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广东省2017届高三理科数学总复习专题突破训练:圆锥曲线


广东省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、选择、填空题 x2 y2 1、 (2016 年全国 I 高考)已知方程 2 – 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4, m +n 3m –n 则 n 的取值范围是 (A)(–1,3) (B)(–1, 3) (C)(0,3) (D)(0, 3) 2、 (2016 年全国 I 高考)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|= 4 2 ,|DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2
3、(2016 年全国 II 高考)圆 x ( ) (A) ?

(B)4
2

(C)6

(D)8

? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=
3 4

4 3

(B) ?

(C)

3

(D)2

4、 (2016 年全国 II 高考)圆已知 F1 , F2 是双曲线 E : 轴垂直, sin ?MF2 F1 (A)

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M a 2 b2

在 E 上, MF 1与x

?

2

1 ,则 E 的离心率为( 3 3 (B) (C) 3 2

) (D)2

5、 (2015 年全国 I 卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1上的一点,F1、F2 是 C 2

????? ????? 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是
(A) (-

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

6、 (2015 年全国 I 卷)一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该 16 4

圆的标准方程为




7、 (佛山市2016届高三二模)已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2,过右焦点F 作 FB // l 1 且 交l 2于点B ,过点B 作BA⊥l 2 且交l 1于点 A .若 AF⊥x 轴,则双曲线C 的离心率为( )

A. 3

B.

2 3 3

C.

6 2

D.2 2

8、 (广州市 2016 届高三二模)已知点 O 为坐标原点,点 M 在双曲线 C : x2 ? y 2 ? ? ( ? 为正 常数)上,过点 M 作双曲线 C 的某一条渐近线的垂线,垂足为 N ,则 ON ? MN 的值为

(A)

? 4

(B)

?
2

(C) ?

(D) 无法确定

9、 (茂名市 2016 届高三二模)若动圆的圆心在抛物线 y ? 此圆恒过定点 A. (0,2) ( ) B.(0,-3)

1 2 x 上,且与直线 y+3=0 相切,则 12
D.(0,6)

C. (0,3)

10、 (茂名市 2016 届高三二模)已知双曲线:

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1 , F2 ,
焦距为 2c , 直线 y ? 3( x ? c) 与双曲线的一个交点 M 满足

?MF1F2 ? 2?MF2 F1 , 则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C.2





D. 3 ? 1 )

11、 (深圳市 2016 届高三二模)以直线 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线的离心率为为( A. 2

B.

2 3 3

C. 2 或

2 3 3

D. 3

12、 (珠海市 2016 届高三二模)已知以原点为中心,实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为y=

3 x,焦点到渐近线的距离为 6,则此双曲线的标准方程为 4
A.

x2 y 2 ? ?1 16 9 x2 y 2 ? ?1 64 36

B.

x2 y 2 ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ?1 36 64

C.

D.

二、解答题

1、 (2016 年全国 I 高考)设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴
2 2

不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

2、 (2016 年全国 II 高考)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点,斜率为 t 3

k (k ? 0) 的直线交 E 于 A, M 两点,点 N 在 E 上, MA ? NA .
(Ⅰ)当 t ? 4,| AM |?| AN | 时,求 ?AMN 的面积; (Ⅱ)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围.

3、 (2016 年全国 III 高考)已知抛物线 C : y 2 ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分 别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.

4、 (2015 年全国 I 卷)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交 4

与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。
5、 (佛山市2016届高三二模)已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F ' 与点F 关 于原点对称.线段CF ' 的中垂线与

CF 交于P 点. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ;
(Ⅱ) 设点 A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q,直线 AQ与直线PF 交于点

B.
(1) 证明:点B 恒在曲线E 上;

(2) 求 △PAB 面积的最大值.

6、 (广州市 2016 届高三二模)已知点 F ?1,0 ? ,点 A 是直线 l1 : x ? ?1 上的动点,过 A 作直线 l2 ,

l1 ? l2 ,线段 AF 的垂直平分线与 l2 交于点 P .
(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若点 M , N 是直线 l1 上两个不同的点, 且△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,直
2 2

线 PF 的斜率为 k ,求

k MN

的取值范围.

7、 ( 茂 名 市 2016 届 高 三 二 模 ) 已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1, (0 ? b ? 3) 的 左 右 焦 点 分 别 为 9 b2

F1 (?c,0), F2 (c,0) ,过点 F1 且不与 x 轴重合的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点.当直线 l 垂直 x 轴
时, AB ?

8 . 3

(I)求椭圆的标准方程; (II)求 ?ABF2 内切圆半径的最大值.

8、 (深圳市 2016 届高三二模)过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B
2

两点,且 A, B 两点的纵坐标之积为 ?4 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 D 的坐标为 (4, 0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点,求证:直线

AP 与 x 轴交于一定点.

9、 (潮州市 2016 届高三上期末) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶点与右焦点的距离为 3 - a 2 b2

1,短轴长为 2 2 。 (I)求椭圆的方程; (II)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若△OAB(O 为直角坐标原点)的面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程。 4

x2 y2 10、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一) )已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的一个 a b
顶点为 A( 2, 0 ) ,且焦距为 2 ,直线 l 交椭圆 ? 于 E 、 F 两点(点 E 、 F 与点 A 不重合) ,且满 足 AE ? AF . (1)求椭圆的标准方程; (2) O 为坐标原点,若点 P 满足 2OP ? OE ? OF ,求直线 AP 的斜率的取值范围.

参考答案 一、选择、填空题 1、 【答案】A 【解析】由题意知:双曲线的焦点在 x 轴上,所以 m ? n ? 3m ? n ? 4 ,解得: m ? 1 ,因为
2 2 2

方程

?1 ? n ? 0 ?n ? ?1 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 所以 ? , 解得 ? , 所以 n 的取值范围是 ? ?1,3? , 1? n 3 ? n ?n ? 3 ?3 ? n ? 0

故选 A. 2、 【答案】B 【解析】
2 试题分析:如图,设抛物线方程为 y ? 2 px ,圆的半径为 r, AB, DE 交 x 轴于 C , F 点,则

AC ? 2 2 , 即 A 点 纵 坐 标 为 2 2 , 则 A 点 横 坐 标 为

4 4 , 即 OC ? ,由勾股定理知 p p

p 4 DF 2 ? OF 2 ? DO2 ? r 2 , AC 2 ? OC 2 ? AO2 ? r 2 ,即 ( 5) 2 ?( ) 2 ?(2 2) 2 ?( ) 2 ,解得 2 p

p ? 4 ,即 C 的焦点到准线的距离为 4,故选 B.

3、【答案】A

4、【答案】A

2 2 F1 F2 F F sin M 1 2 【解析 1】 离心率 e ? ,由正弦定理得 e ? ? ? 3 ? 2. MF2 ? MF1 MF2 ? MF1 sin F1 ? sin F2 1 ? 1 3

故选 A. 【解析 2】

5、 【答案】A

6、 【答案】 ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

25 4
2

【解析】 试题分析:设圆心为( a ,0) ,则半径为 4? | a | ,则 (4 ?| a |)
3 25 故圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 4
7、B 8、B 9、C 10、 答案 D ,提示:∵直线 y= 3(x+c)过左焦点 F1,且其倾斜角为 60°, ∴∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°.∴∠F1MF2=90°,即 F1M⊥F2M. ∴|MF1|=

3 |? |a 22? 2 ,解得 a ? ? , 2

1 0 | F1 F2 |? c ,|MF2| ?| F 1F 2 | sin 60 ? 3c 2

由双曲线的定义有: |MF2|-|MF1|+= 3c ? c =2a, ∴离心率 e ?

c ? a

c ? 3 ?1 3c ? c 2

11、【答案】C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,

b a 4 ? 3 ,或 ? 3 .∴ c 2 ? 4a 2 ,或 c 2 ? a 2 . a b 3 2 3. ∴ e ? 2 ,或 e ? 3
∴ 12、C 二、解答题 1、 【答案】 (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0 ) (II) [12,8 3 ) 4 3

【解析】利用椭圆定义求方程; (II)把面积表示为关于斜率 k 的函数,再求最值。 试题解析: (Ⅰ)因为 | AD |?| AC | , EB // AC ,故 ?EBD ? ?ACD ? ?ADC , 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | .
2 2 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1) ? y ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB |? 4 .

由题设得 A(?1,0) , B(1,0) , | AB |? 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为: ( y ? 0 ).

x2 y 2 ? ?1 4 3

2、 【答案】 (Ⅰ)

144 ; (Ⅱ) 49

?

3

2, 2 .
x2 y 2 ? ? 1 ,A 点坐标为 ? ?2 ,0 ? , 4 3

?

【解析】 ⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为

则直线 AM 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? .
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 3 联立 ? 4 并整理得, 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

解得 x ? ?2 或 x ? ?

8k 2 ? 6 12 8k 2 ? 6 2 AM ? 1 ? k ? ? 2 ? 1? k2 ? ,则 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k

? 1? AN ? 1 ? ? ? ? ? 因为 AM ? AN ,所以 ? k?

2

12 ? 1? 3 ? 4 ? ?1 ? ? ? k?
2

? 1? k2 ?

12 3k ? 4 k

因为 AM ? AN , k ? 0 ,

所以

1? k2 ?

12 12 ? 1? k2 ? 2 4 ,整理得 ? k ? 1? ? 4k 2 ? k ? 4 ? ? 0 , 3 ? 4k 3k ? k

4k 2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ? 1 .

所以 △AMN 的面积为

1 AM 2

2

1? 12 ? 144 ? ? 1?1 ? . ? ? 2? 3? 4? 49

2

⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 3 联立 ? t 并整理得, ? 3 ? tk ? x ? 2t tk x ? t k ? 3t ? 0 ?y ? k x ? t ?

?

?

?

?

解得 x ? ? t 或 x ? ?

t tk 2 ? 3 t , 3 ? tk 2

2 所以 AM ? 1 ? k ?

t tk 2 ? 3 t 6 t ? t ? 1? k2 ? 2 3 ? tk 3 ? tk 2
6 t

所以

AN ? 1 ? k 2 ?

3k ?

t k

因为 2 AM ? AN
2 ? 1? k2 ? 6 t 6 t 6k 2 ? 3k ? 1? k2 ? . t ,整理得, t ? 3 3 ? tk 2 3k ? k ?2 k

所以

因为椭圆 E 的焦点在 x 轴,所以 t ? 3 ,即

6k 2 ? 3k ? k 2 ? 1? ? k ? 2 ? ? 0 ? 3 ,整理得 3 k ?2 k3 ? 2

解得 3 2 ? k ? 2 .

3、 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) y ? x ?1 .
2

4、 【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在

【解析】 (Ⅰ)由题设可得 M (2 a , a) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a) . ∵ y? ?
1 x2 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故y?
x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设P (0, b) 为复合题意得点,M ( x1, y1 ) ,N ( x2 , y2 ) , 直线 PM, PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

……5 分

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意.
5、

……12 分

所以点 B 恒在椭圆 E 上.…………………………8 分

6、 (Ⅰ)解:依题意,点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离等于它到直线 l1 的距离, ………………1 分 ∴点 P 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l1 : x ? ?1 为准线的抛物线. …………2 分 ∴曲线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . ………………………………………………3 分

(Ⅱ)解法 1:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? , 直线 PM 方程为: y ? m ?

y0 ? m ? x ? 1? , x0 ? 1

………………………4 分

化简得, ? y0 ? m? x ? ? x0 ?1? y ? ? y0 ? m? ? m ? x0 ?1? ? 0 . ∵△ PMN 的内切圆方程为 x ? y ? 1,
2 2

∴圆心 ? 0, 0 ? 到直线 PM 的距离为 1 ,即
2 2 2

y0 ? m ? m ? x0 ? 1?

? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1?
2

2

? 1 . ………5 分

故 ? y0 ? m ? ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? m ? ? 2m ? y0 ? m ?? x0 ? 1? ? m

2

? x0 ? 1?

2

.

易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 .………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? .……………9 分 x0 ? 1

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 ,
2 4 ? x0 ? 1? x0 ? 4 x0 ? 1 ?2 ∴ MN ? . ? 2 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

16 x0

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . 1 x0 ? ? 4 x0

………………………………10 分

∵函数 y ? x ? ∴ x0 ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

解法 2:设点 P ? x0 , y0 ? ,点 M ? ?1, m? ,点 N ? ?1, n ? ,

直线 PM 的方程为 y ? m ? k1 ? x ? 1? ,即 k1 x ? y ? k1 ? m ? 0 ,………………4 分 ∵ 直线 PM 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, ∴

k1 ? m k12 ? 1

? 1.

∴ k1 ?

1 ? m2 . 2m

………………………………………………5 分

∴ 直线 PM 的方程为 y ? m ? ∵ 点 P 在直线 PM 上,

1 ? m2 ? ? x ? 1? . 2m

1 ? m2 ? ? x0 ? 1? . ∴ y0 ? m ? 2m
易知 x0 ? 1 ,上式化简得, ? x0 ?1? m2 ? 2 y0m ? ? x0 ? 1? ? 0 . …………………6 分 同理,有 ? x0 ?1? n2 ? 2 y0n ? ? x0 ? 1? ? 0 . ………………………………………7 分

∴ m, n 是关于 t 的方程 ? x0 ?1? t 2 ? 2 y0t ? ? x0 ?1? ? 0 的两根. ∴m?n ?

? ? x0 ? 1? ?2 y0 , mn ? . x0 ? 1 x0 ? 1

…………………………………………8 分
2 4 y0

∴ MN ? m ? n ?
2

?m ? n?

2

? 4mn ?

? x0 ? 1?

2

?

4 ? x0 ? 1? . x0 ? 1

……………9 分

∵ y0 ? 4 x0 , y0 ? 2 x0 ,
2 4 ? x0 ? 1? x0 ? 4 x0 ? 1 ?2 ∴ MN ? . ? 2 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

16 x0

直线 PF 的斜率 k ?

2 x0 y0 y0 ? ,则 k ? . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



k MN

?

x0 ? x ? 4 x0 ? 1
2 0

1 . ……………………………………10 分 1 x0 ? ? 4 x0

∵函数 y ? x ?

1 在 ?1, ?? ? 上单调递增, x

∴ x0 ?

1 ? 1 ?1 ? 0 . x0 1 ? 4 ? 4. x0
………………………………………………11 分

∴ x0 ?

∴0 ?

1 1 ? . 1 x0 ? ? 4 4 x0

∴0 ?

k MN

?

1 . 2
? ? 1? 2?
………………………………………………12 分



k MN

的取值范围为 ? 0, ? .

? c 2 16 ?1 4 4 ? ? 7.解: (1)由已知条件可设 A( ? c, ) , B ( ?c,? ) 由 ? 9 9b 2 ……………2 分 3 3 ?b 2 ? c 2 ? 9 ?
解得 ?

?b ? 2 ?c ? 5

…………………………………………3 分

所以椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………4 分 9 4

(2)法 1:设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,直线 l 的方程为 x ? ty ? 5 ……………………5 分

? x ? ty ? 5 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 并化简得 ? 4t ? 9 ? y ? 8 5ty ? 16 ? 0 ………………6 分 ?1 ? ? 4 ?9
由韦达定理得 y1 ? y2 ?

8 5t 16 , y1 y2 ? ? 2 2 4t ? 9 4t ? 9
2 2

…………………………7 分

. 那么 ? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

? 8 5t ? 16 24? 24 ? t 2 ? 1 ? ? 4 y1 y2 ? ? ? ? 4 ? ? 2 ? 4t 2 ? 9 ? 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9 ? ?

?

?

?

?

所以 y1 ? y2 ?

24? t 2 ? 1 4t 2 ? 9

………………………………8 分

而 S ?ABF2 ? S ?AF1F2 ? S ?BF1F2 ?

1 ? 2c ? y1 ? y2 ? 5 y1 ? y2 2

? 24 5 ?

t 2 ?1 t 2 ?1 24 5 ? 24 5 ? ? 2 2 4t ? 9 4 t ?1 ? 5 4 t 2 ?1 ? 5 t 2 ?1

?

?

…………9 分

?

24 5 2 4 t 2 ?1 ? 5 t ?1
2

?

24 5 ?6, 4 5

当且仅当 4 t ? 1 ?
2

5 t 2 ?1

,即 t ? ?

1 时等号成立 …………………………10 分 2

又因为 S?ABF2 ?

1 1 ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ?12 ? r ? 6r ? 6 ……11 分 2 2

所以 ?ABF2 内切圆半径的最大值为 1. ……………………12 分 法 2: ①当直线 l 的斜率不存在时 S ?ABF2 ?

1 1 8 8 ? AB ? 2c ? ? ? 2 5 ? 5 2 2 3 3 1 1 又因为 S ?ABF2 ? ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ? 12 ? r ? 6r 2 2 4 5 所以这时 r ? ………………………………………………………5 分 9

②当直线 l 的斜率存在时,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , l : y ? k x ? 5 把 y ? k x ? 5 代入

?

?

?

?

x2 y 2 x 2 k 2 ( x ? 5 )2 ? ? 1得 ? ?1 9 4 9 4

得 9k 2 ? 4 x2 ? 18 5k 2 x ? 45k 2 ? 36 ? 0 由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

?

?

18 5k 2 45k 2 ? 36 , x x ? …………………………6 分 1 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
?

AB ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

?1 ? k ???x ? x ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2

?

?

?

?? 18 5k 2 ? 2 4 ? 36 ? 4 ? 45k 2 ? ? ? ? 1 ? k ?? ? 2 9k ? 4 ? 9k 2 ? 4 ?? ? ? ? ? ?
2

?

?

4 ? 9 ? 16 ? 1 ? k 2

?9k

?

2

?4

?

?

2

2

24 ? 1 ? k 2 ……………………………7 分 ? 9k 2 ? 4
…………………………………………8 分

?

?

点 F2 到直线 l 的距离为 d ?

2 5? k k2 ?1

S ?ABF2 ?

2 1 1 24? 1 ? k 2 2 5 ? k 24 5 k ? 1 ? k ? AB ? d ? ? ? ………9 分 ? 2 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4 k 2 ?1

?

?

1 1 k2 ?1 ? k ?1 ?1 2 2 2 k k k ? 24 5 ? ? 24 5 ? ? 24 5 ? 4 9k 2 ? 4 ? 1 ? ?9 4? 2 ? 1? ? 5 2 2 k k ?k ?
? 24 5 ? 1 1 4 2 ?1 ? k 5 1 ?1 k2 ? 24 5 ? 1 4 5 ?6

当且仅当 4

1 ?1 ? k2

5 即 k ? ?2 时等号成立………………………10 分 1 ?1 k2

1 1 ? ? AB ? F2 A ? F2 B ? ? r ? ? 12 ? r ? 6r 2 2 得 6r ? 6 解得 r ? 1 ………………………………………………………11 分 4 5 所以 ?ABF2 内切圆半径的最大值为 1. …………………12 分 又因为 1 ? 9 p 8.【解析】 (1)抛物线的焦点为 F ( , 0) , 2 p 故可设直线 AB 的方程为 x ? my ? , 2
由 S ?ABF2 ?

p ? ? x ? my ? 由? 2 ,得 y 2 ? 2 pmx ? p2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 y2 ? ? p2 , ∴ ? p2 ? ?4 ,由 p ? 0 ,可得 p ? 2 . ∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

(2) 【方法 1】依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 . ∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,②

由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ? 由(1)可得 y1 y2 ? ?4 , ∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y2 ), x2 ? 4

5 y1 ), 1 ? y12

∴ k AP

5 y1 ? y1 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , ?1 ? x1 y1 ? 1
4 y1 ( x ? x1 ) , 1 ? y12

∴直线 AP 的方程为 y ? y1 ?

令 y ? 0 ,可得 x ? x1 ?

y12 ? 1 1 2 y12 ? 1 1 ? y1 ? ? , 4 4 4 4
1 4

∴直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

【方法 2】直线 AP 与 x 轴交于定点 M ( , 0) . 证明如下: 依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 . ∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

1 4

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

5 y2 ), x2 ? 4 5 y2 ), x2 ? 4

由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

由(1)可得 y1 y2 ? ?4 ,∴ y2 ? ?

4 . y1

∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y1 ), 1 ? y12

∴ P, M 两点连线的斜率为 k PM

5 y1 ?0 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , 1 y1 ? 1 ?1 ? 4

∴ A, M 两点连线的斜率为 k AM ?

y1 ? 0 4y ? 2 1 , 1 y1 ? 1 x1 ? 4

∴ kPM ? k AM ,∴ P 、 A 、 M 三点共线, 即直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

1 4

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 9、解: (Ⅰ)由题意得 ?b ? 2 ……………………………………………….1 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
解得 a ? 3 , c ? 1 . ……………………………………………………3 分 所以所求椭圆方程为 (Ⅱ)方法一: 当直线 AB 与 x 轴垂直时, | AB | ? 此时 S?AOB ?

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………4 分 3 2
4 3 , 3

2 3 不符合题意故舍掉;…………………………………..5 分 3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 3 消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ………6 分 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ?6 k 2 x ?x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? ,………………….…..7 分 2 ? x x ? 3k ? 6 1 2 ? 2 ? 3k 2 ?
∴ | AB | ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)]2

? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[
?

36k 4 12k 2 ? 24 48(k 2 ? 1)2 ? ] ? (2 ? 3k 2 )2 2 ? 3k 2 (2 ? 3k 2 ) 2

4 3(k 2 ? 1) ………………………………………….…………9 分 2 ? 3k 2

原点 O 到直线的 AB 距离 d ? ∴三角形的面积 S?AOB ? 由 S?AOB ?

|k| 1? k 2

,…………………………..…10 分

1 1 |k| 4 3(k 2 ? 1) . | AB | d ? ? 2 2 1? k 2 2 ? 3k 2

3 2 得 k 2 ? 2 ,故 k ? ? 2 .………………………………..11 分 4
或 2x ? y ? 2 ? 0 …………………………….12 分

∴直线 AB 的方程为 y ? 2( x ? 1) ,或 y ? ? 2( x ? 1) . 即 2x ? y ? 2 ? 0 ,

方法二: 由题意知直线 AB 的斜率不为 O ,可设其方程为 ny ? x ? 1 .………….5 分

? ny ? x ? 1 ? 由 ? x2 y2 消去 x 得 (2n2 ? 3) y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 .…………………….6 分 ?1 ? ? 2 ?3
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ∴ S?AOB ? 又 S?AOB ?

4n ?4 , y1 y2 ? .…….7 分 2 2n ? 3 2n 2 ? 3

1 1 | OF | ? | y1 ? y2 | ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 .…………….….8 分 2 2
9 3 2 2 ,所以 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? .…………………….……..9 分 2 4

∴(

4n 2 16 9 2 ) ? 2 ? .解得 n ? ? .………………..…….….11 分 2 2n ? 3 2n ? 3 2 2

∴直线 AB 的方程为

2 2 y ? x ? 1 ,或 ? y ? x ? 1, 2 2

即: 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,或 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 .………………………..12 分

10、 【解析】(Ⅰ)依题意, a ? 2 , 2c ? 2 ,则 c ? 1 …………………1 分

x2 y 2 ? ? 1 .…………………3 分 4 3 ? y ? ?x ? 2 2 (Ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时,由 ? 2 消去 y 整理得 7 x ? 16 x ? 4 ? 0 , 2 ?3 x ? 4 y ? 12
解得 b ? 3 ,所以椭圆 ? 的标准方程为
2

解得 x ?

2 ?2 ? 或 2 ,此时 P ? , 0 ? ,直线 AP 的斜率为 0 ;………………5 分. 7 ?7 ?

当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,直线 l : y ? kx ? t ( t ? ?2k ),

由?

? y ? kx ? t
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

2 2 2 ,消去 y 整理得 3 ? 4k x ? 8ktx ? 4t ? 12 ? 0 ,………………6 分

?

?

2 2 2 依题意 ? ? 64k t ? 4 3 ? 4k

?

?? 4t

2

? 12 ? ? 0 ,即 4k 2 ? t 2 ? 3 ? 0 (*),

且 x1 ? x2 ? ?

8kt 4t 2 ? 12 x x ? , ,…………………7 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又 AE ? AF , 所以

??? ? ??? ? 7t 2 ? 4k 2 ? 16kt ? ?0, AE ? AF ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? 3 ? 4k 2 2k 2 2 所以 7t ? 4k ? 16kt ? 0 ,即 ? 7t ? 2k ??t ? 2k ? ? 0 ,解得 t ? ? 满足(*),………………8 7
分 所以 2OP ? OE ? OF ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

8kt 6t ? ? ,故 , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4 k ?

4kt 3t ? ? ,…9 分 P?? , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?
故直线 AP 的斜率 k AP 分 当 k ? 0 时, 8k ? 当 k ? 0 时, 8k ?

3t 2 3t k 1 ,…………10 ? 3 ? 4k ?? 2 ? 2 ? 4kt 7 8 k ? 4 kt ? 6 8 k ? 7 ? ?2 8k ? 3 ? 4k 2 k

7 14 ? ?4 14 ,此时 ? ? k AP ? 0 ; k 56 7 14 ? 4 14 ,此时 0 ? k AP ? ; k 56

综上,直线 AP 的斜率的取值范围为 ? ?

? ?

14 14 ? , ? .………………………………………12 分 56 56 ?


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