当前位置:首页 >> 数学 >> 向量与三角综合题选

向量与三角综合题选

向量与三角综合题选
1.将函数 y=f(x)·cosx 的图象按向量 a=( 数 f(x)可以是 A.cosx B.2cosx C.sinx ( D ) D.2sinx

? ,1)平移,得到函数 y=2sin2x 的图象那么函 4

sin sin 2.已知 a ? (cos?, ? ) , b ? (cos? , ? ) ( 0 ? ? ? ? ? ? ) ,且| ? a ?? b |=| ? a ?? b |
( ?? ? 0 ) ,则 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (cos

? . 2

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2

① a ? b及 | a ? b | ; ②若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 解: (1) a ? b ? cos

? ?

? ?

3 , 求?的值. 2

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

3 3 3 x | a ? b |? ( c o s x ? c o s ) 2 ? ( s i n x ? s i n ) 2 ? 2 ? 2 c o 2 x ? 2 c o 2 x s s 2 2 2 2
? x ? [0, ],? c o sx ? 0,?| a ? b |? 2 c o sx 2
(2) f ( x) ? cos2x ? 4? cos x,即f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2
? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

?

①当 ? ? 0 时,当县仅当 cos x ? 0 时, f (x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 ,当且仅当cos x ? ? 时, f (x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得 时
2

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f (x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ?

3 2

5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾,综上所述, ? ? 为所求。 8 2

4.平面直角坐标系内有点 P (1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ]. 4 4

(Ⅰ)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (Ⅱ)求 f (x) 的最小值.

解: (Ⅰ)
? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x,? cos? ? OP ? OQ | OP | ? | OQ | ? 2 cos x ? f ( x) 1 ? cos2 x

(Ⅱ) cos ? ? f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? cos 2 x
2 ? cos x ?

? ? 2 . x ? [? , ],? cos x ? [ ,1] . 1 4 4 2 cos x ? cos x
2

1 3 2 2 2 2 2. ? , ? f ( x) ? 1, f ( x) min ? cos x 2 3 3

5.设 a ? (1 ? cos? , sin ? ) , b ? (1 ? cos ? , sin ? ) , c ? (1 , 0)

? ? (? , 2? ) , a 与 c 的夹角为 ? 1 , b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ?
值. (本题 12 分) .解:

? ? (0 , ? ) ?
6

,求 sin

? ??
4



a ? ( 2 cos2 b ? ( 2 sin 2

? ?
2

, 2 sin , 2 sin

? ?

cos ) ? 2 cos (cos , sin ) 2 2 2 2 2

? ?

?

?

?

2

cos ) ? 2 sin (sin , cos ) 2 2 2 2 2

?

?

?

? ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ? 故 | a |? 2 c o s 2 c o ?1 ? s a?c |a |?|c | b?c |b |?|c |

?

?

| b |? 2 s i n 2 ? 2 c o 2s

?

? (0, ), ? ( , ? ) 2 2 2 2

?

?

?

? 2 ? c o s ?? ? ? 1 ? 2 2 2c o s 2
2 ? s i n? ? c o s? ? ? ) ( ? 2 2 2 2s i n 2

?

c o ?2 ? s

?

2 2s i n

?

?0 ?

?
2

?

?
2

?

?
2 ?

?? 2 ?

?
2 ?

?

?
2

又?1 ? ? 2 ? ?

?

?
2

???
2

??

?
3

6

?

?
2

?
2

?

?
6

?s i n

???
4

? 1 ? s i n? ) ? ? ( 6 2

2 6.已知函数 f ( x) ? 2a ? sin x ? cos x ? 2b ? sin x ? b(a 、b 为常数,且 a ? 0 )的图

象过点( 0, 3 ) ,且函数 f (x) 的最大值为 2.

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式,并写出其单调递增区间; (2)若函数 y ? f (x) 的图象按向量 p ? (m,0) 作移动距离最小的平移后,使所得的图象关 于 y 轴对称,求出向量 p 的坐标及平移后的图象对应的函数解析式 解: (1) f ( x) ? a sin 2 x ? b ? cos2 x,

f (0) ? 3得b ? 3, 又有 a 2 ? b 2 ? 2解得a ? ?1
所以函数 y ? f (x) 的解析式是 f ( x) ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? ?2 sin( 2 x ?

?
3

)

f (x) 的单调递增区间是 [k? ?

5 11 ? , k? ? ? ]( k ? Z ) 12 12

(2)∵平移后的图象对应的函数解析式是 y ? ?2 sin[ 2( x ? m) ? 图象关于 y 轴对称,即 y ? ?2 sin( 2 x ? 2m ?

?
3

]

?

? ?2 sin( ?2 x ? 2m ?

?
3

) ? ?2 sin( 2 x ? 2m ?

?

3 3

) 为偶函数, )

即sin( ?2 x ? 2m ? ) ? sin( 2 x ? 2m ? )对x ? R 恒成立 3 3 ? (?2 x ? 2m ?

?

?

?

2 ? 5 ? ?4m ? ? ? 2k? ? ? , m ? ?k ? ? ? , 3 2 12 ? 5 ? ?当k ? ?1时mmin ? ? ? ? , 2 12 12
故p ?(

3

) ? ( 2 x ? 2m ?

?

3

) ? 2k? ? ? , (k ? Z )

?

12

,0) ,图象对应的函数解析式为 y ? ?2 sin( 2 x ?

?
2

) ? cos 2 x

7.已知二次函数 f (x) 对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立, 设向量 a ?(sinx,2) ,

b ? (2sinx,

>f( c ? d )的解集.

1 ) c ? (cos2x,1) d ? (1,2) , , ,当 x ?[0, π ]时,求不等式 f( a ? b ) 2

解析:设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y1 ) 、B(1+x, y2 )因为

(1 ? x) ? (1 ? x) ? 1 , f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,所以 y1 ? y2 ,由 x 的任意性得 f(x)的图象关 2
于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是 减函数.

1 a ? b ? (sin x , 2) ? (2 sin x , ) ? 2 sin 2 x ? 1 ? 1 , c ? d ? (cos2 x ,1) ? (1 , 2) 2 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ,


∴ 当 m ? 0 时, f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2 sin 2 x ? 1) ? f (cos2x ? 1) ? 2 sin x ? 1
2

? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 ? cos 2 x ? 0 ? 2kπ ?

π 2

? 2 x ? 2kπ ?

3π ,k ?Z. 2 π 3π ?x? ∵ 0 ? x ? π, ∴ . 4 4 π 3π ? x ? π. 当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ? 或 4 4
综上: f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 {x | 当 m ? 0 时,为 {x | 0 ? x ?

π 3π ? x ? }; 4 4

π 3π ? x ? π} . ,或 4 4

8.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ] 4 4

(1)求向量 OP和OQ 的夹角θ 的余弦用 x 表示的函数 f(x); (2)求θ 的最值. 解: (1)?OP ? OQ ?| OP | ? | OQ | cos?

? cos? ?

OP ? OQ

| OP | ? | OQ | 1 ? cos2 x cos2 x ? 1 2 cos x ? ? ? f ( x) ? x ? [? , ] 2 4 4 1 ? cos x
(2) cos x ? t , 则t ? [

?

| 1 ? cos x ? cos x ? 1

?

2 cos x , 1 ? cos2 x

2 2t ,1],则f ( x) ? ? g (t ) 2 1? t 2

又g ?(t )

? 2(t ? 1)(t ? 1) 2 显然t ? ( ,1)时, g ?(t ) ? 0, 2 2 2 (1 ? t )

2 2 及t ? 1处连续,? g (t )在[ ,1]上是增函数 2 2 2 2 2 ? g (t ) max ? g (1) ? 1, g (t ) min ? g ( ) ? 2 3 2 2 2 2 ? ? cos? ? 1, 又? ? [0, ? ],故? max ? arccos ,? min ? 0 3 3 ? 2 2 ?当x ? ? 时,? max ? arccos , 当x ? 0时,? min ? 0 4 3 又g (t )在t ?
9.如图:已知△OFQ 的面积为 2 6 ,且 OF ? FQ ? m ,

(1)若 6 ? m ? 4 6 时,求向量 OF 与 FQ 的夹角 ? 的取值范围; (2)设 | OF |? c , m ? (

6 ? 1)c 2 时,若以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q, 4

当 | OQ | 取得最小值时,求此双曲线的方程.

(1)

?1 4 6 ? | OF | ? | FQ | sin(π ? ? ) ? 2 6, 由 已 知 , 得 ?2 所 以 t a? ? ,因 为 n m ?| OF | ? | FQ | cos? ? m, ?
6 ? m ? 4 6 ,所以 1 ? tan ? ? 4 ,则
π ? ? ? arctan 4 . (2)以 O 为原点, 4

x2 y2 设所求的双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , (a>0, OF 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, a b
b>0) ,Q 点的坐标为( x1 , y1 ) ,则 FQ =( x1 ? c , y1 ) ,因为△OFQ 的面积

1 4 6 | OF | ? y1 ? 2 6 ,所以 y1 ? ,又由 OF ? FQ ? (c,0) x1 ? c , y1 ) ( 2 c

? ( x1 ? c)c ? (

6 6 96 3c 2 ? 1)c 2 ,所以 x1 ? c ,| OQ |? x12 ? y12 ? 2 ? ? 12 , 4 4 c 8
,由此可得 6, 6)

当且仅当 c=4 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标为(

?6 6 ?a 2 ? 4, x2 y2 ? ? 2 ? 2 ? 1, ? ?1 解之得 ? 2 故所求的方程为 ?a b 4 12 ?b ? 12, ? ?a 2 ? b 2 ? 16, ? ? ? 3x 3x x x ? ( ,sin ) , b ? cos , ? sin ) ,且 x ? [ , ? ] ( 10. 已知向量 a ? cos 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (1) 求 a ? b 及 | a ? b | ;
(2) 求函数 f ( x) ? a ? b + | a ? b | 的最大值,并求使 函数 取得最大值的 x 的值。 解(1) a ? b ? cos

? ?

? ?

? ?

3x x 3x x cos - sin sin = cos 2x 2 2 2 2

3x x 3x x ? ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 | a ? b |= 2 2 2 2

= 2 ? 2(cos

3x x 3x x cos ? sin sin ) 2 2 2 2

= 2 ? 2cos 2x =2| cos x |

,? ] 2 ? ? ∴ | a ? b | =-2 cos x
∵ x ?[ (2) f ( x) ? a ? b + | a ? b | = cos 2x -2 cos x = 2cos x ? 2cos x ? 1
2

?

? ?

? ?

= 2(cos ? ) ?
2

∵ x ?[

?
2

1 2

3 2

,? ]
∴-1≤ f ( x ) ≤3

∴-1≤ cos x ≤0 ∴当 cos x =-1 时

f ( x)max =3,此时 x ? ? ?

(∵ x ? [

?
2

,? ] ) 。
?

11.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) ,且 a 与 b 之间有关系式:

?

?

? ? ? ? | ka ? b |? 3 | a ? kb | ,其中 k>0.
(1)试用 k 表示 a ? b ; (2)求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 ? 的值.

? ?

? ?

?

?

(1)因为 | ka ? b |? 3 | a ? kb | ,所以 | ka ? b |2 ? 3 | a ? kb |2 , (ka ? b ) 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3(a ? kb ) 2 , k 2 a 2 ? 2ka ? b ? b 2 ? 3a 2 ? 6ka ? b ? 3k 2b 2 , 8ka ? b ? (3 ? k 2 )a 2

? 2 ? ? (3 ? k 2 ) ?1 ? (3k 2 ? 1) ?1 2k 2 ? 2 k 2 ? 1 ? ? ? ? . (2)由(1) a ? b ? (3k ? 1)b , a ? b ? 8k 8k 4k
2

?

k 1 k 2 ?1 k 1 k 1 1 ,即 k ?1 时取等号.此时, ? ? ?2 ? ? ,当且仅当 ? 4 4k 4k 4 4k 4 4k 2

1 1 π 1 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? ? , cos ? ? , ? ? ,所以 a ? b 的最小值为 ,此时 a 与 b 的 2 2 3 2 π 夹角 ? 为 3 ? ? ? ? ? 1 12. 已知向量 a ? (sin x, 2), b ? (2sin x, ) ,c ? (cos 2 x,1), d ? (1, 2) , 又二次函数 f ( x ) 的 2 ? ? ? ? ? 开口向上,其对称轴为 x ? 1 ,当 x ? [0, ? 时,求使不等式 f (a ? b) ? f (c ? d ) 成立的 x 的范 ]
围。 .依题意有,当 x≥1 时,f(x)是增函数 ∵ a ? b ? (sin x, 2) ? (2sin x, ) ? 2sin x ? 1 ? 1
2

? ?

1 2

? ? ? c ? d ? (cos 2x,1) ? (1, 2) ? cos 2x ? 2 ? 1
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? f (2sin 2 x ? 1) ? f (cos 2x ? 1)

? ?

? ? ?

? 2sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? cos 2 x ? 0
∵0≤x≤π

?
4

?x?

3? 即为所求 4

→ → → → 13. 已知 a = (sinA,cosA), b =(cosC,sinC),若 3→·b =sin2B, a , b 的夹角为θ , a → 且 A、B、C 为三角形 ABC 的内角。 求(1)∠B → 解:(1)由 3 a ·→=sin2B 得 b 3sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB 所以 3sin(A+C)=2sinBcosB 又在△ABC 中,A+C=π -B,sin(A+C)≠0 所以 3sinB=2sinBcosB 即:cosB= 3 π ,所以 B= 2 6 θ (2)cos 2

→ → a · b sinAcosC+cosAsinC (2)cosθ = = =sin(A+C) → 1×1 | a ||→| b π 5π ∵在△ABC 中,B= ,A+C= 6 6 5π 1 ∴cosθ =sin = 6 2 1 1+ 2 3 θ 1+cosθ 2 ∴cos = = = 2 2 2 4

θ 3 ∵0<θ <π ,∴cos = 2 2 14. 已知平面向量 a ? ( 3, ?1) ,b ? ( ,

?

?

? ? 1 3 若存在非零实数 k 和角 ? ,? ? (? , ) , ), 2 2 2 2
?
? ? ?

使得 c ? a ? (tan3 ? ? 3)b , d ? ?ka ? tan ? b ,且 c ? d 。 ⑴若 ? ?

?

?

?

? ?

?

?
4

时,求 k 的值;

⑵若 ? 在 ( ?

? ?

, ) 上变化时,求 k 的极大值。 2 2

解:⑴∵ a ? b ? ( 3, ?1) ? ( ,

? ?

1 3 )?0 2 2

从而 c ? d ? [a ? (tan 2 ? ? 3)b] ?[?ka ? tan ? b] = ?k | a |2 ?(tan 2 ? ? 3) tan ? | b |2 = ?4k ? tan ? (tan 2 ? ? 3) ? 0

? ? ?

?

?

?

?

?

?

1 ? 1 tan ? (tan 2 ? ? 3), 而 ? ? 于是∴ k ? ? 4 4 2 1 3 ⑵令 tan ? ? x ,则 k ? ( x ? 3x) ,求导有: 4 1 3 k ? ? (3x 2 ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 1) 4 4
则k ? 在 1 ? x ? ?1 时, k ?( x) ? 0 , x ? ?1 或 x ? 1 时, k ?( x) ? 0 ∴在 x ? ? 时, k ( x) 取极大值, k (?1) ? 因此 k 的极大值为

1 1 ((?1)3 ? 3(?1)) ? 4 2

1 2

15. 已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2

① a ? b及 | a ? b | ; ②若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? 解:①a·b= cos

3 ,求实数 ? 的值; 2

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, 2 2 2 2

| a+b|= (cos x ? cos ) ? (sin
2

3 2

x 2

3 x x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x , 2 2

∵ x ? [0,

?
2

] , ∴ cos x ? 0,

∴| a+b|=2cosx. 即 f ( x) ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2

② f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x,

∵ x ? [0,

?
2

] , ∴ 0 ? cos x ? 1.

1?当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾. 1??当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 .
由已知得 ? 1 ? 2? ? ?
2

3 1 ,解得 ? ? . 2 2

1???当? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值1 ? 4? ,
由已知得 1 ? 4? ? ? 综上所述, ? ?

3 5 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

1 为所求. 2
? ? ?

16.已知在三角形 ABC 中,∠A、∠B、∠C 成等差数列,| AC |=2 3 , BA? BC ? 4 (1)求三角形 ABC 的面积; (2)求三角形 ABC 的周长。


更多相关文档:

向量与三角综合题选.doc

向量与三角综合题选 - 1.将函数 y=f(x)cosx 的图象按向量 a=(

三角函数与向量综合题.doc

三角函数与向量综合题 - 题型一 三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同, 但它们实质是一样...

高一三角函数与平面向量综合题.doc

高一三角函数与平面向量综合题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。讲座 三角形内的三角函数问题 ○知识梳理 1.内角定理:三角三角和为 ? ,这是三角形中三角...

三角函数与向量综合题练习.doc

三角函数与向量综合题练习 - 平面向量与三角函数综合练习 题型一 三角函数平移与

三角函数与平面向量综合题(合编打印).pdf

三角函数与平面向量综合题(合编打印)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角...? ? 2 ,选 A . ?3 4? 【评析】理清函数 y ? f (? x) 按向量 a...

三角函数与平面向量经典练习题.doc

三角函数与平面向量经典练习题 - 三角函数与平面向量 一、选择题:本大题共 10

平面向量与三角函数、解三角形的综合习题1.doc

平面向量与三角函数、解三角形的综合习题1 - 三角函数与平面向量、解三角形综合题 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三...

三角与向量综合.doc

三角与向量综合 - 归纳总结高考题型解题策略 专题一:三角与向量的交汇题型分析及解题策略 【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数...

三角函数与平面向量综合题的六种类型.doc

第1 讲 三角函数与平面向量综合题 3.17 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→ p =...

平面向量与解三角形复习题.doc

平面向量与三角形复习题 - 平面向量与三角形复习题 一、选择题 1. (福建

向量与三角复习题_图文.doc

向量与三角复习题 - 1.如下图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,O

向量与三角综合题类型及解法.pdf

向量与三角综合题类型及解法 - MingShiDianJin 名师点金 方法技巧 向量与三角综合题类型及解法 ◇ 辽宁省海城市大屯镇育英学校 张恩强 数学爱好者 平...

三角形“四心”与向量练习题.doc

三角形“四心”与向量练习题 - 1.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 OP = 1 1 1 ( OA+ OB +2 OC ),则...

向量与三角综合题选.doc

向量与三角综合题选 - 向量与三角综合题选 1.将函数 y=f(x)cosx

向量与三角综合题_图文.ppt

向量与三角综合题 - 向量与三角综合题(作业答案) 变式训练 4 《讲义》79页

三角和向量习题.doc

向量和三角习题一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1. co s 6 9

重知识的整合巧解向量与三角综合题_图文.pdf

重知识的整合巧解向量与三角综合题 - 教研论坛 2010D4 凌重知识的整合3巧解向量与三角综合题 覃吉胜 近几年来,高考数学学科的命题,在奉 行考查基础知识的...

必修4大题:三角综合和向量综合含答案word.doc

必修4大题:三角综合和向量综合含答案word_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修4大题:三角综合和向量综合, 有详细解答 高一必修 4 三角函数和向量大题训练(晓...

专题一 三角与向量的交汇题型分析及解题策略.doc

专题一:三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】 三角函数与平面的向量综合主要体现为交汇型,在高考中,主要出现在解答题的第一个试题位置上,其 难度中等...

三角与平面向量精选题与配套答案.doc

三角与平面向量精选题与配套答案 - 三角、平面向量检测题 1. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( 7 7? 7 ...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com