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高中圆锥曲线最经典的5道题(带详细答案)

2015 高考圆锥曲线专项训练(内部资料,不得外传)
y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、 b2 B、C 作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙ P 能否相切?证明你的结论.
1.已知椭圆 x2 ?

2.有如下结论:“圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 y ? y0 y ? r 2 ”,类比 也 有 结 论 : “ 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上一点P( x0 , y 0 ) 处 的 切 线 方 程 为 a2 b2 x0 x y 0 y x2 ? 2 ? 1”,过椭圆 C: ? y 2 ? 1 的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线, 2 4 a b

切点为 A、B. (1)求证:直线 AB 恒过一定点; (2)当点 M 在的纵坐标为 1 时,求△ ABM 的面积

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个 a 2 b2 公共点 A(3,1) ,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.

3.已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

(Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

4.椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离 为2 。 (1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 , 使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

5.椭圆方程为

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,离心率 e ? 。 2 3 a b

(1)求椭圆的方程; ( 2 ) 直 线 l : y ? kx ? 2 (k ? 0) 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 M , N 满 足

MP ? PN , AP ? MN ? 0 ,求 k 。

标准答案详解:
1. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0) , (0,b) , (1,0) ,则 FC、BC 的中 垂线分别为
1? c ? x? , ? 1? c b 1 1 ? 2 , .联立方程组,解出 x? y ? ? (x ? ) ? 2 2 2 b 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m?n ?

1 ? c b2 ? c (b-c)>0,∴ b>c. ? ? 0 ,即 b ? bc ? b 2 ? c ? 0 ,即(1+b) 2 2b
2 1 .又 e ? 0 ,∴ 0 ? e ? . 2 2

从而 b2 ? c 2 即有 a 2 ? 2c 2 ,∴ e2 ?

(Ⅱ)直线 AB 与⊙P 不能相切.由 k AB ? b , k PB

b2 ? c 2 2b = b ? c . ? 1? c b (c ? 1) 0? 2 b?

b2 ? c 如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b · =-1. b (c ? 1)

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,所以直线 AB 与⊙P 不能相切.

xx 4 3 , t )(t ? R), A( x1, y1 ), B( x2 , y 2 ),则MA的方程为 1 ? y1 y ? 1 3 4 3 3 ∵点 M 在 MA 上∴ 同理可得 x1 ? ty1 ? 1 ① x2 ? ty 2 ? 1 ② 3 3 3 由①②知 AB 的方程为 x ? ty ? 1,即x ? 3 (1 ? ty) 3 易知右焦点 F( 3,0 )满足③式,故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F( 3,0 )
2.【解】 (1)设 M ( (2)把 AB 的方程 x ?

3 (1 ? y)代入

∴ | AB |? 1 ? 3 ?

36 ? 28 16 ? 7 7

x2 ? y 2 ? 1, 化简得7 y ? 6 y ? 1 ? 0 4 4 3 | | 2 3 3 ? 又 M 到 AB 的距离 d ? 3 1? 3

∴△ABM 的面积 S ?

1 16 3 ? | AB | ?d ? 2 21
y

3. 【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1. 圆 C:( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .
F1 O C Q A F2 P

x

∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴

| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1

? 5.

解得 k ? 当 k= 当 k=

11 1 , 或k ? . 2 2

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 11 2
1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) . 2

x2 y 2 ? 1. 2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 ,a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为: ? 18 2

(Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x ( ?, 3 y ? ) 1 ∵

, AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是[0, 36].x ? 3 y 的取值范围是[-6, 6]. ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是[-12,0].

4.【解】 (1)依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a2 b2

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2

2 2 ,由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。

x2 y2 ? ? 1。 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2 2

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 y2 ?1 ? ? ?12 4

即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0

(*)

2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144 k ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? ? ,∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ? ,或 6 6

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

??

5? 。 6
2

?b ? 2 ? 5. 【解】 (1) 设c ? a ?b , 依题意得 ? c ?e ? ? a ?
2
2 2

a2 ? b2 6 ? a 3

即?

?b ? 2
2 2 2 ?6a ? 9a ? 9b

x2 y2 ? ? 1。 ∴ a ? 3b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
(2) ? MP ? PN , AP ? MN ? 0 ∴ AP ? MN ,且点 P 线段 MN 的中点,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0 (*) y2 ? ? 1 ? ?12 4
2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144k ? 0 ,显然方程(*)有两个不相等的实数

根。 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y 0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ∴ y 0 ? kx0 ? 2 ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 1 ? 3 k , ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 MN ? AP ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) 3 ? k ? ?1 , ∴ 2 ? 2 ? 6k 2 ? 6 ,解得: k ? ? , 6k 3


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