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高考数学总复习(讲+练+测): 专题8.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算(练)

第 06 节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 A 基础巩固训练 1.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是 (4,7,6) ,则点 M 关于 y 轴的对称点坐标为( ) A. (4, 0, 6) 【答案】B B. (?4, 7, ?6) C. (?4, 0, ?6) D. (?4, 7, 0) x ? y ? z 的值为 2.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,若 BD 1 ? x AD ? y AB ? z AA 1 ,则 ( ) A.3 【答案】B 【解析】 B.1 C.-1 D.-3 BD1 ? AD ? AB ? AA1 ? x ? 1, y ? ?1, z ? 1? x ? y ? z ? 1. 3. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方形 ABCD 的中 心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互相平分,则满足 MQ =λ MN 的实数 λ 的值有( ) A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 【答案】C 4.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,则〈a,b〉=________. 【答案】60° 【解析】由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a| +16a·b-15|b| =0, 及(a-4b)·(7a-2b)=7|a| +8|b| -30a·b=0. 1 2 2 两式相减,得 46a·b=23|b| ,∴a·b= |b| . 2 代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|. 2 |b| a·b 2 1 ∴cos〈a,b〉= = 2 = . |a||b| |b| 2 2 2 2 2 1 ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=60°. → → → → 5. 在四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则OE= ______________(用 a,b,c 表示). 1 1 1 【答案】 a+ b+ c 2 4 4 1 → 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1 1 【解析】OE= OA+ OD= OA+ OB+ OC= a+ b+ c. 2 2 2 4 4 2 4 4 B 能力提升训练 1. 已知空间四点 A(0,3,5), B(2,3,1), C (4,1,5), D( x,5,9) 共面,则 x = 【答案】 ?6 2. 【2016 届湖南长沙市一模】 在空间直角坐标系中, 已知点 A?1,0,1? , B ? ?1,1,2? , 则线段 AB 的长度为__________. 【答案】 6 【解析】根据两点间距离公式得: AB ? 4 ? 1 ? 1 ? 6 . 3.如图,四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2 ,点 E , F 分别为棱 AB , AD 的中点,则 AB ? BC ? __________; BC ? EF ? __________. 【答案】 6 3 【解析】设 BD 中点为 E ,以 E 点为坐标原点, ED , EC , EA 分别为 x , y , z 轴, 建立空间直角坐标系, A 0, 0, 3 , AB ?1, 0, ? 3 , B ? ?1,0,0? , BC 1, 3, 0 , C 0, 3, 0 , EF ?1,0,0? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? D ?1,0,0? , AB ? BC ? 0, 3, ? 3 , E ? ? , 0, ? , BC ? EF ? 0, 3, 0 , ? 2 2? ? ? ? ? ?1 1? F ? , 0, ? ,∴ AB ? BC ? 02 ? ?2 2? 故答案为 6 , ? 3 ? ? ?? 3 ? 2 2 ? 6 , BC ? EF ? ? 3? 2 ? 3, 3. π G 与E , AB ? AC ? A 1 A ? 1 ,已知 2 4.如图,在直三棱柱 A 1B 1C1 ? ABC 中, ?BAC ? 分别是棱 A1B1 和 CC1 的中点, D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点(不包括端点) .若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围是__________. 【答案】 ? ? 5 ? ,2? ? ? 5 ? 1? ? ?1 ? A? 0,0,0? , E ? 0,1, ? , G ? , 0,1? , F ? x,0,0? , D ? 0, y,0? , 2? ? ?2 ? ∵ GD ? EF ,∴ x ? 2 y ? 1 ? 0 , DF ? x 2 ? y 2 ? 2? 1 2 ?1 ? 2 y ? ? y 2 ? 5 ? ?y? ? ? , 5? 5 ? 2 当y? 2 5 时, DFmin ? , 5 5 当 y ? 1 时, (不包含端点故 y ? 1 不能取 2 ) , DF ?2, x m a ∴ DF 长度取值为 ? ? 5 ? ,2? ?. ? 5 ? 1 2 5.如图所示, 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、 F 分别在 B1B 和 D1D 上,且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)求证:A、E、C1、F 四点共面; -→ -→ -→ -→ (2)若 EF =x AB +y AD +z AA1 ,求 x+y+z 的值. 1 【答案】 (1)A、E、C1、F 四点共面. (2) . 3 ∴A、E、C1、F 四点共面. -→ -→ -→ (2)∵ EF = AF - AE -→ -→ -→ -→ = AD + DF -( AB + BE ) -→ 2-→ -→ 1-→ = AD + DD1 - AB - BB1 3 3 -→ -→

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