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2012年三明市普通高中毕业班质量检查(5月质检)文科数学 (word)

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回. 参考公式: 锥体体积公式 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差

s=
?

? ? ? 1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x) + … + ( xn ? x) 2 ] n

1 V = Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V = Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M = {x ?1 ≤ x ≤ 1} , N = {0 ,1 , 2} ,则 M I N 为 A. {1}
2

B. {0,1}

C. {0,1,2}

D. {x | 0 ≤ x ≤ 1}

2. x ≥ 1 ”是“ x ≥ 1 ”的 “ A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知平面向量 a = (3 ,1) , b = ( x , ? 3) ,若 a ⊥ b ,则实数 x 等于 A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3 4.已知 i 是虚数单位,且复数 m(m ? 1) + (m ? 1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 A. ? 1 B.1 C.0 或 1 D.0

5.阅读如图所示的程序框图,运算相应程序,若输入的 m = 1 ,则输出 m 应为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
文科数学第 1 页(共 6 页)

6.已知 0 < x < 1 ,若 a = x 2 , b = A. a > b > c C. c > b > a

B. b > c > a D. c > a > b

1 , c = x .则 x

开始

输入 m

5 ,则 sin α = 12 5 1 1 5 A. ? B. ? C. D. 13 5 5 13 8.已知 m, n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的
7.若 α 是第四象限角,且 tan α = ? B.若 α ⊥ β , α ⊥ γ ,则 β // γ . D.若 m ⊥ α , m ⊥ β ,则 α // β . C.若 m // α , m // β ,则 α // β . 平面,下列命题正确的是 A.若 m // α , n // α ,则 m // n .

m ? lg m ≥ 1




输出 m

m = m +1
结束
(第 5 题图)

9.如图是甲、乙两个学生的 8 次数学单元考试成绩的茎叶图.现有如下结论: ① X 甲=X 乙 ; ②乙的成绩较稳定;

③甲的中位数为 83; ④乙的众数为 80。 则正确的结论的序号是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 10.已知函数 g ( x ) = 2 ?
x

? g ( x) ( x ≥ 0) 1 ,若 f ( x ) = ? ,则函数 f ( x ) 在定义域内 x 2 ? g (? x) ( x < 0)
B.有最大值,但无最小值. D.既无最大值,又无最小值.

11.若曲线 C 上存在点 M ,使 M 到平面内两点 A ( ?5, 0 ) , B ( 5, 0 ) 距离之差为 8,则称 .以下曲线不是“好曲线”的是 曲线 C 为“好曲线” .. A. x + y = 5 B. x 2 + y 2 = 9 C.

A.有最小值,但无最大值. C.既有最大值,又有最小值.

x2 y 2 + =1 25 9

D. x 2 = 16 y

12 . 已 知 线 段 P P2 , | P1 P2 |= 1 , 对 于 自 然 数 n ( n ≥ 3) 有 Pn ? 2 Pn = 2 Pn Pn ?1 , 则 1

uuuuuu r

uuuuur

uuuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r | P P3 | + | P2 P4 | + | P3 P5 | + L + | Pn ? 2 Pn | + L = 1
A.

1 2

B.

2 3

C. 1

D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置. 13.已知圆 C : x 2 + y 2 ? 6 x ? 6 y + 17 = 0 ,过原点的直线 l 被圆 C 所截得的弦长最长,
文科数学第 2 页(共 6 页)

则直线 l 的方程是 14.在 ?ABC 中, A = 60 , a =
0



6 , b = 2 ,则 B 的大小为

. .

15.若 a ∈ [0 , 3] ,则函数 f ( x ) = x 2 ? 2ax + a 有零点的概率为

16.袋内有 50 个球,其中红球 15 个,绿球 12 个,蓝球 10 个,黄球 7 个,白球 6 个.任 意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有 8 个同色的球,那么从袋内摸出的球的 个. 只数至少应是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a n +1 =

1 a n + 1 ( n ∈ N* ) . 2

(Ⅰ)若 a1 ≠ 2 ,求证数列 {an ? 2} 是等比数列; (Ⅱ)若数列 {a n } 是等差数列, bn = an ? ( ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
n

1 2

18.(本小题满分 12 分) 某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级,等级系数 X 依次为 A ,

B , C , D , E .现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验,对其等级系数进行
统计分析,得到频率分布表如下:

X
频率

A

B
0.2

C
0.45

D b

E

a

c

(Ⅰ)在所抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,等级系数为 E 的恰有 2 件,求 a, b, c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x1 , x 2 , x3 ,等级系数为 E 的 2 件样品记为 y1 , y 2 ,现从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 这 5 件样品中一次性任取两件(假 定每件样品被取出的可能性相同), 试写出所有可能的结果, 并求取出的两件样品 是同一等级的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图 1,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a , E 是 AD 的中点.现截去部分几何 体后得到如图 2 所示的四棱锥 A ? A1 B1CD . (Ⅰ)求四棱锥 A ? A1 B1CD 的体积; (Ⅱ)求证: AB1 // 面 A1 EC .
文科数学第 3 页(共 6 页)

D1 A1 B1

C1 A1 B1

D

C A

D E 图2

C

A

图1

B

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin( x +

π x ) ? 3 cos 2 . 3 2

(Ⅰ)将函数 f (x ) 的图象向上平移 大值;

3 个单位后得到函数 g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 的最 2

? ?x ≤ 3 ? ? ? ? (Ⅱ)设 D = ?( x, y ) | ? y ≤ 3 ? ,若 P ∈ D ,问:是否存在直线 OP (O 为坐标原 ? ? x + y ≥ 5? ? ? ?
点),使得该直线与曲线 y = f ( x ) 相切?若存在,求出直线 OP 的方程;若不 存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C : 是直线 l :

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的左、右焦点, M 、 N 分别 a2 b2

x y + = m ( m 是大于零的常数)与 x 轴、 y 轴的交点,线段 MN 的中点 a b P 在椭圆 C 上. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)试探究直线 l 与椭圆 C 是否还存在异于点 P 的其它公共点?请说明理由;
(Ⅲ)当 a = 2 时,试求 ?PF1 F2 面积的最大值,并求 ?PF1 F2 面积取得最大值时椭圆

C 的方程.
22.(本小题满分 14 分)

文科数学第 4 页(共 6 页)

已知函数 f ( x ) = x ( x ? a ) , a 是大于零的常数.
2

(Ⅰ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [1 , 2] 上为单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y = f ( x) 上存在一点 P ,使得曲线 y = f ( x) 上总有两点 M , N ,且

MP = PN 成立 . 2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学参考答案及评分标准
题号 答案 1 B 2 B 3 C 14. 45
o

4 D

5 C 15.

6 B

7 A

8 D

9 C

10 A

11 B

12 C

13. x ? y = 0

2 3

16.35

17.解: (Ⅰ)由 a n +1 =

1 1 a n + 1 得 a n+1 ? 2 = (a n ? 2) ,Q a1 ≠ 2 ,∴ a1 ? 2 ≠ 0 , 2 2



an +1 ? 2 1 = (n ≥ 1, n ∈ N ) an ? 2 2

1 为公比的等比数列.------------------------------5 分 2 1 1 (Ⅱ)解法一:由 a n +1 = a n + 1 ,及 a n = a n ?1 + 1( n ≥ 2) , 2 2 1 两式相减,得 a n +1 ? a n = ( a n ? a n ?1 ) . 2
所以 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 为首项, 又 {a n } 是等差数列,于是 a n +1 ? a n = a n ? a n ?1 = d ,

1 d ,解得 d = 0 , 2 1 于是 a n = a1 ,代入 a n +1 = a n + 1 得 a1 = 2 ,于是 a n = 2 (n ∈ N* ) .---------------9 分 2 1 1 ∴ bn = a n ( ) n = ( ) n ?1 , 2 2
所以 d =

文科数学第 5 页(共 6 页)

1 1 × (1 ? ( ) n ) 1 1 2 于是 S n = = 2 × (1 ? ( ) n ) = 2 ? ( ) n ?1 . --------------------------------12 分 1 2 2 1? 2
解法二:∵ {an } 是等差数列,∴设 an +1 ? an = d ( d 为常数) , 即 an +1 ? an = ( an + 1) ? an = d ? an = 2(1 ? d ) 从而 {an } 是常数列,公差 d = 0 ,故 an = 2 .-----------------------------------9 分 下同解法一. 18.解: (Ⅰ)由频率分布表得 a + 0.2 + 0.45 + b + c = 1 ,即 a + b + c = 0.35 . 因为抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,所以 b = 等级系数为 E 的恰有 2 件,所以 c =

1 2

3 = 0.15 . 20

从而 a = 0.35 ? b ? c = 0.1 。 所以 a = 0.1, b = 0.15, c = 0.1 . -----------------------------------------6 分 (Ⅱ)从样品 x1 , x 2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,所有可能的结果为:

2 = 0 .1 . 20

( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x1 , y1 ) , ( x1 , y 2 ) , ( x2 , x3 ) , ( x2 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) , ( x3 , y1 ) , ( x3 , y 2 ) , ( y1 , y 2 ) ,共计 10 个 设事件 A 表示“从样品 x1 , x 2 , x3 , y1 , y 2 中任取两件,其等级系数相等”, 则 A 包含的基本事件为: ( x1 , x2 ) , ( x1 , x3 ) , ( x 2 , x3 ) , ( y1 , y 2 ) ,共 4 个. 4 故所求的概率 P ( A) = = 0.4 . ---------------------------------------12 分 10
19.解: (Ⅰ)如图,将几何体补形成正方体,-----------------------------------------3 分 则 V A? A1B1CD = V正方体AC1 ? V A1DD1 ? B1CC1 ? V B1 ? ABC = a ?
3

1 3 1 3 1 3 a ? a = a --------7 分 2 6 3

(Ⅱ)在正方体 AC1 中,截面 A1 B1CD 是矩形, 连接 A1C , B1 D ,交于 O ,则 O 为 B1 D 中点。 又 E 是 AD 的中点,连接 OE ,则 OE 是 ?AB1 D 的中位线,于是 AB1 // OE , 又 OE ? 面 A1 EC , A1 B ? 面A1 EC ,于是 AB1 // 面 A1 EC 。-------------12 分

文科数学第 6 页(共 6 页)

D1

C1 A1 B1

A1 O D E A

B1 O C E B A D C

π x 1 3 ,-------------3 分 20.解:(Ⅰ)函数 f ( x) = sin( x + ) ? 3 cos 2 = sin x ? 3 2 2 2
所以 g ( x ) = f ( x) + 从而 ( g ( x )) max =

3 1 = sin x , 2 2

1 π ,此时 x = 2kπ + ( k ∈ z ) .-----------------------------------6 分 2 2
y 5 3 O P 3 5 x

?x ≤ 3 ? (Ⅱ)由 ? y ≤ 3 知,区域 D 如右图所示. ?x + y ≥ 5 ?

于是直线 OP 的斜率的取值范围是 k OP ∈ [ , ] ,---------------------------------------9 分 又由 f ( x ) = 因为

2 3 3 2

1 3 1 1 1 知, f ′( x) = cos x ,于是 f ′( x) =∈ [? , ] , sin x ? 2 2 2 2 2

1 2 < ,所以直线 OP 不可能与函数 y = f (x) 的图象相切.-------------12 分 2 3 ma mb 21.解: (Ⅰ)由已知可得 M (ma, 0) 、 N (0, mb) ,故 MN 的中点为 P ( , ), 2 2

m 2 m2 又点 P 在椭圆 C 上,∴ + = 1 ,所以 m = 2 .---------------------4 分 4 4

文科数学第 7 页(共 6 页)

(Ⅱ) (解法一)由(Ⅰ)得 l :
2 2

x y + = 2, a b
2 2 2

y N P

与方程 C 联立得:2b x ? 2 2ab x + a b = 0 , 即 2 x ? 2 2ax + a = 0 ,
2 2

由于 ? = (2 2a ) ? 4 × 2 × a = 0 ,
2 2

F1 O

F2

M

x

∴此方程有两个相等实根 x =

2a , 2 2a 2b , ), 2 2
----------------------------------------------8 分

故直线 l 与椭圆 C 相切,切点为 P ( 除此之外,不存在其他公共点.

(解法二)由(Ⅰ)得 l :

x y + = 2 ,与方程 C 联立得: a b

? x2 y 2 x y ?x y ?x y + = 2, ? 2 + 2 + 2 ? = 2, ? a + b = 2, ?a b ? ?a ? b a b 所以 ? 2 则? ? 2 2 2 ? x + y = 1, ? x + y = 1, ?x ? y = 1, 2 2 2 2 ?a b 2 ?a ?a ? b ? b ?


x y 1 2 和 是方程 x ? 2 x + = 0 的两根, a b 2
2

又 ? = ( 2) ? 4 ×

1 x y 2 = 0 ,∴此方程有两个相等实根,即 = = , 2 a b 2 2 2 a, b) , 2 2

∴直线 l 与椭圆 C 的公共点是唯一的点 P (

即除点 P 以外,不存在其他公共点.-----------------------------------------------------8 分 (Ⅲ)当 a = 2 时, S ?PF1F2 =

1 2 2 | F1 F2 | ? b= cb , 2 2 2

所以 S ?PF1F2 ≤

2 b2 + c 2 2 2 × = a = 2, 2 2 4

当且仅当 b = c =

2 时,等式成立,故 ( S ?PF1F2 ) max = 2
文科数学第 8 页(共 6 页)

x2 y 2 此时,椭圆 C 的方程为: + = 1 .-------------------------------------------------12 分 4 2
22.解: (Ⅰ) f ( x ) = x ( x ? a ) = x ? 2ax + a x
2 3 2 2

f ′ ( x ) = 3x 2 ? 4ax + a 2 ,当 a = 1 , f ′ ( x ) = 3x 2 ? 4 x + 1 = ( 3x ? 1)( x ? 1)
令 f ′ ( x ) = 0 ,得 x1 =

1 , x2 = 1 , 3

1 1 f ( x) 在区间 (0 , ) , ( ,1) , (1, + ∞) 上分别单调递增,单调递减,单调递增, 3 3 1 1 4 于是当 x = 时,有极大值 f ( ) = ;当 x = 1 时有极小值 f (1) = 0 .------------4 分 3 27 3
(Ⅱ) f ′ ( x ) = 3 x ? 4ax + a ,若函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为单调递增,
2 2

则 f ′ ( x ) = 3 x ? 4ax + a ≥ 0 在 x ∈ [1, 2] 上恒成立,
2 2

当0 < 当1 ≤

2a 3 < 1 ,即 a < 时,由 f ′ (1) = 3 ? 4a + a 2 ≥ 0 得 0 < a ≤ 1 ; 3 2 2a 3 a2 ? 2a ? ≤ 2 ,即 ≤ a ≤ 3 时, f ′ ? ? = ? ≥ 0 ,无解; 3 2 3 ? 3 ?



2a > 2 ,即 a > 3 时,由 f ′ ( 2 ) = 12 ? 8a + a 2 ≥ 0 得 a ≥ 6 . 3

综上,当函数 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为单调递增时, 0 < a ≤ 1 或 a ≥ 6 .--------10 分 (Ⅲ) f ( x ) = x ( x ? a ) = x ? 2ax + a x , f ′ ( x ) = 3 x ? 4ax + a ,
2 3 2 2 2 2

令 f ′ ( x ) = 0 ,得 x1 =

a , x2 = a , 3

a a f ( x ) 在区间 (?∞, ) , ( , a) , (a, +∞) 上分别单调递增,单调递减,单调递增, 3 3
于是当 x =

a a 4a 3 时,有极大值 f ( ) = ; 3 3 27

当 x = a 时,有极小值 f ( a ) = 0 .

文科数学第 9 页(共 6 页)

a 4 3 2a 2 , a ) , B (a, 0) , AB 的中点 P ( , a 3 ) , 3 27 3 27 uuur uuur 4 4 3 设 M ( x , y ) 是图象任意一点,由 MP = PN ,得 N ( a ? x , a ? y) , 3 27 4 4 4 3 2 2 4 因为 f ( a ? x ) = ( a ? x ) ? 2a ( a ? x ) + a ( a ? x) 3 3 3 3 4 3 3 4 3 = a ? x + 2ax 2 ? a 2 x = a ? y, 27 27 uuur uuur 由此可知点 N 在曲线 y = f ( x) 上,即满足 MP = PN 的点 N 在曲线 C 上.
记 A( 所以曲线 y = f ( x) 上存在一点 P ( 且 MP = PN 成立 .

2a 2 3 , a ), 使得曲线 y = f ( x) 上总有两点 M , N , 3 27
---------------------------------------------14 分

文科数学第 10 页(共 6 页)


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