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2006年寒假名师课堂-圆锥曲线的性质


2006年名师课堂辅导讲座—高中部分

张宁 高级教师

椭圆标准方程及性质 图象
标准方程 参数方程
yM

y o x

F1 o F2

x

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b a b

x ? a cos ?且y ? b sin? x ? b cos ?且y ? a sin?

一般方程 Ax 2 ? Cy2 ? 1( A ? 0, C ? 0且A ? C ) a 2 ? b 2 ? c 2 ( MF1 ? MF2 ? 2a , F1 F2 ? 2c ) a,b,c关系 几何名称 长轴长2a , 短轴长2b, 焦距2c , 离心率e ? c a (0 ? e ? 1)
2a 2 , 焦准距 b 2 ,中心原点(0,0) 准线距 c c 2b 2 对称轴x ? 0,y ? 0, 通径 a

顶点
焦点 准线 方程 范围

(? a,0)(0,? b)

(? b,0)(0,? a )

( ? c ,0)

(0, c ) ?
2

x ? ?a

c

y ? ?a

2

c

x ? a, y ? b

x ? b, y ? a

焦半径 r左 ? a ? ex0 ,

r上 ? a ? ey0 , r下 ? a ? ey0

r右 ? a ? ex0

双曲线标准方程及性质 y 图象 标准 方程

.
2

B2 A2 B1
2

F1 A 1 o

.

A1 B1 o A2

y
B2

F2 x

x

Ax 2 ? Cy 2 ? 1( AC ? 0) 一般方程 a,b,c关 c 2 ? a 2 ? b 2 (| MF1 ? MF2 |? 2a, F1 F2 ? 2c )

x y ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0)

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0,b ? 0)

几何 名称



实轴长2a , 虚轴长2b, 焦距2c , 离心率e ? c (e ? 1) a b2 2a 2 焦准距 , 准线距 ,中心原点(0,0) c c 2b 2 对称轴x ? 0, y ? 0, 通径 a

顶点 焦点 准线方程

(? a,0)

(0,? a )

( ? c ,0)
x ? a, y ? R
a x?? c
2

(0, c ) ?
y ? a, x ? R
a2 y?? c

范围
焦半径

r左 ? ex0 ? a , r上 ? ey0 ? a , r右 ? ex0 ? a r下 ? ey0 ? a
ax ? by ? 0 bx ? ay ? 0

渐近线

抛物线的标准方程及性质
图像
y
O

y

? F

x

? F
2

O

x

标准方程
顶点、离心率 对称轴

y ? 2 px y ? ?2 px
2

(0,0) e=1 p
向 右

(焦参数p, 焦 2 距 x轴)(y=0)

开口方向

向左

p p ( ? ,0 ) ( ,0) 2 2 p p 准线方程 x ? ? x? 2 2 范 围 x ? 0, y ? R x ? 0, y ? R
焦半径 通 径

焦 点

2p(过焦点的最短弦)

p r ? x0 ? 2

p r ? ? x0 2

过焦 点的 弦长

x1 ? x 2 ? p ? x1 ? x2 ? p 2p 2p ? ? 2 2 sin ? sin ?

图像

y ? F
O

y x
O

x

标准方程

x ? 2 py x ? ?2 py
2 2

?

F

p 顶点、离心率 (焦参数p, 焦距 2

(0,0) e=1
y轴 (x=0)



对称轴

开口方向

向 上

向下

焦 点 准线方程 范 围

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0,? ) 2 p y? 2

焦半径 通 径

y ? 0, x ? R y ? 0, x ? R p p r ? y0 ? r ? ? y0 2 2 2p(过焦点的最短弦)

过焦 点的 弦长

y1 ? y2 ? p ? y1 ? y2 ? p 2p 2p ? 2 ? 2 sin ? sin ?

以抛物线 y ? 2 px( p ? 0)为例
2

1、过焦点的弦AB, 且A( x1,y1 ) B( x 2 , y 2 ) p 2 则(1)x1 x 2 ? , y1 y2 ? ? p ; 4 A ( 2)?A1 FB1 ? Rt?;
1

2

A

( 3) A, O , B1三点共线;
B1

O B

F

(4)以A点为圆心, 1 为半 AA

径的圆必过定点(焦点F)。 2、若OA ? OB, 则AB过定点( 2 p,0).

圆锥曲线统一定义: 平面上动点到定点的距 离与到定直线距离之比 是一个常数e ,

(1)当0 ? e ? 1时,动点轨迹为椭圆。

(2)当e〉 1时,动点轨迹为双曲线 。

(3)当e ? 1时,动点轨迹为抛物线 。

1 1 1 1.求经过两点P1 ( , ), P2 (0,? )的椭圆的标准方程。 3 3 2

解:法1、 当焦点在 x轴时, 1 x y 设 2 ? 2 ? ( a ? b ? 0) 1 a b 1 ? 1 ? 2 1 ? 2 ?1 2 ? 9a 9b ?a ? 5 ? ? 2 2 由? 1 2 ?? , 而a ? b(舍) ? (? 2 ) ?b 2 ? 1 ? ? 2 ?1 4 ? ? b
2 2

?

法 2、设椭圆方程为 ax ? by ? 1(a ? 0, b ? 0)
2 2

1 2 1 2 当焦点在y轴时,与1 同理a ? , b ? , 4 5 2 2 x y ? 椭圆的标准方程 ? ?1 1 1 5 4
? 。 2

?a b ?9 ? 9 ? 1 ?a ? 5 ? ?? ? ? b( ? 1 ) 2 ? 1 ? b ? 4 ? 2 ? 2 2 ? 椭圆的标准方程 5 x ? 4 y ? 1

x y 2 2.椭圆 ? ? 1的离心率为 , m 4 2 8或2 则m 的值为 ________ 。

2

2

解: m ? 4, 1
? ?

m?4 m

2 ? ?m?8 2

4?m 2 2 0 ? m ? 4, ? ?m?2 2 2 综上, m ? 8或 2

3.椭圆的一个焦点为 F,其相应的准线为 l, 过焦点F的直线与椭圆交于 P1 , P2两点,以P1 P2 为直径的圆O1,试判断圆O1与l的位置关系, 并证明你的结论。
x2 y2 y 解:设椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b 1 圆心O1到l的距离d ? ( P1 M ? P2 N ) 2 P2 F P1 P2 a 1 P1 F a P1 P2 ? ( ? )? ? ? ( ? 1) 2 e e c 2 2 c ?圆心O1到l距离大于半径,故此圆 与l相离。
1

P

M N

F .
P2

O1

x

x y 4.已知M为椭圆 ? ? 1上的一点,椭圆 25 16 的两个焦点为F1 , F2,且点I是?MF1 F2的内心, MI 延长线段MI交线段F1 F2于N,求 的值。 NI
MI F1 M F2 M 解: ? ? NI F1 N F2 N F1 M ? F2 M 2a a 5 ? ? ? ? F1 N ? F2 N 2c c 3
Y

2

2

F1

.M .. I . ON

X

F2

x y 5.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的左顶点为 A, a b 若椭圆上存在一点 P,使?OPA ? (O为原 2 点),则椭圆离心率的 范围是 ________

2

2

?

解:设P (a cos ? , b sin? ), A( ? a ,0), O (0,0)

b sin? b sin? k AP ? , kOP ? ,? AP ? OP a cos ? ? a a cos ? 2 2 b sin ? k AP ? kOP ? ?1 ? 2 ? ?1 2 a (cos ? ? cos ? )

? (a ? c ) sin ? ? ? a (cos ? ? cos ? )
2 2 2 2 2

? a (cos ? ? 1) ? c sin ?
2 2 2

1 ? cos ? 1 ?e ? ? 2 sin ? 1 ? cos ? ? 3? ?? ? ( , )且? ? ? ? ?1 ? cos ? ? 0 2 2
2

1 2 2 ? ? e ?1? ?e?1 2 2

6.已知F1 , F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上 一点,?F1 PF2 ? 60 , 短轴长为2b,
?

(1)求椭圆离心率的范围; (2)求?F1 PF2的面积。
PF1 PF2 2c 解:在?F1 PF2中 ? ? ? sin60 sin ? sin? 2c 2a c 0 (其中? ? ? ? 120 ) ? ? ?e? a 3 sin? ? sin ? 2

? 2 sin ? 2 cos

???
2 1

3 2 cos

???
2
?

?

3 2 3 cos

???
2
?

???
2

,? ?120 ? ? ? ? ? 120

1 ??? ? ?60 ? ? 60 ? ? cos ?1 2 2 2 ??? 1 ? 1 ? 2 cos ? 2 ? e ? [ ,1) 2 2
? ?

???

? PF1 ? m ? (2) ? ? PF2 ? n ? 2 2 ? 2 由余弦定理m ? n ? 2mn cos 60 ? 4c 4 2 ? m ? n ? 2a ? mn ? b , 3 ? S ?F1 PF 2 1 3 2 ? ? mn sin60 ? b 2 3

引申:m ? n ? 2mn cos ? ? 4c
2 2 2

2 2

? m ? n) ? 2mn (1 ? cos ?) 4c ( ? ? 4b ? 2mn (1 ? cos ?)
2

2b ? mn ? , 1 ? cos ? 1 ? 2 ? S ?F1 PF2 ? mn sin? ? b tan 2 2

2

x2 y2 7.双曲线 ? ? 1上有一点P,F1 , F2是双曲 16 9 线的焦点,且?F1 PF2 ?

?
3

? PF1 ? m ? 解:设 ? ? a ? 4, b ? 3, c ? 5, ? PF2 ? n ? m ? n ? 8,c ? 10 2
2 2 2 2

,求?F1 PF2的面积。

在?F1 PF2中,m ? n ? 2mn cos ? ? 4c ? m ? n) ? 2mn (1 ? cos ?) 4c ( ? ? 4b ? 2mn (1 ? cos ?)
2

2

2b ? mn ? , 1 ? cos ? 1 ? 2 ? S ?F1 PF 2 ? mn sin? ? b cot 2 2 ? 9 cot

2

?
6

?9 3

8.求渐近线方程为3 x ? 4 y ? 0,焦点为椭圆 x y ? ? 1的一对顶点的双曲线方程。 2 2 10 5 x y 解:设双曲线: ? ? ? ( ? ? 0)
16 9 (1)当顶点( ? 10 ,0), ? ? 0, c ? 16? ? 9? ? 10
2

2

2

2 5x2 5 y2 ? ? ? ,? 双曲线方程 ? ?1 5 32 18 ( 2)当顶点(0,? 5 ), ? ? 0, c 2 ? ?16? ? ( ?9? ) ? 5 1 5y 5x ? ? ? ? ,? 双曲线方程 ? ?1 5 9 16
2 2

x y 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a , b ? 0)的焦点为 a b F1 ( ? c ,0),F2 (c ,0)( c ? 0), e为离心率,点P为 左支上一点,d为P到左准线的距离。 (1)当 PF1 ? d PF2 时,求e的范围; (2)当2 PF1 ? d ? PF2 时,求e的范围。 PF1 解:d ? 且 PF2 ? 2a ? PF1 e PF1 2a 2 代入(1) PF1 ? : ( 2a ? PF1 ) ? PF1 ? e e ?1
2

2

2

? P在左支上, PF1 ? c ? a ? 2a 2 即 ? c ? a ? (e ? 1) ? 2 ? 1 ? e ? 2 ? 1 e ?1 PF1 (2) PF1 ? 2 ? PF1 ? 2a e 2ae ? PF1 ? ? c?a e ?1 ? e 2 ? 4e ? 1 ? 0 ?? ?e ? 1

?1? e ? 2? 3

x y 10. 1)P是 ( ? ? 1双曲线上一点, F1 , 64 36 F2是双曲线的两个焦点, 若 PF1 ? 17, 则 PF2 ? ____ (2)双曲线2 x ? y ? 6 ? 0上一点P到一
2 2

2

2

个焦点的距离是 4,则P到较远准线的 距离为 ______

解:(1)设 PF2 ? x , 则 17 ? x ? 16

? x ? 1或x ? 33, 而c ? a ? 10 ? 8 ? 2 ? 1,? PF2 ? 33

x y ( 2). ? ? ? 1, 设焦点F (0,?3), 3 6 2 2a 则(若P在上支则 PF ? 4 ? ) c P只能在下支, d? PF e 4 4 6 ? ? 3 3 6

2

2

4 6 ?d ? ?4 3

11.F1 , F2是双曲线的两个焦点, Q是双曲 线上一点,从某一焦点 引?F1QF2平分线 的垂线,垂足为 P,则P点的轨迹是 _____ A.直线B .圆C .椭圆D .双曲线 解:延长F2 P交F1Q于M,则 QF2 ? QM ,
为圆.
?

? F1 M ? 2a , 又P为MF2的中点,则 OP ? a
Y
M?
? ?

Q
?

F1

OP

F2

X

12.在直角坐标系中,一运 动物体经过点 A(0,9),其轨迹方程是 y ? ax ? c(a ? 0),
2

D ? (6,7 )为x轴上的给定区间,(1)为使 物体落在D内,求a的范围;(2)若物体 运动时,又经过点 P ( 2,8.1),问它能否落 在D内?并说明理由。

解: )将(0, (1 9)代入y ? ax ? c ? c ? 9
2

? 运动轨迹方程为y ? ax ? 9。
2

9 令y ? 0, 得ax ? 9 ? 0 ? x ? ? , 应有 a
2 2

9 1 9 6? ? ?7? ? ?a?? , a 4 49 2 (2)将(2,8.1)代入y ? ax ? 9
? 8 .1 ? a ? 2 ? 9
2

9 1 9 9 ? a ? ? ,? ? ? ? ? ? 40 4 40 49 ? 能落在D内。

x y 13.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)与双曲线 a b 2 2 x y ? 2 ? 1( m , n ? 0)有公共焦点F1 , F2, 2 m n P是它们的一个共同点, (1)用b和n表示 cos ?F1 PF2; (2)设S ?F1 PF 2 ? f (b, n), 求f (b, n)。

2

2

解: (1) P为椭圆上的点,? PF1 ? PF2 ? 2a ... 1 ? 1 ? 2 : PF1 ? PF2 ? a ? m
2 2 2 ?2 ?2 ? ?

又 ? P为双曲线上的点 PF1 ? PF2 ? 2m ... 2
2 2

PF1 ? PF2 ? F1 F2 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 ? PF2
2 2

( PF1 ? PF2 ) ? F1 F2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2

4a ? 4c 2 2 2 2 2 ? ? 1(?) ? c ? a ? b ? m ? n 2 2 2(a ? m )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2b b ?n ? a ? m ? b ? n ?? ? 2 ?1 ? 2 2 2 b ?n b ?n 2bn 2 (2) ?F1 PF2 ? 1 ? cos ?F1 PF2 ? 2 sin 2 b ?n 1 S ?F1 PF2 ? PF1 PF2 sin?F1 PF2 2 1 2 2bn 2 ? (b ? n ) 2 ? bn 2 2 b ?n

14.在直角坐标平面上给定 一曲线y ? 2 x
2

2 (1)设点A的坐标为( , 0),求曲线上距 3 点A最近的点P之坐标及相应的距离 PA; (2)设点A的坐标为(a ,0),a ? R, 求曲线上的点到点 A的距离的最小值 d, 并写出d ? f (a )的函数表达式 .

解:(1)设M ( x , y )为曲线上任意一点, 2 2 2 4 1 2 1 2 2 则 MA ? ( x ? ) ? y ? x ? x ? ? ( x ? ) ? 3 3 9 3 3 ? x ? [0,??)
2

当x ? 0时, MA ? MA min 2 ? 3

2 min

1 2 1 4 ?( ) ? ? 3 3 9

2 ? 距点A最近的点 P (0,0),这时 PA ? 3

(2)d ? ( x ? a ) ? y ? x ? 2ax ? a ? 2 x
2 2 2 2 2

? x ? 2(a ? 1) x ? a ? [ x ? (a ? 1)] ? ( 2a ? 1)
2 2 2

? x ? [0,??) 1 a ? 1 ? 0, 即a ? 1时,d
? 2 min

? 2a ? 1
2

? d min ? 2a ? 1 2 a ? 1 ? 0, 即a ? 1时, d
? 2 2 min

? [0 ? (a ? 1)]

? 2a ? 1 ? a ? d min ? a

此时恰好顶点(0, 0)与A(a ,0)最近, ? 2a ? 1 (a ? 1) ? ? d min ? f (a ) ? ? ? a (a ? 1) ? 2 一般地 : 对于抛物线y ? 2 px( p ? 0) d min ? 2ap ? p 2 (a ? p ) ? ? f (a ) ? ? ? a (a ? p) ?


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