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2019年高考总复习数学(理科)基础轻过关+考点巧突破课件:第四章 第3讲 平面向量的数量积_图文

第3讲 平面向量的数量积

考纲要求

考点分布

考情风向标

1.理解平面向量数量 积的含义及其物理意 义.

2011 年新课标卷第 13 题考 查平面向量的垂直运算、单 位向量;

2量系3表向..积.达量了掌与式数解 握向,量平数量会积面量投进的向积影行运量的的平算的坐关面.数标2查算2考2000平法查111234面则向年 年 年向 ; 量新 新 新量 的课 课 课的 数标 标 标数 量卷 卷 卷量 积Ⅰ Ⅰ第积 等第 第15及 运16题3其 算题题考运 ;考

4两用.个数能向量运量积用的判数夹断量角两积,个表会平示查2查0向向15量量年的 的新运 运课算 算标; ;卷Ⅰ第 2 题考

面向量的垂直关系 2016 年新课标卷Ⅰ第 13 题

考查向量的垂直

从近几年的高考试题来 看,向量的数量积运算、 向量的垂直等问题是高 考的热点,既有选择题、 填空题,又有解答题,属 中低档题目,常与平面几 何、三角、解析几何等知 识交汇命题,主要考查运 算能力及数形结合思想. 预计 2018 年高考仍将以 向量的数量积运算、向量 的垂直为主要考点,以与 三角、解析几何等知识交 汇命题为考向

1.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ. 规定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积.

3.平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为 a 与 b(或 e)的 夹角,则:
(1)e·a=a·e=|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b__反___向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2,|a|= a·a. (4)cos θ=|aa|·|bb|. (5)|a·b|__≤___|a||b|.

4.平面向量数量积的坐标运算
设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 (1)a·b=x1x2+y1y2. (2)|a|= x12+y21. (3)cos〈a,b〉= x21+x1xy122×+y1xy222+y22.
(4)a_⊥___b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 5.若 A(x1,y1),B(x2,y2),A→B=a,则 |a|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2(平面内两点间的距离公式).

1.已知a=(λ,2),b=(-4,10),且a⊥b,则实数λ的值为

(C )

A.45

B.-45

C.5

D.-5

2.已知向量 a,b 满足|a|=4,|b|=1,且 a·b=-2,则 a

与 b 的夹角大小为( B )

A.π3

B.23π

C.

π 6

D.56π

3.已知向量 a=(x,y),b=(-1,2),且 a+b=(1,3),则|a|

=( C )

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

4.(2015 年福建)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,

则实数 k 的值等于( A )(导学号 58940073)

A.-32

B.-53

C.53

D.32

解析:由已知,得 c=(1,2)+k(1,1)=(k+1,k+2),因为

b⊥c,则 b·c=0,因此 k+1+k+2=0,解得 k=-32.故选 A.

考点1 平面向量的数量积

例1:(1)(2014年大纲)已知 a、b 为单位向量,其夹角为60°,

则(2a-b)·b=( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析:(2a-b)·b=2a·b -b2 =2×|a|×|b|cos〈a,b〉-|b|2

=2×1×1×cos 60°-1=0.故选 B.

答案:B

(2)如图 4-3-1,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数 量积中最大的是( )

A.P→1P2·P→1P3 C.P→1P2·P→1P5

B.P→1P2·P→1P4 D.P→1P2·P→1P6

图 4-3-1

解析:设正六边形的边长为 1,则P→1P2·P→1P3=|P→1P2|·|P→1P3|

cos30°= 3× 23=32,P→1P2·P→1P4=|P→1P2||P→1P4|·cos 60°=2×12=1,

P→1P2·P→1P5=|P→1P2||P→1P5|cos 90°=0,P→1P2·P→1P6=|P→1P2|·|P→1P6|

cos 120°=-12,所以数量积最大的选 A.

答案:A

(3)(2013年大纲)已知向量 m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若

(m+n)⊥(m-n),则λ=( )

A.-4

B.-3

C.-2

D.-1

解析:因为 m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+

n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ

-6=0.解得λ=-3.

答案:B

考点2 平面向量的夹角与垂直 例2:(1)(2016 年新课标Ⅰ)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2), 且 a⊥b,则 x=________.(导学号 58940074)
解析:由题意,a·b=0,x+2(x+1)=0,∴x=-23. 答案:-2
3

(2)(2016 年新课标Ⅲ)已知向量B→A=????12, 23????,B→C=???? 23,12????, 则∠ABC=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:由题意,得 cos ∠ABC=|BB→→AA|·|BB→→CC|=12× 213×+123×12= 23.所以∠ABC=30°.故选 A.
答案:A

【规律方法】(1)平面向量 a 与 b 的数量积为 a·b=???a??????b???cos θ, 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,要注意夹角的定义和它的取值范围: 0°≤θ≤180°;(2)由向量的数量积的性质有|a|= a·a,cos θ= ???aa???·???bb???,a·b=0?a⊥b,因此,利用平面向量的数量积可以解决 与长度、角度、垂直等有关的问题.

【互动探究】

1.(2015年重庆)已知非零向量a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a

+b),则 a 与 b 的夹角为( C )

π

π



A.3

B.2

C. 3

5π D. 6

解析:由已知可得 a·(2a+b)=0?2a2+a·b=0.设 a 与 b 的 夹角为 θ,则有 2|a|2+|a|·|b|cos θ=0?cos θ=-24||aa||22=-12.又因

为 θ∈[0,π],所以 θ=23π.故选 C.

考点3 平面向量的模及应用

例 3:(1)(2011 年新课标)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹

角为 θ,有下列四个命题:

P1:|a+b|>1?θ∈???0,23π??? P2:|a+b|>1?θ∈???23π,π??? P3:|a-b|>1?θ∈???0,π3??? P4:|a-b|>1?θ∈???π3,π??? 其中的真命题是( )

A.P1,P4 C.P2,P3

B.P1,P3 D.P2,P4

解析:由|a+b|= a2+b2+2abcos θ= 2+2cos θ>1,得

cos

θ>



1 2

?

θ



???0,23π???





|a



b|



a2+b2-2abcos θ =

2-2cos θ>1,得 cos θ<12?θ∈???π3,π???.故选 A.

答案:A

(2)(2014 年湖南)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),

B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|C→D|=1,则|O→A+O→B+O→D|的取

值范围是( )

A.[4,6]

B.[ 19-1, 19+1]

C.[2 3,2 7]

D.[ 7-1, 7+1]

解析:由|C→D|=1 知,点 D 是以 C 为圆心,1 为半径的圆 上的动点,设 D(x,y),则(x-3)2+y2=1.|O→A+O→B+O→D|=
?x-1?2+?y+ 3?2表示点 D 到点 P(1,- 3)的距离.又|P→C| = ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,因此 7-1≤|P→D|≤ 7+1.故选 D.

答案:D

【规律方法】(1)求向量的模的方法:①公式法,利用|a|= a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2, 把向量的模的运算转化为数量积 运算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的 平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方 法求解.
(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模 表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数 形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图 形求解.

【互动探究】 2.(2014 年湖北)若向量O→A=(1,-3),|O→A|=|O→B|,O→A·O→B
=0,则|A→B|=__2___5 ___.

解析:设 B(x,y),有?????xx-2+3yy2==01,0, 解得?????yx==13,, 或

??x=-3, ???y=-1,

A→B=(2,4)或A→B=(-4,2).则|A→B|=

22+?-4?2=

2 5.

●易错、易混、易漏● ⊙向量中错误使用充要条件造成问题解答不全 例题:已知向量 a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2). (1)若向量 a 与 b 的夹角为直角,求实数 m 的值; (2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角,求实数 m 的取值范围. 正解:(1)若 a 与 b 的夹角为直角,则 a·b=0, 即(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=0. ∴m=-—43 或m=2.

(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角,

则 a·b<0,且 a 与 b 不共线.

∴(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,

且(m-2)(m-2)-(m+3)(2m+1)≠0.

解得-43<m<5

52-11,或5

5-11 2 <m<2.

∴实数 m 的取值范围是-43<m<5

52-11,或5

5-11 2<

m<2.

【失误与防范】两个向量 a·b<0 等价于 a·b <0,相当于夹 |a||b|
角的余弦值小于零,我们知道cosπ=-1<0,所以a·b<0中包括 了两个向量反向共线和夹角为钝角两种情况.同理,a·b>0中包 括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况.这两点在解题 中要特别注意.

1.(1)0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0 =0≠0;(2)0 的方向是任意的,并非没有方向,0 与任何向量 平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
2.a·b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a·b=0 时,有可 能 a⊥b.
3.在运用向量夹角时,注意其取值范围[0,π]. 4.在用|a|= a2求向量的模时,一定要把求出的 a2 再进行 开方. 5.向量数量积不满足消去律:如 a·b=a·c 不能得到 b=c.


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