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高中数学必修5高中数学必修5《1.2应用举例(四)》教案


1.2 解三角形应用举例

第四课时

一、教材分析 《解三角形应用举例》是人教版新课标教材高中数学必修五第一章《解三角形》第 2 节的内容,是学 完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用,共四课时,本节课为第四课时。 本节课重点是推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目,运用正、余弦定理来解决解三角形相关 的问题,让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程,培养学生抽象、概括、分析问题和 解决问题的能力,使学生感受到“生活处处有数学” ,提高应用数学的意识。 二、学生学习情况分析 本节课的学生情况分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的: ⑴学生是棉城中学高一级学生; ⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法; ⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚,有多次小组合作解决实习作业的体验; ⑷学生数学建模的能力还不强。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会,为了调动学生学习的积极性,使学生化被动 为主动,本节课可利用多媒体辅助教学,引导学生从实例中认识三角形模型,让学生亲身经历和体验运用 三角函数来解决实际问题的过程。在教学重难点上,步步设问、启发学生的思维,通过例题、学生讨论的 方式来加深理解,更好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下,充分地动手、动口、动脑, 掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的 简单推导和应用 2、本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的特点,循序渐进 地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让学生 摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解。只要学 生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点。 3、让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步培养学生研究和发现 能力,让学生在探究中体验愉悦的成功体验 五、教学重点、难点 重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 六、教具:多媒体

七、教学方法:引导、探究式
八、教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在

? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表示?
生:h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA

师:根据以前学过的三角形面积公式 S=

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入,可以推导出 2
1

1 absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2 1 1 生:同理可得,S= bcsinA, S= acsinB 2 2
下面的三角形面积公式,S= Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 例 1、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S (1)已知 a= 2 3 cm, (2)已知 B=60 ? , c=2 cm, B=120 ? ; b=2 cm;

C=45 ? ,

(3)已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我们可以应用 解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求出三角形的面积。 解:略 例 2、 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形 区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 思考:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗? 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, cosB=

c2 ? a2 ? b2 127 2 ? 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2ca 2 ? 127 ? 68
应用 S=

sinB= 1 ? 0.75322 ? 0.6578 S ≈

1 acsinB 2

1 ? 68 ? 127 ? 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2

答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 例 3、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,用正弦定理来证明 证明: (1)根据正弦定理,可设

2

a = b = c = k sin A sin B sin C

显然 k ? 0,所以

左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? = =右边 c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 c2 ? a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边

变式练习 2:判断满足 sinC =

si n A ? si nB 条件的三角形形状 cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” (解略)直角三角形 Ⅲ.课堂练习 课本第 18 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边 或角的关系, 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 Ⅴ.课后作业 1、 预习必修 5 教材 P28 到 P31; 2、 《导与练》 P9. 九、归纳总结: 1、编置预习提纲,以问题导学的方式引导学生做好课前预习,教师利用课前三分钟时间检查预习效 果、解释学生预习中存在的困惑; 2、巡视课堂,对学生的学习、探究、讨论等给予及时的评价、引导和总结,鼓励学生上台展示探究 成果; 3、课堂结束时,引导学生进行本次课综合性总结;课后,通过布置实习作业来强化学习效果。 十、板书设计 应用举例(四) 1.正弦定理 2.余弦定理 3.三角形面积公式 引例 7 引例 8 引例 9 思考 探究活动

十一、教学反思 本教学设计先有引例出发,创设情境,激发学生对三角形计算问题的学习兴趣;在讲授新课部分, 通过结合多媒体教学以及一系列的课堂思考和探究活动,加深学生对正、余弦定理的理解和掌握。

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