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江苏省仪征中学2017届高三下学期期初测试数学试题及答案


江苏省仪征中学 2016—2017 学年度第二学期高三期初检测 数学试卷(Ⅰ)
考试范围:高考数学全部内容 命题人:陈宏强 审稿人:鲁媛媛 考试时间:2017.02 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在答题卡相应位置上.) 1、已知集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},则 A∩B= .

z ? 4 ? 3i 2、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 i ,则复数 z 的模为
3、若一组样本数据 2,3,7,8,a 的平均数为 5,则该组数据的方差 s2= 4、若 a , b 均为单位向量,且 a ? (a ? 2b) ,则 a , b 的夹角大小为 5、执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为________.
? ?

. .

?

?

? ?



第 5 题图 第 6 题图 6、从某校高中男生中随机抽取 100 名学生,将它们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如 图).若要从身高在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取 6 人组成一个 活动队,再从这 6 人中选 2 人当正副队长,则这 2 人的身高不在同一组内的概率为________. 7、若命题“ ?x ? R, ax ? 4x ? a ≤ 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
2



8、函数 y=x﹣2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为 . 9、如图,在三棱锥 A-BCD 中,E 是 AC 中点,F 在 AD 上,且 2AF=FD,若三棱锥 A-BEF 的体积是 1,则四棱锥 B-ECDF 的体积为 .

π? 1 10、设 θ 为第二象限角,若 tan? ?θ+4?=2, 则 sin θ+cos θ=________.
100

11、设数列

? ak ak ?1 ? ?an ? 满足 a1 ? 1, ?1 ? an?1 ??1 ? an ? ? 1? n ? N ? ,则 ? k ?1 的值为
?

.

x2 y2 12、已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 9 4 线段 MN 的中点在 C 上,则 AN+BN=________.

4 x— y 13、已知正数 x,y 满足 4 x+ 3 y =4xy,那么 y 的最大值为

.

?x2+? 4a -3? x +3a,x<0, ? 14、已知函数 f(x)=? ? +1?+1,x≥0 ?loga? x

(a>0,且 a≠1)在 R 上单调递减,且关于 x 的方

x 程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是________. 3 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。第 15、16、17 题各 14 分,第 18、19、20 题各 16 分。在 答题卡相应位置上写出文字说明,证明过程或演算步骤)

?? ? f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ?? ? 0, x ? R ? 4? ? 15、已知函数 的最小正周期为 ? .
?? ? f? ? (1)求 ? 6 ? ; ? ? ?? ? , ? ? y ? f ? x? 2 2 ? 上的图象,并根据 ? (2)在给定的坐标系中,用列表描点的方法画出函数 在区间 ? ? ?? ?? , ? 图象写出其在 ? 2 2 ? 上的单调递减区间。

16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PB ? PD . (1)求证: BD ? PC ; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l ,求证: BC // l . P

A

D

B

C

17、某种出口产品的关税税率 t、市场价格 x(单位:千元)与市场供应量 p(单位:万件)之间近似满足 关系式:p=2(1kt)(xb) ,其中 k、b 均为常数. 当关税税率为 75%时,若市场价格为 5 千元,则市场 供应量约为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场供应量约为 2 万件. (1)试确定 k、b 的值; (2)市场需求量 q(单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式: q ? 2 ? p ? q 时,市场价格称为市场 平衡价格. 当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值.
?x
2

x2 y2 3 18、已知点 A(0,-2),椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF a2 b2 2 2 3 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程;

(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

19、已知数列

{an } 的前 n 项积为 Tn ,即 Tn ? a1a2 ?an .
q?? 1 2 的等比数列,

(1)若数列 ①求

{an } 为首项为 2016,公比为

Tn 的表达式; Tn 取得最大值;

②当 n 为何值时,
*

(2)当 n ? N 时,数列 求证:

{an } 都有 an ? 0 且 Tn ? Tn?1 ? (a1an ) (a1an?1 )

n 2

n ?1 2

成立,

{an } 为等比数列.

3 2 2 20、设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点.

(1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若

| x1 | ? | x2 |? 2 ,求 b 的最大值;

x ? ( x1 , x2 ) ,当 x2 ? a 时,求证: (3)设函数 g ( x) ? f ' ( x) ? a( x ? x1 ) ,

g ( x) ≤

1 a (3a ? 2) 2 12 .

答案 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在答题卡相应位置上.) 1、 {1, 3}

2、5

26 3、 5 4、

5、4

11 6、 15

? 5? ( , ) 7、 (2, ??) 8、 3 3
1 13、 3

9、 5

10、-

10 5

100 11、 101

12、12

1 2? 14、? ?3,3?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。第 15、16、17 题各 14 分,第 18、19、20 题各 16 分。在 答题卡相应位置上写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15、 解:(1)由题意:

2?

? ? ,? ? ? 2,? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 4

?

? f ( ) ? sin( ? ) ? 6 3 4
?
(2)因为

?

?

?

6? 2 4 …4 分

?
2

?x?

?
2

,

5? ? 3? ? 2x ? ? , 4 4 …………6 分 所以 4 ?

x
2x ?

?

?

?
4

2 5? ? 4

?

3? 8

?
?

?
8

? 8
0
0

??
0

?
2

3? 8 ? 2

? 2 3? 4
2 2

y

2 2

?1

1

…………8 分 图像如图所示:

…………12 分

由图像可知

y ? f ? x?

? ? ?? ? ? 3? ? ? , ? [? , ? ],[ , ] ? 8 8 2 。 在区间 ? 2 2 ? 上的单调递减区间为 2

…………14 分 16、 证明: (1)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 PO. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BD ? AC ……2 分 又因为 PB ? PD ,O 为 BD 的中点, 所以 BD ? PO ……………………………………4 分 又因为 AC ? PO ? O ,所以 BD ? 平面APC , 又因为 PC ? 平面APC

P

A

D

,所以 BD ? PC ……………………………………7 分 C B (2)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 BC // AD …………………………9 分 因为 AD ? 平面PAD,??BC ? 平面PAD .所以 BC // 平面PAD 又因为 BC ? 平面PBC ,平面 PBC ? 平面 PAD ? l . 所以 BC / /l . ………………………14 分 17、
(1? 0?75 k )(5?b ) ? ?1 ? 2 ?(1 ? 0?75k )(5 ? b)2 ? 0? ? ? (1? 0?75 k )(7 ?b )2 2 ?2 ? 2 ? ? (1 ? 0?75k )(7 ? b) ? 1? 解得 b=5,k=1.……4 分 解 (1)由已知, ?
2

…………11 分

2 (2)当 p=q 时,2(1t)(x5) ? 2 ?

?x

…………………6 分

∴ (1 ? t )

( x ? 5) 2 ? ? x ? t ? 1 ?
25 x

1 ? x ? 25 2 x ? ? 10 ( x ? 5) x 1+

…………8 分

设f ( x ) ? x ?

0 ? x1 ? x2 ? 4; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )


x1 x2 ? 25 ?0 x1 x2 ,

f ( x) ? x ? 25 x 在(0,4]上单调递减, …………………………10 分 所以 41 所以当 x=4 时,f(x)有最小值 4 . 即当 x=4 时,t 有最大值 5
故当 x=4 时,关税税率的最大值为 500%. ……………………………………14 分

18、 2 2 3 [解]:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 x2 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1.故 E 的方程为 +y2=1. ……………… 4 分 a 2 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意, x2 故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将 y=kx-2 代入 +y2=1 得 4 (1+4k2)x2-16kx+12=0. …………………………6 分 8k± 2 4k2-3 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时,x1,2= . 4 4k2+1 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= , k2+1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2|= 4 4k2-3 1 所以△ OPQ 的面积 S△ OPQ= d|PQ|= . 2 4k2+1 4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△ OPQ= = . 4 t2+4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ>0, ……………14 分 t 2 所以,当△ OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y= 7 7 x-2 或 y=- x-2. …………… 16 分 2 2 …………………………8 分

…………………………10 分

19、

1 an ? 2016( ? ) n ?1 2 解: (1)①由题意知 ,

1 1 n ( n?1) Tn ? 2016n (? )0?1???( n?1) ? 2016n (? ) 2 2 2 所以 .……………………………3 分

n ( n ?1) 1 n ?1 n 1 bn ? 2016( ) Rn ? 2016 ( ) 2 b ? | a | R ? | T | 2 n n n n 2 ②记 , ,即 , ,

Rn ?1 Rn ?1 Rn ?1 1 ? 2016 ? ( )n ?1 ?1 * * R Rn 2 ,当 n ? 10, n ? N 时, Rn n ? 11, n ? N n ;当 时, ,
又因为 所以

?n ? N * , Rn ? 0 ,所以,当 n ? 10, n ? N * 时, Rn?1 ? Rn ;当 n ? 11, n ? N * 时, Rn?1 ? Rn ,

Rn 的最大值为 R11 .…………………………………6 分

1 T11 ? 201611 (? )55 ? 0 T ? 0, T10 ? 0, T12 ? 0 ,所以 (Tn )max ? max{T9 , T12} . 2 此时 ,而 9

T12 1 ? a12 a11a10 ? (a11 )3 ? (2016 ? (? )10 ) ? 1 T 2 而 9 ,
所以,当 n ? 12 时, (2)当 n ? 2 时, 已知

Tn 取得最大值. ………………………9 分
3 2

a a a ? (a1a2 )(a1a3 ) ,所以 a2 ? a1a3 ,即 a22 ? a1a3 ,…10 分
2 2 1 2 3

Tn ? Tn?1 ? (a1an ) (a1an?1 )

n 2

n ?1 2 n ?1 2


n

T ? T ? (a1an?1 ) 当 n ? 2 时, n?1 n
(an a n?1 )2 ?
①②两式相除得 又因为
2 n 2 n an ?1an ? a1 an +2 ,④

(a1an ) 2 ②

n ?1 a12 an ?1 n?1 n ?1 a2an?1 ? a12an an +1 ,③ ?1 ,化简得 n n?1

③④两式相除得

n ?1 n ?2 n n ?1 an ? an ?1 an ? 2 an ?1 ,⑤…………………12 分

an ? 2 an n an ?1an ?1 n ?1 ) ( ) ?1 2 2 a a n ? 1 n ⑤式可化为: ,n ? 2 ( cn ? (
令 即

an ?1an ?1 n ?1 ) 2 c ? 1, cn?1 ? cn ? 1 ,所以 cn ? 1, ?n ? N * , an ,所以 1

2 * an?1an?1 ? an , ?n ? 2, n ? N 都成立,

所以

{an } 为等比数列. ………………………………16 分

20、

? 解: (1)∵ f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0)
3 2 2 2 2
2 ? ?3a ? 2b ? a ? 0 ? f ?(?1) ? 0 (a ? 0) ? ? ? 12a ? 4b ? a 2 ? 0 ?(2) ? 0 f ? ? 依题意有 ,∴ .

?a ? 6 ? b ? ?9 ,∴ f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x . ………………4 分 解得 ?
? (2)∵ f ( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ,
2 2

依题意,

x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,且 | x1 | ? | x2 |? 2 ,
?( x1 ? x2 ) ? 2x1x2 ? 2 | x1x2 |? 4 ,
2

(?
即:


2 2

2b 2 a a ) ? 2 ? (? ) ? 2 | ? |? 8 3a 3 3 4,

∴ b ? 3a (3 ? a) ………………6 分
2 6 ∵ b ≥ 0 ,∴ 0 ? a ≤ 3.

…………8 分
2

设 p(a) ? 3a (3 ? a) ,则 p '(a) ? ?9a ? 18a
2

? ? 4 4 由 p (a) ? 0 得 0 ? a ? 2 ,由 p (a) ? 0 得 a ? 2.
即:函数 p ( a ) 在区间(0,2)上是增函数,在区间(2,3)上是减函数, ∴当 a ? 2 时, p ( a ) 有极大值为 12,∴ p ( a ) 在 (0,3] 上的最大值是 12, ∴ b 的最大值为 2 3 . ………………10 分 (3) 证明:∵ x1 , x 2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根,∴ f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) .



x1 ? x2 ? ?

a 1 x1 ? ? 3 .…………12 分 3 , x2 ? a ,∴

1 1 1 | g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[ 3( x ? a) ? 1] | 3 3 3 ∴

1 ? ? x ? a. x ? x ? x 2 ,即 3 ∵ 1

1 | g ( x) |? a( x ? )( ?3 x ? 3a ? 1) 3 ∴

a 3a 3 1 1 3a ? 1 ? ?3a ( x ? )( x ? ) ? ?3a( x ? ) 2 ? ? a2 ? a | g ( x ) | 3 3 2 4 3 ∴ ≤ 3a3 1 a(3a ? 2) 2 a ≤ (3a ? 2) 2 ? a2 ? a ? 12 4 3 12 . ∴ | g ( x) | …………16 分

江苏省仪征中学 2016—2017 学年度第二学期高三期初检测数学试卷(Ⅱ) ?cos α -sin α? 21、 (本题 10 分) 若点 A(a, b)( a≠b)在矩阵 M=? ?对应变换的作用下得到的点为 B(-b, ?sin α cos α? a), (1)求矩阵 M 的逆矩阵;

?0 1? (2)求曲线 C:x2+y2=1 在矩阵 N=? 2?所对应变换的作用下得到的新的曲线 C′的方程. ? ? ?1 0?

π π 3 2, ?,圆心为直线 ρsin?θ- ?=- 与极轴 22、 (本题 10 分)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? 4 3 ? ? ? ? 2 的交点,求圆 C 的极坐标方程.

23、 (本题 10 分)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规 定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分 3 1 1 别是 , , ,且各阶段通过与否相互独立. 4 2 4 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ξ,求 ξ 的分布列与均值.

24、 (本题 10 分)在如图所示的四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 底面 ABCD , ?DAB ? ?ABC ? 90 ,
?

SA ? AB ? BC ? a , AD ? 3a (a ? 0) ,E 为线段 BS 上的一个动点.

(1)证明:DE 和 SC 不可能垂直; (2)当点 E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B)时,求二面角 S ? CD ? E 的余弦值.

S

E B

A C

D

答案 21、 (本题 10 分)

?acos α-bsin α? ?-b? ?a ? ?-b? [解] (1)M? ?=? ?,即? ?=? ?, ?b? ?a ? ?asin α+bcos α? ?a ?
? ? ?acos α-bsin α=-b, ?cos α=0, ?0 所以? 得? 即 M=? ?1 ?asin α+bcos α=a, ? ? ?sin α=1.

-1? ?, 0?

由 M-1M=?

1? ?1 0?得 M-1=?0 ? ? ?. ………………………………………………5 分 ?0 1? ?-1 0?

1 ? ? ?x′=2y, ?x=y′, (2)矩阵 N 对应的线性变换为? ?? 代入 x2+y2=1 得 4x2+y2=1. …10 分 ?y=2x′. ? ? ?y′=x

22、 (本题 10 分) π? 3 [解] 在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). ………3 分

π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, 所以圆 C 的半径 PC= ? 2? 2 +12-2× 1× 2cos π =1, 4 ………………8 分

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. …………………………10 分

23、 (本题 10 分) [解] (1)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选手通过决赛”为事件 C, 3 1 1 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 4 2 4 3 ? 1? 3 1- = . …… 3 分 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P=P(A B )=P(A)P( B )= × 2? 8 4 ? (2)ξ 可能取值为 1,2,3. 3 1 3 ? 1? 3 3 1 3 1- = ,P(ξ=3)= × = . ………… 8 分 P(ξ=1)=1- = ,P(ξ=2)= × 4 4 4 ? 2? 8 4 2 8 故 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 4 2 3 8 3 3 8

1 3 3 17 ξ 的均值为 E(ξ)=1× +2× +3× = . ………………………………10 分 4 8 8 8 24、 (本题 10 分) 解: (1)∵ SA ? 底面 ABCD , ?DAB ? 90 ,∴AB、AD、AS 两两垂直.
?

以 A 为 原 点, AB 、 AD 、 AS 所 在的 直 线分 别 为 x 轴、 y 轴 、 z 轴 建 立空 间 直角坐 标 系 (如 图) , . . . . . . . . . .1 分

则 S (0,0, a) , C (a, a,0) , D(0,3a,0) (a ? 0) , ∵ SA ? AB ? a 且 SA ? AB ,∴设 E ( x,0, a ? x) 其中 0 ≤ x ≤ a ,

??? ? ??? ? ∴ DE ? ( x, ?3a, a ? x) , SC ? (a, a, ?a) ,

. . . . . . . . .2 分

???? ??? ? 假设 DE 和 SC 垂直,则 DE ? SC ? 0 ,
2 2 2 即 ax ? 3a ? a ? ax ? 2ax ? 4a ? 0 ,解得 x ? 2a ,

这与 0 ≤ x ≤ a 矛盾,假设不成立,所以 DE 和 SC 不可能垂直.

. . . .4 分

2 1 E ( a,0, a) 3 . (2)∵E 为线段 BS 的三等分点(靠近 B) ,∴ 3
? ? ? ?? ? n ? ( x , y , z ) n 1 1 1 ,平面 CDE 的一个法向量是 2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 设平面 SCD 的一个法向量是 1 ??? ? ??? ? CD ? ( ? a ,2 a ,0) SD ? (0,3a, ?a) ,∴ ∵ ,
??ax1 ? 2ay1 ? 0 ? ?3ay1 ? az1 ? 0

?? ? ??? ? ? ? n1 ? CD ? 0 ? ??? ? ? ?? ? ? n1 ? SD ? 0





? x1 ? 2 y1 ? ? ? ? z1 ? 3 y1 n ? ,即 ,取 1 ? (2,1,3) ,

. . . . . . .6 分

?? ? ??? ? ? n ? CD ?0 ? 2 ???? 2 1 ?? ? ???? ? ??? ? DE ? ( a, ?3a, a) ? n2 ? DE ? 0 , 3 3 ,∴ ? ∵ CD ? (?a,2a,0) ,
?? ax2 ? 2ay2 ? 0 ? ? x2 ? 2 y2 ?2 1 ?? ? ? ax2 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ? z 2 ? 5 y2 n 3 3 ? ? 即 ,即 ,取 2 ? (2,1,5) ,
设二面角 S ? CD ? E 的平面角大小为 ? ,由图可知 ? 为锐角,

. . . . . . .8 分

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? n1 ? n2 4 ? 1 ? 15 2 105 ? ? ?? ? ? cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ? ? 21 | n1 | ? | n2 | 14 ? 30 ∴ ,
2 105 即二面角 S-CD-E 的余弦值为 21 .

. . . . . . .10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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