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2.2直线、平面平行的判定与性质


§2.2 直线、平面平行的判定与性质
高考会这样考 1.考查空间平行关系及性质; 2.大题中证明或探索空间的平行关系. 备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化为平面问题,解答过 程的叙述步骤要完整,避免因条件书写不全而失分; 2.2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决 问题的根源在“定理”.

1. 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质

条件 结论

a∩α =? a∥α

a? α , b?α , a∥b b∥α

a∥α a∩α =?

a∥α ,a? β ,
α ∩ β =b

a∥ b

2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图 形 条 件 结 论 定理 性质

a? β ,b? β ,
α ∩β =?

a∩b=P,a∥α , b∥α

α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b

α ∥β ,a? β

α ∥β

α ∥β

a∥b

a∥α

1

[状元的深入理解] 1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内. 2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃 定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用. 3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往 需要作辅助线(面).

1. 已知不重合的直线 a,b 和平面 α , ①若 a∥α ,b? α ,则 a∥b; ②若 a∥α ,b∥α ,则 a∥b; ③若 a∥b,b? α ,则 a∥α ; ④若 a∥b,a∥α ,则 b∥α 或 b? α . 上面命题中正确的是________(填序号). 2. 已知 α 、β 是不同的两个平面,直线 a? α ,直线 b? β ,命题 p:a 与 b 没有公共点; 命题 q:α ∥β ,则 p 是 q 的____________条件. 3. 已知平面 α ∥平面 β ,直线 a? α ,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直 线都不垂直. 其中真命题的序号是________. 4. 若直线 l 不平行于平面 α ,且 l?α ,则 A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5. 下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ( ) ( )

2

方法与技巧
1. 平行问题的转化关系

2. 直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3. 平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α ,a⊥β ? α ∥β .

【题型分类剖析】
题型一 直线与平面平行的判定与性质 例1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP

=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 思维启迪:证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理,也可利用面面平 行的性质. 证明 方法一 如图所示. 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB,∴AE=BD. 又 AP=DQ,∴PE=QB, 又 PM∥AB∥QN,∴ = = = , ∴

PM PE QB QN AB AE BD DC

PM QN = , AB DC

∴PM 綊 QN,即四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又 MN? 平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

3

方法二

如图,连接 AQ,并延长交 BC 延长线于 K,连接 EK,

∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ,∴ =

AP DQ , PE BQ DQ AQ BQ QK

又 AD∥BK,∴ = , ∴

AP AQ = ,∴PQ∥EK. PE QK

又 PQ?平面 BCE,EK? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

探究提高 判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定
义 ( 无公共点 ); (2) 利用线面平行的判定定理 (a ?α , b ? α ,a∥b?

a∥α );(3)利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a? α ? a∥β );(4)
利用面面平行的性质(α ∥β ,a?β ,a∥α ? a∥β ). 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD =60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF. 证明 取 PD 中点为 M,连接 ME,MF, ∵E 是 PC 的中点, ∴ME 是△PCD 的中位线, 1 ∴ME 綊 CD. 2 ∵F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形,AB 綊 CD, ∴ME 綊 FB,∴四边形 MEBF 是平行四边形,∴BE∥MF. ∵BE?平面 PDF,MF? 平面 PDF,∴BE∥平面 PDF. 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,

A1B1,A1C1 的中点,求证:
(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思维启迪:要证四点共面,只需证 GH∥BC;要证面面平行,可证一个 平面内的两条相交直线和另一个平面平行. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面.
4

(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC? 平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB? 平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

探究提高 证明面面平行的方法:
(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这 两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 证明:若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线平行于两个平面的 交线. 解 已知:直线 a∥平面 α ,直线 a∥平面 β ,α ∩β =b.

求证:a∥b. 证明:如图所示,过直线 a 作平面 γ ,δ 分别交平面 α ,β 于直线

m,n(m,n 不同于交线 b),由直线与平面平行的性质定理,得 a∥m, a∥n,由平行线的传递性,得 m∥n,由于 n?α ,m? α ,故 n∥平面
α .又 n? β ,α ∩β =b,故 n∥b.又 a∥n,故 a∥b. 题型三 平行关系的综合应用 例3 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大? 思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截 面形状,再建立目标函数求最值. 解 ∵AB∥平面 EFGH,

平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角).
5

又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 = , = = (a-x), ∴S?EFGH=FG·GH·sin α =x· ·(a-x)·sin α =

x CG y BG x y ,两式相加得 + =1,即 y a BC b BC a b

b a

b a

bsin α x(a-x). a

∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴当且仅当 x=a-x 时,

bsin α absin α a b x(a-x)= ,此时 x= ,y= . a 4 2 2

即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 探究提高 利用线面平行的性质, 可以实现与线线平行的转化, 尤其在截面图的画法中, 常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中 心,P 是 DD1 的中点, 设 Q 是 CC1 上的点, 问:当点 Q 在什么位置时, 平面 D1BQ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下: ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面 PAO,PO? 平面 PAO,

QB?平面 PAO,PA? 平面 PAO,
∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B、QB? 平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

6

【答题示范与提高】立体几何中的探索性问题

典例:(12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的 中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

规范解答
解 (1)如图(a)所示,取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM.因为 E 是 DD1 的

中点,四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.[2 分] 又在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1,

7

所以 EM⊥平面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 为 BE 和平面 ABB1A1 所成的角.[4 分] 设正方体的棱长为 2, 则 EM=AD=2,BE= 2 +2 +1 =3.
2 2 2

图(a)

EM 2 于是,在 Rt△BEM 中,sin∠EBM= = ,[5 分] BE 3
2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 .[6 分] 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F,EG,

BG,CD1,FG.
因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四边形,因 此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面.所以 BG? 平面 A1BE.[8 分] 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形, 所以 B1F∥BG,[10 分] 而 B1F?平面 A1BE,BG? 平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE. 图(b)

答题模板 对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:一种:第一步:探求出点的位置. 第二步:证明符合要求. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾.查看关键点,易错点和答题规范. 另一种:从结论出发,“要使什么成立”,“只需使什么成立”,寻求使结论成立的充 分条件,类似于分析法. 温馨提醒 (1)本题属立体几何中的综合题,重点考查推理能力和计算能力. (2)第(1)问常

见错误是无法作出平面 ABB1A1 的垂线,以致无法确定线面角.(3)第(2)问为探索性问题,找 不到解决问题的切入口,入手较难.(4)书写格式混乱,不条理,思路不清晰.

8

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若直线 m? 平面 α ,则条件甲:“直线 l∥α ”是条件乙:“l∥m”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

2. 已知直线 a,b,c 及平面 α ,β ,下列条件中,能使 a∥b 成立的是 A.a∥α ,b? α C.a∥c,b∥c B.a∥α ,b∥α D.a∥α ,α ∩β =b

3. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB? 平面 α ,CD?平面 α ,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位 置关系只能是 A.平行 C.平行和相交 B.平行和异面 D.异面和相交 ( )

4. 设 m、n 表示不同直线,α 、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 ( ) A.若 m∥α ,m∥n,则 n∥α B.若 m? α ,n? β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β C.若 α ∥β ,m∥α ,m∥n,则 n∥β D.若 α ∥β ,m∥α ,n∥m,n?β ,则 n∥β 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 ________条. 6. 如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下 底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= , 3 过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 7. 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件______________时,有

a

MN∥平面 B1BDD1.

9

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,

M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM
于 GH. 求证:PA∥GH.

9. (12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积. .

10

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥β 的一个充分而不必要条件是 ( ) B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β

2. 下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

3. 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l? α ,m? β ,则 α ∥β ; ②若 α ∥β ,l? α ,m? β ,则 l∥m; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α 、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α 、β 分别交于 A、C, 过点 P 的直线 n 与 α 、 β 分别交于 B、 D 且 PA=6, AC=9, PD=8, 则 BD 的长为________. 5. 一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为 原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的 余弦值为________. 6. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1.
11

(

)

三、解答题 7. (13 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为 矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

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