直线系方程: Bx ? Ay ? ? ? 0
5、对称问题:点点对称、点线对称、线点对称、线线对称 二、圆(一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 1、概念:到定点的距离等于定长 的点的轨迹 2、标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (参数意义)

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

3、直线与圆的位置关系(相离,相切,相交) 4、圆与圆的位置关系(内含,内切,相交,外切,相离) 5、求弦长: | AB |?| x A ? x B | ? 1 ? k 2
2 2

戓 ( ) ?d ?r
2 2

l 2

2

6、切线长: | PM |? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 三、椭圆(一般方程 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 1、概念: (1)到两定点的距离之和等于常数 2a 的点的轨迹。 (2)到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数 e ? 2、标准方程:

c ,当 0 ? e ? 1 时,点的轨迹是椭圆。定点称焦点,焦距为 2c 。 a

x2 y2 ? ? 1 (参数意义) a2 b2
b a2 c b 2 2 ? 1 ? e (即 ),准线 x ? ? ? 1? ( ) a c a a

3、性质: a 2 ? b 2 ? c 2 ,离心率 e ?

图象顶点、范围、对称性。通径= 4、应用:

2b 2 a

S 焦点三角形 ? b 2 tan

?
2

(1)直线与椭圆的位置关系(相离,相切,相交):直线函数代入椭圆方程后用判别式。
2 (2)计算弦长: | P 1P 2 |?| x1 ? x2 | ? 1 ? k

式中 | x1 ? x 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

(3)中点弦和弦中点有关的计算:设而不求 P72

20

四、双曲线(一般方程 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 1、概念: (1)到两定点的距离之差等于常数 2a 的点的轨迹。 (2)到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数 e ? 2、标准方程:

c ,当 e ? 1 时,点的轨迹是双曲线。定点称焦点,焦距为 2c 。 a

x2 y2 ? ? 1 (参数意义) a2 b2
b a2 c b 2 2 ? e ? 1 (即 ),准线 x ? ? ? 1? ( ) a c a a

3、性质: c 2 ? a 2 ? b 2 ,离心率 e ? 渐近线 y ? ? 4、应用:

b 2b 2 x ,图象顶点、范围、对称性。通径= a a

S焦 点 三 角 形 ? b2 / t a n

?
2

(1)直线与双曲线的位置关系(相离,相切,相交):数形结合。
2 (2)弦长: | P 1P 2 |?| x1 ? x2 | ? 1 ? k

式中 | x1 ? x 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

(3)中点弦和弦中点有关的计算:设而不求 P96 五、抛物线(一般方程 Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ) 1、概念:到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。定点称焦点,焦距为 p/2 。 2、标准方程: y 2 ? 2 px 3、性质:准线 x ? ? 4、应用: (1)直线与抛物线的关系(相离,相切,两种相交):直线函数代入抛物线方程后用判别式。 (2)弦长和弦中点有关的计算: P116 椭圆 双曲线 抛物线 (参数意义)

p p ,图象顶点、范围、对称性。通径= 2 p ,焦半径= x 0 ? 2 2

a, b(c, e)
参数

a, b(c, e)

p

e?

c b ? 1 ? ( )2 ? 1 a a
x?? 2b 2 a
b 2 tan

e?

c b ? 1 ? ( )2 ? 1 a a
x?? 2b 2 a a2 c

e ?1

准线 通径长 焦点三角形面积 弦长

a2 c

x??

p 2

2p

?
2

b 2 / tan

?
2

2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k 2 ,式中 | x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

弦中点

k AB

b 2 x0 ?? 2 ? a y0

k AB
y??

b 2 x0 ? 2? a y0

k AB ?

p y0

渐近线

b c 1 x, ? a a cos ?
21

数学选修 2-1—第 3 章:空间向量与立体几何
一、空间向量的有关概念 1、向量:在空间中,既有大小又有方向的量叫做向量。 2、向量的描述:线描述 AB ,

p ;点描述 OP ? x i ? y j ? zk , OP ? ( x, y, z) 。线点描述互换

3、向量的夹角:两向量的起点移到同一点后所形成的夹角,范围是 [0?,180?] 4、零向量、单位向量、相等相量、相反向量、共线向量(平行向量) 二、向量的基本运算(交换律,结合律,乘法对加法的分配律) 1、加法:法则(首尾相接,坐标相加) ;规律(交换律,结合律) 2、减法:法则(连接终点,坐标相减) ;规律(减即加反) 3、数乘:法则( ? a ,坐标相乘) ;规律(交换律,结合律,数加分配律,向加分配律) 4、点乘(点积内积数量积) :法则( a ? b ?| a | ? | b | cos?a, b? , a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ) ; 规律(交换律,数乘结合律,分配律) , 切记:点乘不满足向量结合律和向量消去律。 应用(求模方、求夹角、证平行、证垂直、证不等式) 三、向量定理及逆定理: 线描述:共线向量 p ? ? a ; 共面向量 p ? ?1 a ? ?2 b ; 空间向量 p ? ?1 a ? ?2 b ? ?2 c 。 点描述:空间向量 OP ? x ? OA ? y ? OB ? z ? OC 共面向量 OP ? OA ? s AB ? t AC ? x ? OA ? y ? OB ? z ? OC, 且x ? y ? z ? 1 共线向量 OP ? OA ? t AB ? x ? OA ? y ? OB , 且x ? y ? 1 四、利用空间向量工具解决立体几何问题(线描述找基,点描述设系) (避开了复杂的空间想象和抽象的逻辑推理,将几何问题转化为代数问题,但注意两者的区别) 1、三点共线:两向量共线,且有交点;空间三点共线定理。 2、四点共面:三向量共面,且有交点;空间四点共面定理。 3、线线平行:两向量共线,且不重合。线面平行。面面平行。 4、线线垂直:点积为零。线面垂直。面面垂直。 5、异面直线夹角:先求向量夹角,再转到 [0?,90?] 附:向量定理详解 1、共线向量定理:非零向量 a ,向量 p 与 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 p ? ? a 。 2 、平面向量定理:非零向量 a, b 不共线, p 与 a, b 共面 ? 有且只有一对实数 ? 1, ?2 ,使

?

p ? ?1 a ? ?2 b 。

(有且只有一对实数 x,

y ,使 p ? xa ? yb 。 )

3 、空间向量定理:非零向量 a, b , c 不共面,空间向量 p

? 有且只有一组实数 ? 1, ?2 , ?3 ,使

p ? ?1 a ? ?2 b ? ?2 c 。

(有且只有一组实数 x,

y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。 )

4、空间三点共线定理:三点 P、A、B 共线 ? OP ? ?1 OA ? ?2 OB,且?1 ? ?2 ? 1 5、空间四点共面定理:四点 P、A、B、C 共面 ? OP ? ?1 OA ? ?2 OB ? ?3 OC ,且?1 ? ?2 ? ?3 ? 1

22

数学选修 2-2—第 1 章:导数及其应用
一、导数概念 1、导数的定义:自变量 x 从两边趋近于 x0 时的瞬时变化率相等,该点瞬时变化率称为该处的导数。 2、导数的几何意义:曲线在该点的切线斜率。 3、导函数(开区间) ,相切(看似相交实为相切) ,分界点(分段函数) ,驻点(导数为 0 的点) 。 二、导数公式 幂函数: ( x n )? ? nxn?1 , (c)? ? 0 指数函数: (a x )? ? a x ln a , (e x )? ? e x 三角函数: (sin x)? ? cos x, (cos x)? ? ? sin x 积导数: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

1 1 , (ln x ) ? ? x ln a x 和差导数: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)
对数函数: (log a x)? ?

? ? 复合导数: y ? x ? yu ? u x
三、导数应用(结合图形解题) 1、求切线的斜率、倾斜角、切点坐标:P11

? ? f ( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 商导数: ? ? ? ?g ( x)?2 ? g ( x) ?

2、求过曲线上一定点的切线方程: y ? y 0 ? f ?( x 0 )(x ? x 0 ) 注意:切线的概念,切线与切点的关系(同一切线可能有多个切点) ,导数不存在特例。 记住常见曲线的切线方程:圆、椭圆、双曲线、抛物线。 3、利用导数的符号判断单调性,求单调区间(注意定义域,边界处理,多区间用“和”或“, ”隔开) 4、求函数的极值、驻值、端值 和 闭区间的最值。P35 5、求参数的取值范围(不等式恒成立问题)P26,P71 6、证明不等式(差函数的最值问题或函数的增减性问题)P27 四、定积分 1、函数在闭区间的定积分定义为:

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 其中, F ?( x) ? f ( x)

2、定积分的几何意义:曲边梯形的面积代数和(上正下负) 。 3、定积分应用(数形结合求面积) :上正下负,正负分段处理,函数分段处理,差处理 P61 五、三次函数的图象特点

y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d y ? ? 3ax2 ? 2bx ? c ? ? 4b 2 ? 12ac ? 4(b 2 ? 3ac)

23

数学选修 2-2—第 2 章:推理与证明
一、推理 1、归纳推理:由特殊到一般(或由部分到整体)的推理。 2、类比推理:由特殊到特殊的推理。 归纳推理和类比推理统称合情推理。都是根据已有事实,经过归纳或类比,猜想一个结论。 合情推理的结论是猜想的,结论不一定正确,需要证明。 3、演绎推理:由一般到特殊的推理。演绎推理的前提正确则结论正确,是证明的基本环节。 演绎推理的一般模式是三段论(大前提、小前提、结论) 。注意不能偷换概念。 演绎推理常用的简化模式有:对称性、传递性、因果性。 二、证明 1、综合法:由因导果的顺推法。宜于表述。注意推理不能循环。 2、分析法:执果索因的逆推法。利于思考。注意索因条件充分。 3、反证法:否定结论导出矛盾。简化证明。注意不是证逆否命题。 用反证法证明命题的一般步骤: (1) (反设)假设命题的结论不成立,即设结论的否定成立,以此为条件进行推理; (2) (归谬)根据反设进行推理,直到导出与已知矛盾,或利用已知导出与事实矛盾; (3) (结论)肯定原命题的结论成立。 4、数学归纳法:证明关于正整数命题成立的一种方法。 用数学归纳法证明命题的一般步骤: (1) (归纳奠基)验证 n ? n0 (n0 ? N*) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立;
*

(3) (结论)命题对从 n0 开始所有的正整数都成立。

24

数学选修 2-2—第 3 章:数系的扩充与复数的引入
一、数系扩充

二、复数概念 1、复数概念:形如 z ? a ? bi

(a, b ? R) 的数,其中 i 是虚数单位, i 2 ? ?1 。

2、相关定义:相等、为 0、实数、虚数、纯虚数、共轭复数。 3、复数表示:复平面(用来表示复数的直角坐标系, x 轴叫实轴, y 轴叫虚轴) 。 (1)代数表示 z ? a ? bi (a, b ? R) (2)几何表示 Z (a,b) (3)向量表示 OZ (4)三角表示 z ? r (cos? ? i sin ? ) (5)模角表示 z ? r?? (6)指数表示 z ? r ? e 4、复数的几何意义:
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ
i?

三、复数运算 1、复数加减代数运算及几何意义: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; 2、复数的乘除运算及几何意义: (乘除运算用模角表示更易计算和理解)

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ; a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ac ? bd bc ? ad ? ? ? 2 ? i c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2
(除法运算的分母实数化类似于无理数除法的分母有理化) 3、复数和实数类似。满足交换律、结合律、分配律、整指数幂运算律。 4、复数和相量对应。复数的加减运算和相量的加减运算对应;但 i 2 ? ?1 ,乘除运算不对应。 5、几个常用结论: (1)复数的模: z ? a ? bi ? (2)求模方: z
2

a2 ? b2 , z ? z
2

? z

2

? z ? z ? a 2 ? b 2 ,当 z 为虚数时 z ? z 2

(3)求共轭: z1 ? z2 ? z1 ? z2

z1 ? / z 2 ? z1 ? / z2

25

数学选修 2-3—第 1 章:计数原理
计数:计算完成一件事的不同方法的种数。必须可能法→类加步乘法→排列组合法 一、计数原理(类加步乘法) 1、分类加法:事件一步到位,明确分类标准,不重不漏。 2、分步乘法:事件多步完成,分析步中方法,约束分类,步骤跟着约束走。 3、应用举例:求集合{A、B、C}的子集个数。 (分类法,列表法,分步法) 二、排列组合 1、排列:不同元素,取不放回,取出有序。任取元素排成一列的排列数,记作 An 计算式: An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)
m
m 证明式: An ?

m

n! ?n ? m ?!

n An ? n! ,规定 0! ? 1
m

2、组合:不同元素,取不放回,取出无序。任取元素放成一堆的组合数,记作 Cn
m 计算式: C n ?

n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? m!
n?m

m 证明式: C n ?

n! m!?n ? m?!

规定 Cn ? 1
0

性质式: Cn ? Cn
m

(选取与剩选)

m m?1 m Cn ? Cn (含与不含) ?1 ? Cn
m m m

3、排列与组合的关系:排列是先组合再全排的结果,即: An ? Cn ? Am , 4、解题三原则:先特殊后一般,先分类后分步,先选后排。 5、解题方法: (1)捆绑法:要求某几个元素必须排在一起,注意合并元素内部也可以作排列。 (2)插空法:对某几个元素要求不相邻,可先排好没有限制条件的元素,再插空处理。 (3)分组分配法: (4)至多至少间接法: (5)名额分配问题隔板法: (6)约束分类,交集靠边(个数分类法) : 三、二项式定理 1、二项展开公式: (a ? b) ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1 n?1 k n?k k n b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn abn

二项式系数(与项的系数概念不同) : Cn

k

通项公式: Tk ?1 ? Cn a
k

n ?k

bk

n 0 1 k k n n 令 a ? 1, b ? x 有: ?1 ? x? ? Cn ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x 0 1 2 n 令 x ? 1 有: ?1 ? 1? ? 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn n n

(用代 1 法求二项式系数和)

0 1 2 n 令 x ? ?1 有: ?1 ? 1? ? 0 ? Cn (二项式系数奇项和等于偶项和) ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n Cn

2、二项式系数的性质: (1)对称性: Cn ? Cn
m r r n ?m

(2)增减性与最大值:当 k ? n / 2 附近时,二项式系数的值最大。 3、杨辉三角: C n ; Cn ? Cn ; Cn ? Cn?1 ? Cn?1
r r n ?r r ?1

26

选修 2-3—第 2 章:随机变量及其分布
一、概率的基本概念: 1、随机试验:可重复进行、有明确结果、是随机出现的试验(为了结果试一下) 。 2、样本空间:随机试验所有可能结果的集合,称为该试验的样本空间。 3、随机事件:样本空间的一些子集称为随机事件,简称事件。 (1)基本事件:一次试验中可能出现的每一个结果。 (2)复杂事件:由两个或两个以上基本事件构成的随机事件。 (3)互斥事件:事件 A 和事件 B 的 交集为空,A B 互斥。 (4)对立事件:交集为空且并集为全。对立必互斥,互斥不一定对立。 (5)独立事件:一个事件对另一个事件的概率没有影响, P( AB) ? P( A) P( B) 或 P( B | A) ? P( B) 一般地,AB 独立,则 A B 、 A B、 A B 也相互独立 4、随机变量:表示随机试验结果的变量,常用字母 X , Y , ? ,? 等表示。 (1)离散型随机变量:随机试验结果数字化后,各可能取值可一一列出的随机变量。 (2)连续型随机变量及对其离散:各可能取值在某一区间的随机变量,一般都进行离散处理。 二、离散型随机变量的分布列、均值、方差 1、分布列:列出随机变量 X 的所有可能取值,计算各自的概率并列表。 pi ? 0, 2、均值: E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ?

?p

i

?1

? xi pi ?
2

? xn pn 为离散型随机变量 X 的均值或数学期望(简称期

望) ,反映 X 取值的平均水平。 E (aX ? b) ? aE( X ) ? b 3、方差: D( X ) ?

? ( x ? E( X ))
i ?1 i

n

pi ? E( X 2 ) ? (E( X ))2 为离散型随机变量 X 的方差,其算术平方根

D( X ) 为随机变量 X 的标准差,记作 ? ( X ) 。反映 X 偏离均值的平均程度。 D(aX ? b) ? a 2 D( X )
三、四种特殊的概率分布模型 1、两点分布:0-1 分布或伯努利分布,称 p ? P( X ? 1) 为成功概率。 E ( X ) ? p , D( X ) ? p ? (1 ? p) 2、二项分布:适于对立定概率、相互独立、分步重复的试验。设某事件发生的成功概率是 p,在 n 次 独立重复试验中,该事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)
k k n ?k

.

二项分布记作 X ~ B?n, p ? 。 E ( X ) ? np , D( X ) ? np ? (1 ? p) , Pmax | k ? ?(n ? 1) p? 3、超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 { X ? k} 发 生的概率为 P? X ? k ? ?
k n?k CM CN ?M n CN

,超几何分布记作 X ~ H ?k ; n, M , N ? 。 E ( X ) ?

nM N

4、正态分布: ? ? ,? ( x) ? 四、概率计算

1 2? ? ?

e

?

? x ? ? ?2
2? 2

2 , x ? R ,记作 X ~ N ?? , ? ?, 3? 原则(0.6826,0.9544)

1、基本概率计算:古典概型、几何概型、两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布。 2、综合概率计算:事件分解(分类互斥和运算,分步独立积运算,条件概率除运算) 。 (1)概率运算:和(并事件) 、差(包含事件) 、积(交事件) 、商(条件概率) 。 (2)条件概率:事件 A 发生的条件下,事件 B 的概率,记作 P?B | A? ?

P( AB) P( A)

27

选修 2-3—第 3 章:统计案例
一、正态分布: X ~ N ? , ? 2

?

?
? ?

1、曲线特点:横轴上方单峰对称, ? 越小越尖锐, P?? ? X ? ? ? ? 0.6826。 2、 ??x0 ? 表示标准正态分布 N ?0,1? 中取值小于 x0 的概率。 3、 F ? x 0 ? ? ?(

x0 ? ?

?

) 表示非标准正态分布 N ?, ? 2 中取值小于 x0 的概率。

二、回归分析:线性相关 1、利用散点图初步判断线性相关关系。

? ? bx ? a ,其中 b ? 2、求回归直线方程。 y

? ( x ? y ) ? nx ? y ? x ? nx
i i 2 2 i

, a ? y ? bx

3、线性相关判断。当 | r |? 0.75 时求回归直线方程才有意义。

相关系数 r

?

?? x
i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2

?? x
i ?1

n

i

? x?

?? y
i ?1

n



r ? 0正相关,r ? 0负相关 |r|接近 1相关性强, 0不相关

i

? y?

2

三、独立性检验: 1、列联表 x1 x2 总计 2、计算卡方 K ?
2

y1 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d n

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

3、根据卡方值和概率表检验独立性。

K 2 值越大两变量关系越强。 K 2 ? 6.635时 X 与 Y 有 99%的可能性有关。

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