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河北衡水中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试卷


一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,3, 4? , B ? ?2,3? ,则图中阴影部分表示的集合为 ( ) B. {3} ) C. i D. ?i C. {1, 4} D. {1, 2,3, 4}

A. {2} 2.复数 A.1

1? i 的值是( 1? i
B. ?1

3.已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a ? b ,则 x 2) 4) A.2 B. ?2
2 2

?

?

?

?

?(



C.8

D. ?8 )

4.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有 ( A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条 )

5.设 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ,则这个数列的前 5 项和 S5 ? ( A.10 B.15 C.20 D.25

6.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的 侧视图的面积为( A. 8? ) B. 6? C. 4 ? 3 D. 2 ? 3 )

7.函数 f ( x) ? 2sin(

?

? x) cos( ? x) ? 1, x ? R 是( 4 4

?

A.最小正周期为 2? 的奇函数 C.最小正周期为 2? 的偶函数

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

8.设平面区域 D 是由直线 x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 所围成的三角形(含边界与内部).若点

( x, y ) ? D ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为(
A. ?1



B. 0

C. 1

D. 3

- 1 -

9. lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y ? xz ”成立的( “
2



A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

10.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b (a, b为正实数) ,若 1 ? k ? 3 , 则 k =( A. ?2 11.已知 a ? ln ) B.1 C. ?2 或 1 D.2

1 1 1 1 1 1 , b ? ln , c ? ln 则( ) ? ? ? 2010 2010 2011 2011 2012 2012 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a

12.已知 a ? 1 ,若函数 f ? x ? ? ? 根的个数最多有( ) A.1 个 B.2 个

? ax , ?1 ? x ? 1 ? ,则 f ? f ? x ? ? ? a ? 0 的 ? ? ? f ? x ? 2 ? ? a ? 1,1 ? x ? 3 ?

C. 3 个

D. 4 个

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应横线上) 13.圆心在 y 轴上,且与直线 y ? x 相切于点 (1,1) 的圆的方程为____________________. 14.若 a, b, c 是直角三角形的三边( c 为斜边), 则圆 x ? y ? 2 被直线 ax ? by ? c ? 0 所
2 2

截得的弦长等于__________.

x2 y 2 15.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点, a b
若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 _________. 16.手表的表面在一平面上.整点 1,2,?,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 1 的圆 周 上 . 从 整 点 i 到 整 点 i ? 1 的 向 量 记 作 t i t i ?1 , 则 t1t 2 ? t 2 t 3 ? t 2 t 3 ? t 3 t 4 ? ? ? ? ? t12 t1 ? t1t 2 = .

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题 10 分) 设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? 4, c ? 13 , sin A ? 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小。

- 2 -

18. (本题 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? S3 。 (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1001 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2012 bnbn ?1

19. (本题 12 分) 如 图 的 几 何 体 中 , AB ? 平 面 ACD , DE ? 平 面 ACD , △ ACD 为 等 边 三 角 形 ,

AD ? DE ? 2 AB ? 2 , F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求此几何体的体积

20. (本题 12 分)

已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ?(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,上顶点为 A,P 为 C 1 上任一点,MN 是圆 1 a 2 b2

C2: x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的一条直径,若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 ? 2 的直线 l 恰好与
圆 C2 相切.
- 3 -

(Ⅰ)求椭圆 C1 的离心率; (Ⅱ)若 PM ? PN 的最大值为 49,求椭圆 C 1 的方程. 21. (本题 12 分) 如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB。点 P 是 圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 (Ⅰ)若∠PAB=30°,求以 MN 为直径的圆方程; (Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。

???? ???? ?

22. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b 在 x ? 1 处有极小值 2 。
3

(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ?

m f '( x) ? 2 x ? 3 在 [0, 2] 只有一个零点,求 m 的取值范围。 3

- 4 -

2012—2013 学年度高三上学期一模考试答案
一、选择题:1.由韦恩图知: A ? B ? ?3? ,故选 B

2.

1? i (1 ? i ) 2 ? 2i ? ? ? ?i .故选 D 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

4.圆的标准方程是: (x+1) +(y-2) =13 ,圆心(-1,2) ,半径 r=13 过点 A(11,2)的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26, (分别只有一条)还有长度为 11,12,?, 25 的各 2 条,所以共有弦长为整数的 2+2×15=32 条. 答 案 】 C 【

2

2

2

7 . f ( x) ? 2sin(

?

? x) cos( ? x) ? 1 ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ? cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x, 故 选 4 4 4 2
Y

?

?

?

B.
8.双曲线 y ?
2
2

x2 1 ? 1 的两条渐近线为 y ? ? x , 4 2

A(1,2)

抛物线 y ? ?8 x 的准线为 x ? 2 , 当直线 y ? ? x ? z 过点 A(1, 2) 时, zmax ? 3 ,故选 D. 9.当 x,z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A. 10.提示:根据运算有 1 ? k

X

? 1 ? k 2 ? 3, k ? R * ,? k ? 1 .选 B.

11.提示:由函数单调性可知 F(X)单调递增故选 A
- 5 -

12.提示:结合图象,以 2 和 3 为底分析即可【答案】C 二、填空题 13. x ? ( y ? 2) ? 2
2 2

14. 2

15.由 题意知 点 P 的坐标为( -c,

b2 b2 ) ,或( -c,) ,因为 ?F1 PF2 ? 60? , 那么 a a

2c 3 ? 3 ? 2ac ? 3b 2 ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为 , 2 b 3 a
16.解:∵整点把圆分成 12 份,∴每一份所对应的圆心角是 30 度,连接相邻的两点组成等 腰三角形底边平方为 2 ? 3 ,每对向量的夹角为 30°,∴每对向量的数量积为 12( 2 ? 3 ) 0 cos30 =12 3 ? 18 三、解答题

(2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) …………………………8 分 bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ……10 分 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1001 n 1001 由 Tn > ,得 > ,解得 n > 100.1 所以正整数 n 是101 ………12 分 2012 2n ? 1 2012
∴ Tn ? 19. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG .∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且

GF ?

1 DE . 2
- 6 -

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE , ∴ GF ? AB . ∴ 四 边 形 GFAB 为 平 行 四 边 形 , 则 2

AF // BG .
∵ AF ? 平面 BCE ,BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . …………4 分

8分 (3)解:取 DE 的中点 M 连 BM,GM 所以 V ? VC ? AFGB ? V ADF ? BGM ? V E ? BGM

=

3 3 3 1 1 ? ? ? 3 或 Vc ? ABED ? 3 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 …………12 分 3 2 6 3 2
2 )c ? 0 ,

20. (Ⅰ)由题意可知直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ? 因为直线与圆 c2 : x ? ( y ? 3) ? 1 相切,所以 d ?
2 2

3c ? 3c ? 2c b ?c
2 2

? 1 ,即 a 2 ? 2c 2 ,

从而 e ?

2 ; 2

???????5 分

(Ⅱ)设 P ( x, y ) 、圆 C 2 的圆心记为 C 2 ,则
2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ( c ﹥0) PM ? PN ? ( PC 2 ? C 2 M ) ? ( PC 2 ? C 2 N ) ? PC 2 ? C 2 N = ,又 2 2c c

x 2 ? (3 ? y ) 2 ? 1 ? ?( y ? 3) 2 ? 2c 2 ? 17(?c ? y ? c) . ???????8 分

( PM ?当 c ? 3时, ? PN ) MAX ? 17 ? 2c ? 49, 解得c ? 4, 此时椭圆方程为
2
2 2

x2 y2 ? ? 1; 32 16

( PM ? PN ) MAX ? ?(?c ? 3) ? 17 ? 2c ? 49, 解得c ? 5 2 ? 3但 ?当 0 ? c ? 3时,
c ? 5 2 ? 3 ? 3, 故舍去.
x2 y2 ? ? 1. 综上所述,椭圆的方程为 32 16
- 7 -

???????12 分

21.解:建立如图所示的直角坐标系,⊙O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,??2 分 直线 L 的方程为 x ? 4 。 )∵ PAB=30° (Ⅰ ∠ ,∴点 P 的坐标为 (1, 3) , ∴ l AP : y ?

3 ( x ? 2) , lBP : y ? ? 3( x ? 2) 。将 x=4 代入,得 M (4, 2 3), N (4, ?2 3) 。 3

∴MN 的中点坐标为 (4, , 0) MN= 4 3 。 ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 12 。 同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4) ? y ? 12 。??6 分
2 2
2 2 2 2 (Ⅱ )设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∴ x0 ? y0 ? 4 ( y0 ? 0 ) ,∴ y0 ? 4 ? x0 。

∵lPA : y ?

y0 y0 6 y0 , ( x ? 2), lPB : y ? ( x ? 2) ,将 x=4 代入,得 yM ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

yN ?

4 x0 ? 4 6 y0 2 y0 2 y0 6 y0 2 y0 ? ? 。∴ M (4, 。 ), N (4, ) ,MN= x0 ? 2 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
4( x0 ? 1) ) 。??10 分 y0
2 12 ? 3 x0

MN 的中点坐标为 (4, ?

4( x0 ? 4) 2 16( x0 ? 1) 2 4 ? ? 以 MN 为直径的圆 O 截 x 轴的线段长度为 2 2 2 y0 y0 y0
/

?


4 3 4 3 2 4 ? x0 ? y0 ? 4 3 为定值。∴⊙O / 必过⊙ 内定点 (4 ? 2 3, 0) 。??12 O y0 y0
? f '(1) ? 3 ? 3a ? 0 ?a ? 1 , 解得 ? ,…2 ? f (1) ? 1 ? 3a ? b ? 2 ?b ? 4

22. 解: (1) f '( x) ? 3 x ? 3a 依题意有 ?
2

此时 f '( x) ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1?? x ? 1? ,
2

x ? ? ?1,1? , f ' ? x ? ? 0, x ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 0, 满足 f ? x ? 在 x ? 1 处取极小值
∴ f ( x) ? x ? 3 x ? 4 ……………………………………………………………4
3

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