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2011高考数学二轮冲刺专题测试——算法与数列


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高考数学第二轮专题复习系列(3)——算法与数列 高考数学第二轮专题复习系列(3)——算法与数列 (3)——
一 大纲解读
考试大纲对数列的考查要求是:1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2 . 等差数列、等比数列: (1)理解等差数列、

等比数列的概念; (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式; (3)能在具体的问题情境中,识别数列 的等差关系或等比关系,并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题; (4)了解等差数列与一次函数的关 系,等比数列与指数函数的关系.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考试大纲对算法的考查要求是: .算法的含义、程序框图( )了解算法的含义,了解算法的思想; ) 考试大纲对算法的考查要求是:1.算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义,了解算法的思想;(2)理解程 序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环. .基本算法语句,了解几种基本算法语句——输入语句、输出 输入语句、 序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.2.基本算法语句,了解几种基本算法语句 输入语句 语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 在数列中要求理解和掌握的是等差数列和等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式,特别要注意的是“能在具 体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题” ,这说明 对等差数列和等比数列的考查会是全方位的,这里也含有可以转化为这两类基本数列的递推数列问题。 在算法中要求理解的是“程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环” 这说明考查的主要问题是程序 在算法中要求理解的是“程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环”.这说明考查的主要问题是程序 框图,特别是带有循环结构的程序框图。 框图,特别是带有循环结构的程序框图。

二 高考预测
纵观近几年的高考试题, 数列这一块考查的重点是等差数列、 等比数列的通项公式和前项和公式的灵活应用, 突出 考查观察、分析、归纳、猜想问题的能力,数列推理题成了新的命题热点。题型基本上是一个解答题和 1 个选择填空 题.解答题的难度偏大,是试卷中以能力考查为主的一种题型,这类考题往往综合考查数学知识,数学方法和数学思想 方法;小题则考查数列的有关基本知识。预计 09 年高考数列题目仍然有极大的可能还是这种状况. 算法在高考试卷中07、 两年,都是以小题的形式出现的,其考查的重点是程序框图, 算法在高考试卷中07、08 两年,都是以小题的形式出现的,其考查的重点是程序框图,特别是带有循环结构的 07 程序框图,由于教材的原因,基本算法语句,算法案例还没在高考试卷中出现过. 程序框图,由于教材的原因,基本算法语句,算法案例还没在高考试卷中出现过.可以预计 09 年的高考算法的考题 极大的可能还是一个以程序框图为主的小题. 极大的可能还是一个以程序框图为主的小题. 三、 重点剖析 1.数列中 an 和 Sn 之间基本关系 数列中 例1 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ? 9n , 则其通项 an =
2

; 若它的第 k 项满足 5 < ak < 8 , k = 则



分析: 分析:由数列中 an = ?

(n = 1) ? S1 ,可以求出 an ,问题就解决了. ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)

解析: 解析:当 n = 1 时 a1 = S1 = ?8 ;

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当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = n ? 9n ? ( n ? 1) + 9( n ? 1) = 2n ? 10 .
2 2

而 n = 1 时的情况也符合 n ≥ 2 的情况,故通项 an = 2n ? 10 . 由 5 < 2k ? 10 < 8 解得 7.5 < k < 9 ,又 k 是正整数,故 k = 8 .分别填 2n ? 10 , 8 . 点拨: 数列的通项 an 和前 n 项和 Sn 之间的关系是数列的一个重要考点, 需要注意的是应分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情况分别 点拨: 求解,再看两种情况能不能统一,若能就统一到一个公式,不能就用分段的形式写出数列的通项公式. 2.等差等比数列的基本问题 等差等比数列的基本问题 例2 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 = 7 ,且 a1 + 3 , 3a2 , a3 + 4 构成等

差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn = ln a3 n +1 , ( n = 1, L) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2,

分析: 分析:由条件" S3 = 7 ,且 a1 + 3 , 3a2 , a3 + 4 构成等差数列",列出方程组就可以求出等比数列的首项和公比,问 题的突破口就打开了.

?a1 + a2 + a3 = 7, ? ( , 解 得 a2 = 2 . 设 数 列 {an } 的 公 比 为 q , 由 a2 = 2 , 可 得 解 析 : 1 ) 由 已 知 得 : ? ( a1 + 3) + ( a3 + 4) = 3a2 . ? ? 2 2 2 a1 = ,a3 = 2q .又 S3 = 7 ,可知 + 2 + 2q = 7 ,即 2q 2 ? 5q + 2 = 0 , q q
解得 q1 = 2,q2 =

1 n ?1 .由题意 q > 1 故 q = 2 , a1 = 1 .故数列 {an } 的通项为 an = 2 . 2
3n 3n

(2)由于 bn = ln a3 n +1,n = 1, L, 2, 由(1)得 a3n +1 = 2 ,∴ bn = ln 2 又 bn +1 ? bn = 3ln 2 ,∴{bn } 是等差数列.

= 3n ln 2 .

∴Tn = b1 + b2 + L + bn =
故 Tn =

3n(n + 1) ln 2 . 2

n(b1 + bn ) n(3ln 2 + 3n ln 2) 3n(n + 1) = = ln 2 . 2 2 2

点拨: 点拨:等比数列的基本元素是首项和公比,用方程的思想解决了这两个元素,题目中的其他问题也就不难解决了,在 复习中要树立用方程思想寻找数列基本元素的意识. 3.考查数列基本问题的同时,对脱胎于教材上等比数列前 n 和推导方法的数列求和的考查 考查数列基本问题的同时, 考查数列基本问题的同时 例3 设数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 3 a3 + ...3
2

n ?1

an =

n , n ∈ N *. 3

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(1)求数列 {an } 的通项; (2)设 bn =

n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an
2 n ?1

分析: 求出数列 {an } 的通项是是问题的突破口, a1 + 3a2 + 3 a3 + ...3 从 分析: 降一个标号,两式相减就可以求出 an . 解析: 解析:: (1) a1 + 3a2 + 3 a3 + ...3
2

n an = , n ∈ N * 的结构特点, 只要对其下标 n 3

n n ?1 2 n?2 , a1 + 3a2 + 3 a3 + ...3 an ?1 = (n ≥ 2) , 3 3 n n ?1 1 1 1 3n ?1 an = ? = (n ≥ 2) , an = n (n ≥ 2) .验证 n = 1 时也满足上式,所以 an = n (n ∈ N * ). 3 3 3 3 3
n ?1

an =

(2) bn = n ? 3 ,
n

S n = 1 ? 3 + 2 ? 32 + 3 ? 33 + ...n ? 3n ,两端同乘以 3 得:
2 3 n n +1 两式相减得: ?2 S n = 3 + 3 + 3 + 3 ? n ? 3 , ?2 S n = 即 3S n == 1 ? 32 + 2 ? 33 + 3 ? 34 + ...n ? 3n +1 ,

3 ? 3n +1 ? n ? 3n +1 , 1? 3

所以 S n =

n n +1 1 n +1 3 ?3 ? ?3 + . 2 4 4

点拨: 点拨:本题第二问的求和方法,脱胎于教材上等比数列前 n 项公式的推导方法,是近年来高考数列试题中考查最多的 一个地方,在复习中一定要熟练的掌握. 4.与算法结合考数列求和, 与算法结合考数列求和, 将是今后课标区高考的一个重要命题方向. 文科不要这个) ( 与算法结合考数列求和 特别是与算法的循环结构结合, 特别是与算法的循环结构结合, 将是今后课标区高考的一个重要命题方向. 文科不要这个) 开始 输入 n
S = 0, = 0 T

n < 2?

S = S +n



n = n ?1

输出 S,T

T =T +n

结束

n = n ?1

例4

阅读右边

的程序框图,若输入的 n 是 100,则输出的变量 S 和 T 的值依
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次是(

) B.2550,2550 C.2500,2500 D.2500,2550

A.2550,2500

分析: 分析:循环终止的条件是 n < 2 ,即按照将 n ? 1 的值赋给 n 后 n < 2 时循环终止. 解析: 解析:按照顺序结构依次执行的法则,变量 S 是从 100 开始,经两次将 n ? 1 赋给 n 进行的累加求和,即

S = 100 + 98 + L + 2 = 2550 ;变量 T 是从先将 n ? 1 赋给 n 后开始的累加求和,即从 99 开始的,经再次将 n ? 1 赋给 n
后到 n = 0 终止,即 T = 99 + 97 + 95 + ... + 1 = 2500 . 选D. 点拨: 点拨:高考对算法的考查主要是带有循环结构的程序框图,数列求和是一个重要方面. 5.与不等式函数等问题相结合的综合问题 与不等式函数等问题相结合的综合问题 与不等式函数等问题相结合的综合 例5 已 知 函 数 f ( x) = x 2 + x ? 1 , α , β 是 方 程 f ( x ) = 0 的 两 个 根 (α > β ) , f '( x) 是 f ( x ) 的 导 数 ; 设 a1 = 1 ,
f ( an ) ( n = 1, 2,L ) . f '(an )

an +1 = an ?

(1)求 α , β 的值; (2)证明:对任意的正整数 n ,都有 an > α ; (3)记 bn = ln
an ? β ( n = 1, 2,L ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? a

(1)∵ f ( x) = x 2 + x ? 1 , α , β 是方程 f ( x ) = 0 的两个根 (α > β ) ,∴ α = 解析:
1 1 5 an (2an + 1) + (2an + 1) ? 2 an + an ? 1 4 4 = an ? = an ? 2 2an + 1 2an + 1

?1 + 5 ?1 ? 5 ,β = ; 2 2

(2) f '( x) = 2 x + 1 , an +1

5 1 1 5 ?1 5 ?1 = (2an + 1) + 4 ? ,∵ a1 = 1 ,∴由基本不等式可知 a2 ≥ > 0 (当且仅当 a1 = 时取等号,但 a1 = 1 ,故 4 2 an + 1 2 2 2

等号取不到) ,∴ a2 >

5 ?1 5 ?1 5 ?1 > 0 同,样 a3 > ,……, an > = α ( n = 1, 2,L ) ; 2 2 2 (a ? α )(an ? β ) an ? β = (an + 1 + α ) ,而 α + β = ?1 ,即 α + 1 = ? β , (3) an +1 ? β = an ? β ? n 2an + 1 2an + 1

(a ? β ) 2 (a ? α ) 2 , 同 理 an +1 ? α = n ,故 an +1 ? β = n 2 an + 1 2an + 1 b1 = ln

an +1 ? β ? an ? β ? an ? β =? ? , 又 bn = ln a ? a , 故 bn +1 = 2bn , 又 an +1 ? α ? an ? α ? n

2

3+ 5 1? β 3+ 5 3+ 5 = ln = 2 ln ,所以 Sn = 2(2n ? 1) ln . 2 1? α 2 3? 5

点拨: 点拨:本题的背景是非线形递推数列通项公式的特征方程求解方法,将数列与函数导数不等式结合起来综合考查我们 对数学知识、数学方法、数学思想的认识,是我们复习备考中应重视的地方. 6.算法:主要是带有循环结构的程序框图. 文科不要这个) 算法:主要是带有循环结构的程序框图. 文科不要这个) 算法 程序框图 ( 例6.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S = ( )

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A.2450 C.2550

B.2500 D.2652 开始 数变量逐个

分析:记数变量从 1 开始,累加变量从 0 开始,进入循环体后记 增加,累加变量以记数变量的二倍累加,直到记数变量超过 50 所求的是 2 + 4 + 6 + L + 100 .

k =1
S =0

终止循环,故

解析:由程序知,

S = 2 × 1 + 2 × 2 + L + 2 × 50 = 2 ×
选C.

1 + 50 × 50 = 2550. 2

k ≤ 50?




S = S + 2k

输出 S 以及循环的

点拨:这类问题的关键是搞清楚循环开始的条件和终止的条件 规律.

k = k +1

结束

四 扫雷先锋 易错点一 忽视分段至误 例1 若等差数列 {an } 的首项 a1 = 21 ,公差 d = ?4 ,求 S k =| a1 | + | a2 | + | a3 | + L + | ak | .

分析:考生有可能忽视了 k ≤ 6 的情况,只给出 k > 6 的结果,如下面的解法:由题意 an = 21 ? 4( n ? 1) = 25 ? 4n , 分析 因此由 an ≥ 0 解得 n ≤

25 ,即数列 {an } 的前 6 项大于 0,从第 7 项开始,以后各项均小于 0.所以 4

S k =| a1 | + | a2 | + | a3 | + L + | ak |= (a1 + a2 + L + a6 ) ? (a7 + a8 + L + ak )

= 2(a1 + a2 + L + a6 ) ? (a1 + a2 + L + a6 + a7 + a8 + L + ak ) = 2k 2 ? 23k + 132
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解析:由题意 an = 21 ? 4( n ? 1) = 25 ? 4n ,因此由 an ≥ 0 解得 n ≤ 解析 即数列 {an } 的前 6 项大于 0,从第 7 项开始,以后各项均小于 0. 当 k ≤ 6 时, | a1 | + | a2 | + | a3 | +L + | ak |= a1 + a2 + a3 + L + ak =

25 , 4

k (a1 + ak ) = 2k 2 + 23k 2

当 k ≥ 7 时, | a1 | + | a2 | + | a3 | +L + | ak |= ( a1 + a2 + L + a6 ) ? ( a7 + a8 + L + ak )

= 2(a1 + a2 + L + a6 ) ? (a1 + a2 + L + a6 + a7 + a8 + L + ak ) = 2k 2 ? 23k + 132
所以 S k = ?

? 2k 2 + 23k (k ≤ 6, k ∈ N * ) 2 * ?2k ? 23k + 132(k ≥ 7, k ∈ N )

点评: 点评:在数列问题中,一定注意项数 n 的取值范围,特别是在它取不同的值造成不确定的因素时,要注意对其加以分 类讨论. 易错点二:忽视正整数的限制条件至误。 易错点二:忽视正整数的限制条件至误。 例2
的值. 分析:本题有多种解法,一种方法就是求出该等差数列的前 n 项和的表达式,由于该等差数列的公差不等于零,其前 n 项和是关于 n 的二次函数,考试容易忽视 n 是正整数的限制条件导致结果出错。 解析: 解析:设此等差数列的首项为 a1 ,公差为 d , ? a3 + a9 = 50, ? 2a1 + 10d = 50, ? a = 10, ? a = 40, 即? 则由 ? ,解得 ? 1 (舍)或 ? 1 · ?d = 3 ? d = ?3. ? a5 a7 = 616, ?( a1 + 4d )(a1 + 6d ) = 616, Sn = 40n + n(n ? 1) 3? 83 ? 6889 ,∴当 n = 14 时, Sn 最大,最大值为 287. × (?3) = ? ? n ? ? + 2 2? 6? 24
2

且 · 试求数列 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值, 并指出对应的 n 数列 {an } 是递减等差数列, a3 + a9 = 50 ,a5 a7 = 616 ,

点评: 点评:等差数列的前 n 项和公式可化为 Sn =

d 2 ? d? n + ? a1 ? ? n ,它可以看成是关于 n 的二次函数,故可采用配方法求其 2 2? ?

前 n 项和公式的最值,但应特别注意,当对称轴不是正自然数时,应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式, 再求值比较,以便确定 n 取何值时, Sn 最大(最小). 易错点三: 易错点三:忽视隐含条件至误 例3 已知等比数列 {an } ,若 a1 + a2 + a3 = 7 , a1 a2 a3 = 8 ,求 an . ··

?a1 + a3 = 5, 2 3 分析: 本题考生容易忽视隐含条件出现错解, 如下面的解法: a1 a3 = a2 , a1 a2 a3 = a2 = 8 , a2 = 2 , ? ∵ · ∴ ·· ∴ ∴ 分析: · ?a1 a3 = 4,

, ? a1 = 4, ?a = 1 1 或? ,∵ a3 = a1q 2 ,∴ q = ±2 或 q = ± ,∴ an = 2n ?1 或 an = (?2) n ?1 或 an = 23? n 或 an = (?2)3? n .这个解 解得 ? 1 2 ? a3 = 4, ? a3 = 1.
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法忽视了题目中所隐含的 q > 0 的条件。 解析: 解析:有错因诊断的解法可以用 a1 , a2 得到该等比数列的公比 q = 2 或 q =
1 ,所以 an = 2n ?1 或 an = 23? n . 2

点评: 点评:在解决等比数列问题时要密切注意其中所隐含的条件,如等比数列中不能出现等于零的项,等比数列中的项要 么都是正值、要么都是负值,当出现正负项时,不可能连续两项符号相同,只能是正负相间等。 五 规律总结 1.等差数列的充要条件 等差数列的充要条件:数列 {an } 是等差数列 ? an +1 ? an = d ( d 为常数, n ∈ N ) ? an = pn + q ( p,q 为常数, 等差数列的充要条件
?

n ∈ N? ) ? 2an +1 = an + an + 2 (n ∈ N ? ) ? S n = An 2 + Bn ( A,B 为常数,n ∈ N? ) .

2.等差数列的常用性质 等差数列的常用性质:已知 {an } 是等差数列,公差为 d ,则① an ? am = ( n ? m) d,d = 等差数列的常用性质

an ? am ;② n?m



m + n = p + q (m,n,p,q ∈ Ν? ) ,则 am + an = a p + aq ;③下标成等差数列的项 ak,ak + m,ak + 2 m, 组成的数列仍为 L
等差数列,公差为 md ;④ S n,S 2 n ? S n,S3n ? S 2 n, 仍为等差数列;⑤数列 {λ an + b} ( λ,b 为常数)仍为等差数 L 列,公差为 λ d . 3.等差数列与函数的关系 等差数列与函数的关系 ①等差数列的通项公式与函数的关系:由等差数列的通项公式 an = a1 + ( n ? 1) d = dn + a1 ? d 可知, 当 d ≠ 0 时, an 可以看成是关于 n 的一次函数;当 d = 0 时, an = a1 ,可知 an 是常数函数.不论 d 是否为 0,an 的图 象都是在同一条直线上的一群孤立的点. ②等差数列的前 n 项和公式与函数的关系:由等差数列的前 n 项和公式 S n = na1 +

1 d d? ? n(n ? 1)d = n 2 + ? a1 ? ? n 可 2 2 2? ?

知,当 d ≠ 0 时, Sn 可以看成是关于 n 的二次函数(不含常数项,所以图象所在的抛物线过原点) ;当 d = 0 时,

S n = a1n,S n 可以看成是关于 n 的一次函数(当 a1 ≠ 0 时) ,或为常数函数(当 a1 = 0 时) .
4.等比数列的充要条件: 等比数列的充要条件: 等比数列的充要条件 数列 {an } 是等比数列 ?

an +1 2 = q( q 为常数,n ∈ N? )? an +1 = an ?an + 2 , an ≠ 0(n ∈ N? ) . 且 an

5.等比数列的常用性质 等比数列的常用性质:已知 {an } 是等比数列,公比为 q ,则 等比数列的常用性质 ① an = am q
n?m

a , n = q n ? m ; ② 若 m + n = p + q (m,n,p,q ∈ N? ) , 则 am ?an = a p ?aq ; ③ 下 标 成 等 差 数 理 的 项 am

ak,ak + m,ak + 2 m, 组成的数列仍为等比数列,公比为 q m ;④ S n,S 2 n ? S n,S3n ? S 2 n, (当各项均不为 0 时)为等 L L
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比数列. 六 能力突破 例 1 从社会效益和经济利益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以发展旅游产业。根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 。本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项目建设对旅游业的促进作用, 5 1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。 4

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an 和 bn ; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入。 本题简介: 本题简介:本题考查数列的实际应用. 解析: 解析:构建等比数列的通项和前 n 项和模型,用换元法及不等式知识求解。 (1) 第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800(1-

1 )万元, L ,第 n 年投入为 5
n ?1

? 1? 800 ? 1 ? ? ? 5?

n?1

? 1? ? 1? ,所以 n 年内的总投入为 an = 800 + 800 ? 1 ? ? + L + 800 ?1 ? ? ? 5? ? 5?

= 4000 (1 ? 0.8n ) ;第一年旅游业
n?1

收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400(1+

1 ? 1? )万元, L 第 n 年旅游业收入为 400 ? 1 + ? 4 ? 4?
n?1

万元。所以, n 年

1 ? 1? 内的旅游业总收入为 bn = 400 + 400 (1+ )+ L +400 ? 1 + ? 4 ? 4?
(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入。

=1600 1.25n ? 1 。

(

)

依题设有 bn ? an f 0 ,即 1600 1.25n ? 1 f 4000 1 ? 0.8n ,化简得 5 × 0.8n + 2 1.25n ? 7 f 0 ,换元化归为一元二 次不等式,解之得 0.8 p 0.4 ,由此得 n ≥ 5 。
n

(

)

(

)

(

)

故至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入。 反思: 反思:数列的应用题是数列的一个难点,重要是对题意的理解,而所考查的内容主是等差数列和等比数列的基本知识, 其中最多的题型是分期付款,增长率等问题。 例 2:已知数列 {an } 满足: a1 =

1 , an = 4an ?1 + 1 2

( n > 1) ,求出数列 {an } 的通项公式. ( n > 1) ,则数列

分析一: 分析一:由 an = 4an ?1 + 1 ( n > 1) ,知道 an +1 = 4an + 1 ,后式减前式得 an +1 ? an = 4 ( an ? an ?1 )

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5 0 ? ? a2 ? a1 = 2 ? 4 ? ? a ? a = 5 ? 41 5 5 n ?1 , 将这 n ? 1 {an+1 ? an } 是首项为 a2 ? a1 = ,公比为 4 的等比数列,这样 an+1 ? an = ? 4 ,从而 ? 3 2 2 ? 2 2 ? LLLL ? ?a ? a = 5 ? 4n?2 ? n n ?1 2 ?
个等式相加得 an ? a1 = 解析一: (略 解析一: 略) an = (

5 5 1 ? 4n ?1 5 n ?1 5 5 1 ? (1 + 4 + L + 4 n ? 2 ) = ? = ? 4 ? ,从而 an = ? 4 n ?1 ? . 2 2 1? 4 6 6 6 3

5 n ?1 1 ?4 ? . 6 3

反思一: 反思一:累加相邻两项差的方法也是解决递推数列问题的常用手段. 分析二:类比等比数列的递推式 an = qan ?1 ( n > 1) ,由 an = 4an ?1 + 1 ( n > 1) ,我们如果能通过恰当的变换化为类似的 分析二: 形 式 , 问 题 即 可 解 决 . 不 妨 设 an + λ = 4 ( an ?1 + λ ) ( n > 1) , 则 这 个 式 子 等 价 于 an = 4an ?1 + 3λ

( n > 1) , 与

an = 4an ?1 + 1 ( n > 1) 比 较 , 只 要 λ =

1 1 1? ? , 则 an = 4an ?1 + 1 ( n > 1) ? an + = 4 ? an ?1 + ? 3 3 3? ?

( n > 1) , 从 而 数 列

1 5 1 1? 1? ? ? ?an + ? 是首项为 a1 + = ,公比为 4 的等比数列,这样就求出了数列 ?an + ? 的通项公式,将常数 移项就得出 3 6 3 3? 3? ? ?
了数列 {an } 的通项公式. 解 析 二 : 设

an + λ = 4 ( an ?1 + λ )

( n > 1)

, 则

an = 4an ?1 + 3λ

( n > 1)

, 令

λ=

1 3

, 则

an = 4an ?1 + 1 ( n > 1) ? an +

1 5 1 1? 1? ? ? = 4 ? an ?1 + ? ,即数列 ?an + ? 是首项为 a1 + = ,公比为 4 的等比数列,所以 3 6 3 3? 3? ? ?

1 5 5 1 an + = ? 4n ?1 ,即 an = ? 4 n ?1 ? . 3 6 6 3
反思二:通过待定常数转化为等比数列使问题获解.转化是解决递推数列最重要的思想. 反思二: 例3 已知数列 {an } 满足, a1 = 1, a2 = 3, 且 an + 2 = an +1 ? an ( n ∈ N ) ,则 a2009 =

解法一: 解法一: a3 = a2 ? a1 = 3 ? 1 = 2, a4 = a3 ? a2 = 2 ? 3 = ?1, a5 = ?3 , a6 = ?2, a7 = 1, a8 = 3 ,由此可知此数列是以 6 为 周期的数列,所以 a2009 = a5 = ?3 。 解法二: 解法二:由 an + 2 = an +1 ? an ( n ∈ N ) 得 an + 3 = an + 2 ? an +1 ② ①+②化简得 an + 3 = ? an ③
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由③得 an + 6 = ? an +3 =-( ? an )= an 所以此数列是以 6 为周期,以下略. 反思:在数列的选择、填空题中常给出递推数列条件求数列某一项(一般此项的项数较大)的试题,这种题常要通过 写出数列的前几项,然后观察规律求其它项,这种题也往往是周期数列,所以也能用象函数求周期的方法来求出周期, 再求其它项。 七 高考风向标 数列的有关知识及其性质贯穿于数列知识的始终, 而等差数列与等比数列的概念, 通项公式、 n 项和公式以及运用知 前 识解决问题, 则是考查灵活能力以及分析问题及决问题的能力的渠道。在客观题中,突出”小、巧、活”的特点, 解答 题以中等以上难度的综合题目为主, 涉及函数、方程、不等式等内容。 程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环 特别是带有循环结构的程序框图 特别是带有循环结构的程序框图. 程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.特别是带有循环结构的程序框图 考点一 等差数列和等比数列的基本问题 高考海南宁夏卷理 ) 例 1(08 年高考海南宁夏卷理 4)设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 (

S4 =( a2



分析: 分析:本题考查等比数列的前 n 项和公式、通项公式的简单应用,是一道容易题,只要熟悉等比数列的两个基本公式, 解答本题困难不大,但也要注意运算的准确性。 A. 2 B. 4 C.

15 2

D.

17 2

a1 (1 ? 24 )
解析:C 解析

S4 = a2

1? 2 a1 × 2

=

15 。 2

点评记错公式,运算马虎,或是试图求出该数列的首项,是本题出错的主因。本题是求一个比值,因此不不要把数列 的首项求出来,从整体上把它约掉即可,这也是解决“比值”类题目的重要思路之一。 考点二:等差数列、 考点二:等差数列、等比数列的综合问题 例 2(08 年高考辽宁文 20)在数列 {an } , {bn } 是各项均为正数的等比数列,设 cn = ( ) (Ⅰ)数列 {cn } 是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列 {ln an } , {ln bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn .若 a1 = 2 ,

bn ( n ∈ N* ) . an

Sn n = ,求数列 {cn } 的前 n 项和. Tn 2n + 1

分析: 分析:本题主要考查等差数列、等比数列、对数等基础知识和综合运用数学知识解决问题的能力.第一问考查的是“两 个等比数列的商还是等比数列” ,这和教材中的一些问题很接近,考生解决困难不大;第二问首先考查的是“正项等比

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数列取对数后得到的是等差数列” ,其次着重考查的是“

Sn n = 对任意正整数恒成立,可以归结为一个关于正整 Tn 2n + 1

,这可以说是 数 n 的恒等式,用多项式恒等定理得到一个关于基本量 a1 , b1 , q1 , q2 的方程组,解这个方程组确定基本量” 本题考查的“重心” 。最后一个等比数列求和是一个很容易的问题。这个试题突出的是解决两类基本数列问题的基本量 方法。 (Ⅰ) {cn } 是等比数列. 解析: 证明:设 {an } 的公比为 q1 ( q1 > 0) , {bn } 的公比为 q2 ( q2 > 0) ,则

cn +1 bn +1 an bn +1 an q = ? = ? = 2 ≠ 0 ,故 {cn } 为等比数列. cn an +1 bn bn an +1 q1
(Ⅱ)数列 {ln an } 和 {ln bn } 分别是公差为 ln q1 和 ln q2 的等差数列.

n(n ? 1) ln q1 2 2 由条件得 = ,即 n(n ? 1) 2n + 1 n ln b1 + ln q2 2 n ln a1 + 2 ln a1 + (n ? 1) ln q1 n = . 2 ln b1 + (n ? 1) ln q2 2n + 1
故对 n = 1 , 2 ,…,

(2 ln q1 ? ln q2 )n 2 + (4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 + ln q2 )n + (2 ln a1 ? ln q1 ) = 0 .

?2 ln q1 ? ln q2 = 0, ? 于是 ?4 ln a1 ? ln q1 ? 2 ln b1 + ln q2 = 0, ?2 ln a ? ln q = 0. 1 1 ?
将 a1 = 2 代入得 q1 = 4 , q2 = 16 , b1 = 8 . 从而有 cn = 所以数列 {cn } 的前 n 项和为 4 + 4 + … + 4 =
2 n

8? n ?1 16 = 4n . n ?1 2?4

4 n (4 ? 1) . 3
q2 ≠ 0 ,等比数列的一个突出特点是其中不能出现数值为 0 的项,公比 q1

点评: 点评:第一问论证不严谨,忽视公比大于 0 和

当然也不能是 0,这一点要注意;第二问中式子复杂,在式子的变形中少有疏忽就会前功尽弃,考生在解决这样的考 题时,一定要一步一步的演算,达到“心细如发”的境界,才能有效地避免出错。 考点三: 考点三:简单的递推数列 例 3(08 年高考江西文 5)在数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + ln(1 + ) ,则 an = ( )
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1 n

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A. 2 + ln n

B. 2 + ( n ? 1) ln n

C. 2 + n ln n

D. 1 + n + ln n

, 分析:本题考查简单的递推数列通项公式的求法,采用的是“归纳递推法” 本题也可以将递推式变形为

1 an +1 ? an = ln(1 + ) = ln ( n + 1) ? ln n 后,用“迭加”的方法解决。在递推数列中这个题属于基本类型,是高考命题的 n
一个基本着眼点,考生要熟练掌握这类递推数列通项公式的解决方法。

解析: 解析: A

1 1 1 a2 = a1 + ln(1 + ) , a3 = a2 + ln(1 + ) ,…, an = an ?1 + ln(1 + ) 1 2 n ?1 2 3 4 n ? an = a1 + ln( )( )( )L ( ) = 2 + ln n 。 1 2 3 n ?1

点评: 点评:不明确方法就不会解,变形错误就得出错误的结果,在 n + 1 和 n 之间混淆也会出错,如本题在用“迭加”方法 解决的时候, “迭加”的是 a2 ? a1 = ln 2 ? ln1,L , an ? an ?1 = ln n ? ln ( n ? 1) 这 n ? 1 个等式,不是 n 个等式,在解决递 推数列问题时,开始的部分和结束的部分要辨别清楚,不然就就会出错。 考点四: 考点四:算法 例 4(08 年高考海南宁夏卷理 5 文 6) ( 高考海南宁夏卷理 ) 海南宁夏卷 开始

输入 a,b,c

x=a

b>x 否

是 x=b

是 x=c 否

输出 x

结束 右面的程序框图 ,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最大的数,那么 )

在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( A. c > x B. x > c C. c > b

D. b > c。
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分析:题目给出的是一个以选择结构为主的流程图,考生要想正确解答该题首先是明确这个算法流程图的意义,其次是 分析 对变量赋值有清醒的认识。 解析: 解析 A 在第一个判断结束后, 已经把 a, b 两个数中的大者赋给了 x , 因此只要在第二个判断中把 x, c 中的打者找

出来即可,故判断框中应填 c > x 。 点评:对算法流程图所表示的意义理解模糊,或是对其中的几次对变量赋值搞不清楚,是本题出错的主要原因。 点评

八 沙场练兵 选择题 1.已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则其公差是( A.5 B.4 C. 3 D.2 )

1.C 提示: S偶 -S奇 = 5d = 15 ∴ d = 3 。 2.在圆 x 2 + y 2 = 5 x 内,过点 ? , ? 有 n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项 a1 ,最长的弦长为 an ,若公差 2 2
? 1 1? d ∈ ? , ? ,那么 n 的取值集合为 ? 6 3? ?5 3? ? ?

(

) C.3,4,5 D.3,4,5,6

A.4,5,6

B.6,7,8,9
5 2

2.A 提示:圆 x 2 + y 2 = 5 x 可化为 ( x ? ) 2 + y 2 =
n ∈ [ 4, 7 ) 。

25 ?5 3? ,所以过点 ? , ? 最短弦长为 4 ,最长弦长为 5 ,由 an = a1 + (n ? 1)d 得 4 ? 2 2?

3 9 3. 在等比数列{an}中, a3 = , S3 = ,则首项 a1=( 2 2


3 2 3 2

A. 3.D

3 2

B. ?

3 2

C. 6或 ?

D. 6或

4.关于数列: 3, 9,L , 2187 ,以下结论正确的是 A.此数列不是等差数列,也不是等比数列 B.此数列可能是等差数列,但不是等比数列 C.此数列不是等差数列,但可能是等比数列 D.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 4.D 提示:由前 2 项可设通项 an = 6n ? 3 和 an = 3n ,代入检验即可。 5.在等差数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a2 + a3 = 13, 则 a4 + a5 + a6 等于 A. 40 B. 42 C. 43 D. 45









5.B 提示: d = 3,∴ a4 + a5 + a6 = 3a5 = 3(a1 + 4d ) = 42 。
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6.若 a、b、c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax + bx + c = 0 .
2





A.必有两个不等实根 C.必无实根

B.必有两个相等实根 D.以上三种情况均有可能

6.C 提示:∵ b 2 = ac,∴ ? = b 2 ? 4ac < 0 。 7.已知数列 {a n } 满足 an +1
? ? 2 an ? =? ? 2a ? 1 ? n ? 1 (0 ≤ an < ) 2 1 ( ≤ an < 1) 2

若 a1 = , 则 a8 的值为

6 7





A.

6 7

B.

3 7

C.

5 7

D.

1 7

7.B 提示:此数列具有周期性。

(理科第 7 题)如图所示的算法中,令 a = tan θ , b = sin θ , c = cos θ ,若在集合
? π 3π π , θ ≠ 0, , ?θ ? < θ < 4 4 4 ?
π? ? 中,给θ 取一个值,输出的结果是 sin θ ,则θ 的值所在范围是 2?


? π ? 4


? ?

A. ? ? , 0 ?

B. ? 0 , ? 4
?

? ?

π?

C. ? , ? 4 2

?π π? ? ?

D. ? ,

? π 3π ? ? ?2 4 ?

开始

输入 a , b , c N

a>b
Y

a=b
N

a>c
Y 输出 a

a=b

开始 7.D 提示:输出的是最大数。 输出的是最大数。 输出的是最大数 8.已知数列 a n = . A. 12

n ,则数列 {a n } 中最大的项为 n + 156
2

( D.不存在



B. 13

C. 12 或 13

8.C 提示:利用不等式且考虑 n 的取整即可。
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9.图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物 “福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎”,则 f (n) ? f (n ? 1) = ( )

A. . 9.C 10 若 an = A.

B. 4n ? 2

C.4n-4

D.4n-1

1 1 1 + +L+ (n ∈ N +) ,则 an+1-an=( n +1 n + 2 2n



1 2n + 2 1 1 + 2n + 1 2n + 2

B.

1 1 ? 2n + 2 n + 1

C. 10.D

D.

1 1 ? 2n + 1 2n + 2

11.已知 a1=0, |a2|=|a1+1|,|a3|=|a2+1|, …,|an|=|an-1+1|,则 a1+a2+a3+a4 的最小值是( ) A.-4 11.B 12.由 a1 =1, an +1 = . A.
an 给出的数列 {a n } 的第 34 项为( 3an + 1

B.-2

C. 0

D.

1 3



34 103
提示:∵

B. 100

C.

1 100

D.

1 104

12.C

1 1 1 1 1 ? = 3,∴ = 1 + (n ? 1) × 3 = 3n ? 2,∴ = 100 ,即 a34 = 。 an +1 an an a34 100

(二)填空题 13.在等比数列 {a n } 中, a1 < 0 , 若对正整数 n 都有 an < an +1 , 那么公比 q 的取值范围是 . 13. (0,1) 提示:由 an < an +1 得 a1 q n ?1 < a1 q n ,∴ q n ?1 > q n ,∴ 0 < q < 1 。 。

(理科第 13 题)若执行下面的程序图的算法,则输出的 p = _______.
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K=2 P=0 k<100 P=p+k K=k+2 N p

14.2551 提示:输出的是 2 + 4 + 6 + L + 100 =

1 + 100 × 50 = 2551 。 2 2 14.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和 Sn ,若 m > 1 , m ∈ N 且a m?1 + a m+1 ? am = 0, S 2m?1 = 38 ,则 m = .
2 提示:由 am ?1 + am +1 ? am = 0 得 am = 2 ,由 S2 m ?1 = 38 得



14.10

(2m ? 1) ? 2am = 38,∴ m = 10 。 2

15.已知 6, a, b, 48 成等差数列, 6, c, d , 48 成等比数列,则 a + b + c + d 的值为_________. . 15.90 提示: :∵ a + b = 54, c = 12, d = 24,∴ a + b + c + d = 90 。

* 16.设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn (n ∈ N ) ,关于数列 {a n } 有下列四个命题: .

①若 {a n } 既是等差数列又是等比数列,则 a n = a n +1 ( n ∈ N ) ;
*

②若 S n = an + bn
2 n

(a, b ∈ R ) ,则 {a n } 是等差数列;

③若 S n = 1 ? ( ?1) ,则 {a n } 是等比数列; ④若 {a n } 是等比数列,则 Sm , S2 m ? Sm , S3m ? S2 m ( m ∈ N ) 也成等比数列;
*

其中正确的命题是

(填上正确的序号) 。

16. ①②③ ①②③提示:在④中由于 S m 可能出现 0 的情况。 九、实战演习 一、选择题 1.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a3+a7+a11 为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( A.S7 B.S11 C.S12 ) D.S13 )

2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3 等于( A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4

D.1∶3?

3.数列 {an } 满足 an + an +1 = A.

1 ( n ≥ 1, n ∈ N ) , a2 = 1, Sn 是 {an } 的前 n 项和,则 S21 的值为( ) 2
C.6 D.10

9 2

B.

11 2

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4.设 f ( n ) = 2 + 2 + 2 + 2 + L + 2
4 7 10

3 n +10

( n ∈ N ) , 则 f ( n ) 等于

( )

A.

2 n 2 n+1 2 n+3 2 n+ 4 B. ( 8 ? 1) C. ( 8 ? 1) D. ( 8 ? 1) (8 ? 1) 7 7 7 7 5.等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ( n = 1, 2, 3 ? ??) 当首项 a1 和公差 d 变化时,若 a 5 + a8 + a11 是一个定值,则下列各数中
为定值的是( A、 S16 ) B、 S15 C、 S17 D、 S18

5.B 6.等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn,Sn+1,Sn+2 经过适当排列后可构成等差数列,则 q 可能为( A.1 或-2 C.)

1 或1 2

1 2 1 D.-2 或- 或 1 2
B.-2 或-

7. 给出以下四个问题, ① x , 输出它的相反数. ②求面积为 6 的正方形的周长.

③求三个数 a, b, c 中输入一个数的最大数. ④求函数 f ( x ) = ?

? x ? 1, x ≥ 0 的函数值. ? x + 2, x < 0
).

其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

(文科第 7 题)在等比数列 {an } 中, a9 + a10 = a ( a ≠ 0 ) , a19 + a20 = b ,则 a99 + a100 等于 (



A.

b9 a8

B. ?

?b? ? ?a?

9

C.
b a

b10 a9

D. ?
b9 b9 ?a = 8 . a9 a

?b? ? ?a?

10

7.A 提示: a19 + a20 = (a9 + a10 )q10 ,∴ q10 = ,∴ a99 + a100 = (a9 + a10 )q 90 =

8.已知等比数列 {a n }中 a2 = 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A. ( ?∞, ?1] C. [3, +∞ ) 8.D 9.在数列{an}中,若 a1+a2+…+an=2n,则 a13+a23+…+an3 等于( A.8n B. ) B. ( ?∞, 0 ) U (1, +∞ ) D. ( ?∞, ?1] U [3, +∞ )

)

1 n (8 -1) 7

C.

1 n (6 -1) 5

D.

8 n-1 (8 +6) 7


10.某厂在 2008 年底制订生产计划,要使 2018 年底的总产量在原有基础上翻两番,则年总产量增长率为(
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A. 4

1 ?1 10

B. 2

1 ?1 10

C. 4
10

1 ?1 11

D. 2

1 ?1 11

10.A 提示:依题意 (1 + x )

= 4 可得.

(文科11题)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 + a7 ? a10 = 8, a11 ? a4 = 14 ,则 S13 等于( 文科11题 11 A. 168 11.B B. 286 C. 78 D. 152



提示: 提示:由已知得 a1 ? d = 8, 7d = 14,∴ d = 2, a1 = 10 ,则 S13=286.

11.下图给出的是计算

1 1 1 1 + + + ??? + 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( 2 4 6 100
C.i>50 D.i<=50

) .

A..i>100 B.i<=100

开始

S=0

i=2

N

Y S=S+1/i

输出 S

i=i+2 第11

结束

(文科第12题)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S6 = 36, S n = 324, S n ?6 = 144( n > 6) ,则 n 等于 文科第12题 12 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18





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12.D

提示:由 Sn = 324, S n ?6 = 144 得 an + an ?1 + an ? 2 + an ?3 + an ? 4 + an ?5 = 180 ,再由
n(a1 + an ) = 324,∴ n = 18 . 2

S6 = 326,∴ a1 + an = 36,∴ Sn =

12.求得 459 和 357 的最大公约数是( A. 3 B. 9 C. 17 D. 51



二、填空题 13.已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 ? an = 2n, 则 a100 等于 14.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7 n + 45 a = , 则使得 n 为整数的正整数 n 的个数 Bn n+3 bn



15.已知等差数列有一性质: n}是等差数列.则通项为 bn= 若{a

a1 + a 2 + L + a n 的数列{bn}也是等差数列, 类似上述命题, n

相应的等比数列有性质:若{an}是等比数列(an>0),则通项为 bn=__________的数列{bn}也是等比数列.
x ( 文 科 第 16 题 ) 已 知 函 数 f ( x ) = 2 , 等 差 数 列 {ax } 的 公 差 为 2 . 若 f ( a2 + a4 + a6 + a8 + a10 ) = 4 , 则

log 2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ?L ? f (a10 )] =
16.-6 16.下面是一个算法的流程图,回答下面的问题:

.

开始

输入 x

N

x<5 Y

y=2x2+2

y=x2-1

输出 S

第 16题

结束
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当输入的值为 3 时,输出的结果为



三、解答题 17.在数列 {a n } 中, a1 = 1, S n 表示该数列的前 n 项和.若已知 a n = 2 S n ?1 n ∈ N ? , n ≥ 2 (1)求证:数列 {S n } 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式. 18. (本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 a1=1,Sn=nan-2n(n-1) (n ∈ N + ) (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)求
1 1 1 的值. + +L + a1a2 a2 a3 an ?1an

(

)

19. (本小题满分 12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , a1 = 1 + 2 , S3 = 9 + 3 2 . (1)求数列{an}的项 an 与前 n 项和 Sn ;
Sn ( n ∈ N + ) ,求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n 20.某种商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销,采用每买一个这样的商品赠送一个小礼品。实验表明:

(2)设 bn =

*

礼品价值 1 元时销售量增加 10%, 且在一定范围内礼品价值为 n+1 元时, 比礼品价值为 n 元时 (n∈N ) 的销售增加 10%, 请你设计礼品价值以使商品获得最大利润. 21..设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n = 2 ? an ( n = 1, 2,3,L) . ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵若数列 {bn } 满足 b1 = 1, 且 bn +1 = bn + an , 求数列 {bn } 的通项公式; ⑶设 cn = n ( 3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 22.如果有穷数列 a1,a2,…am(m 为正整数)满足条件 a1= am,a2= am-1,…,am=a1,即 ai=am-i+1(i=1,2, …,m),我们称
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其为“对称数列”. (1)设{bn}是 7 项的“对称数列” ,其中 b1,b2,b3,b4 是等差数列,且 b1=2, b4=11,依次写出{bn}的每一项; (2)设{Cn}是 49 项的“对称数列” ,其中 C25,C26,…,C49 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,求{Cn}各项的和 S. (3)设{dn}是 100 项的“对称数列” ,其中 d51,d52, …,d100 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,求{dn}前 n 项的和 Sn(n=1,2, …,100).

高中数列算法专题练习参考答案

一、选择题 1. D 解析:∵a3+a7+a11=3a7 为常数, ∴S13= 2. C 解析:∵易知 q≠1,S6∶S3=1∶2 ?

13(a1 + a13 ) =13a7,也是常数. 2

1? q6 1 3 1 = ,q =- , 2 1 ? q3 2

1? q9 1 1 3 ∴S9∶S3= =1+q3+q6=1- +(- )2= . 3 2 2 4 1? q
1 1 ,∴ an +1 + an + 2 = ,∴ an + 2 = an ( n ≥ 1, n ∈ N ) , 2 2 1 1 又 a2 = 1,∴ a2 = a4 = L = a20 = 1, Q a1 + a2 = ,∴ a1 = ? , 2 2 1 10 1 9 ∴ a1 = a3 = L = a21 = ? .∴ S 21 = 10 ( a1 + a2 ) + a21 = ? = . 2 2 2 2
3.A Q an + an +1 = 4.D 数列 f ( n ) 是以 2 为首项,以 选 D。 5.B 6. D 解析:当 q=1 时,Sn,Sn+1,Sn+2 构成等差数列; 当 q=-2 时,Sn+1,Sn,Sn+2 构成等差数列;

2 (1 ? 8n + 4 ) 2 n + 4 24 = 8 为公比的等比数列,项数为 n + 4,∴ f ( n ) = = ( 8 ? 1) . 故 2 1? 8 7

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当 q=7.A

1 时,Sn,Sn+2,Sn+1 构成等差数列. 2
仅②不需要分情况讨论,即不需要用条件语句

8. D 9. D 解析:易知 an= ?

?2, ?2
n ?1

n = 1, , n ≥ 2,
8(1 ? 8 n ?1 ) 8 n-1 = (8 +6). 1? 8 7

∴a13+a23+…+an3=23+81+82+…+8n-1=8+ 10.A 提示:依题意 (1 + x )
10

= 4 可得.

11.B, i 指输入的数据. 12.D (法一)辗转相除法: 459 = 357 × 1 + 102 ∴ 51 是 459 和 357 的最大公约数. (法二)更相减损术:

357 = 102 × 3 + 51

102 = 51× 2 + 0

459 ? 357 = 102 102 ? 51 = 51
二、填空题

357 ? 102 = 255 255 ? 102 = 153 153 ? 102 = 51

51 ? 51 = 0 ∴ 51 是 459 和 357 的最大公约数.

13. a100 = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( a100 ? a99 )

= 1 + 2 + 2 × 2 + L + 2 × 99 = 1 + 2

99 (1 + 99 ) = 9901 2

( 2n ? 1) ? ( a1 + a2 n?1 )
14.

A2 n ?1 2a a 2 = = n = n, B2 n ?1 ( 2n ? 1) ? ( b1 + b2 n ?1 ) 2bn bn 2



an A2 n ?1 7 ( 2n ? 1) + 45 7 n + 19 12 = = = =7+ . bn B2 n ?1 2n ? 1 + 3 n +1 n +1
an 是正整数。 bn

当 n = 1, 2, 3,5,11 时,

15. n a1 a 2 L a n
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解析:bn= n a1 a 2 L a n = n a1 q 16.-6 三、解答题

n

1+ 2 +L+ ( n ?1)

=a1 q

n ?1 2

n

,bn+1=a1 q 2 ,

1 bn +1 = q 2 (常数). bn

17.解(1)Q a n = 2 S n ?1 , ( n ∈ N ? , 且n ≥ 2)

∴ S n ? S n ?1 = 2Sn ?1 ,∴

Sn =3 S n ?1

∴ 数列{S n }是以S1 = a 1 = 1为首项, 3 为公比的等比数列. 以
(2)由(1)知, S n = 3 n ?1 . 当n ≥ 2时, a n = 2 S n ?1 = 2 × 3 n ? 2 .

Q当n = 1时,a1 = 1 不适合上式,
? 1 ∴ 数列{a n } 的通项公式为a n = ? n?2 ?2 × 3
18.解: (1)an= 4n ? 3 (n ∈ N + ) (2)
n ?1 . 4n ? 3

(n = 1) . ( n ≥ 2)

19.解:(1) an = 2n ? 1 + 2 , Sn = n 2 + 2n ; (2)由(1)得 bn = n + 2 ,假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq 2 = bp ? r 即 b
(q + 2) 2 = ( p + 2)?( r + 2)
?q 2 ? pr = 0 ∴ (q 2 ? pr ) + (2q ? p ? r ) 2 = 0 ,Q p, q, r ∈ N + ,∴ ? ,得 ( p ? r ) 2 = 0 2q ? p ? r = 0 ?

∴p=r,矛盾. ∴数列{bn}中任意三项都不可能成等比数列. 20.解:设未赠礼品时的销售量为 a0 个,而赠送礼品价值 n 元时销售量为 an 个,

∴ a n +1 = a n (1 + 10%) = 1.1a n ,

∴ a n = 1.1n a 0 ,

又设销售利润为数列 {x n }, x 0 = 20 , 当 n ∈ N 时, x n = ( 20 ? n) ? 1.1 a 0 ,
n ?

考察 {x n } 的单调性,

Q xn +1 ? xn = (19 ? n) ?1.1n +1 a 0 ?(20 ? n) ?1.1n a0 =

(9 ? n) × 1.1n a0 , 10

∴ x1 < x 2 < L < x9 = x10 > x11 > x12 > L ,∴ 当 n=9 或 10 时, {x n } 最大
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答:礼品价值为 9 元或 10 元时商品获得最大利润.

21.解析: (1)Q n = 1 时, a1 + S1 = a1 + a1 = 2,∴ a1 = 1.

Q S n = 2 ? an , 即 an + S n = 2,∴ an +1 + S n +1 = 2,
两式相减: an +1 ? an + S n +1 ? S n = 0 即 an +1 ? an + an +1 = 0 故有 2an +1 = an ,

Q an ≠ 0 ∴

an +1 1 = ( n ∈ N ?. ) 。 2 an

1 ∴ 数列 {an } 为首项 a1 = 1, 公比 的等比数列。 2

?1? an = ? ? ?2?

n ?1

( n ∈ N ).
?

(2)Q bn +1 = bn + an ( n = 1, 2,3L)

?1? ∴ bn +1 ? bn = ? ? ?2?

n ?1

, 则 bn ? b1 = ( b2 ? b1 ) + ( b3 ? b2 ) + ( b4 ? b3 ) + L + ( bn ? bn ?1 )

= 1+

1 ?1? ?1? ?1? + ? ? + ? ? +L + ? ? 2 ?2? ?2? ?2?
n ?1

2

3

n?2

?1? 1? ? ? 2 = ? ? 1 1? 2

n ?1

?1? = 2 ? 2? ? ?2?

n ?1

?1? 又Q b1 = 1,∴ bn = 3 ? 2 ? ? ?2?

( n = 1, 2,3L)
n ?1

(3)Q cn = n ( 3 ? bn ) = 2n ?

?1? ? ?2?

.

1 2 n? 2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? ∴Tn = 2 ?? ? + 2 ? ? + 3 ? ? + L + ( n ? 1) ? ? + n ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ?



而 Tn = 2 ??

1 2

2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? + 2 ? ? + 3 ? ? + L + ( n ? 1) ? ? + n ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ?



n ?1 n ?? 1 ?0 ? 1 ?1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? ①-②得: Tn = 2 ?? ? + ? ? + ? ? + L + ? ? ? ? 2n ? ? 2 ?2? ? ?2? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

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?1? 1? ? ? n n ? 2 ? ? 4n ? ? 1 ? = 8 ? 8 ? 4 n ? ? 1 ? = 8 ? 8 + 4 n 1 . Tn = 4 ( ) n ? ? ? ? 1 2n 2 ?2? ?2? 1? 2
22.解: (1)b4=b1+3d 即 11=2+3d,∴ d = 3 ∴b1=2, b2=5, b3=8, b4=11, b5=8, b6=5, b7=2; (2)S=C1+C2+…+C49=2(C25+C26+…+C49)-C25= 2 ×
1 ? 225 ? 1 = 226 ? 3 ; 1? 2

n

(3) d51 = 2 ,d100=2+3×49=149,∴d1, d2,…d50 是首项为 149,公差为-3 的等差数列. 当 n≤50 时, Sn = 149n +
n(n ? 1) 3 301 × (?3) = ? n 2 + n 2 2 2

当 51≤n≤100 时,Sn=d1+d2+…d50=S50+(d51+d52+…dn) =3775+(n-50)×2+
? 3 2 301 ?? n + 2 n ? ∴综上所述, Sn = ? 2 ? 3 n 2 ? 299 n + 7500 ?2 2 ?
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(n ? 50)(n ? 51) 3 299 × 3 = n2 ? n + 7500 2 2 2

(1 ≤ n ≤ 50)

.
(51 ≤ n ≤ 100)

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