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厦门市2012-2013学年(上)高一质量检测数学试题参考答案


厦门市 2012-2013 学年(上)高一质量检测

数学试题参考答案
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: B A C D A 6-10: B C D C A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 68 12. 4 13. 3 14.

?x

x ? ? 1?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意得:对于任意 x ? R ,均有 f ? x ? ? f ? ? x ? , -------------------------1 分
? a x ? b x ? 2 ? a x ? b x ? 2 ,? 2 b x ? 0 恒成立,? b ? 0
2 2

---------------------2 分

由 f ? 1 ? ? 0 得 a ? b ? 2 ? 0 ,? a ? ? 2
? a ? ?2 ,b ? 0

---------------------------4 分 ---------------------------5 分

(若是由 f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? 求得 b ? 0 ,则需说明经检验满足偶函数,否则扣 1 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? f ( x ? 1) ? ? 2 ? x ? 1 ? ? 2 ,抛物线开口向下,对称轴 x ? 1 ,---7 分
2

则函数 y ? f ( x ? 1) 在 ? 0 ,1 ? 上单调递增,在 ?1, 3 ? 上单调递减,---------------------8 分
? f
?

?0? ?

0 , f ?1 ? ? 2 , f ? 3 ? ? ? 6 ,

---------------------------9 分 --------------------------10 分

函数 y ? f ( x ? 1) 在 ? 0 , 3 ? 上的值域为 ? ? 6, 2 ? .

16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)用(m,n)表示同时抛掷两粒骰子的点数, 试验所有的结果为: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) …………………………….. (6,1) (2,2) (3,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有 36 种, ---------------------------2 分

其中满足事件 A 的结果为: (1,2)(2,1)(2,3)(3,2)(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6), , , , (6,5)共 10 种。
? P ( A) ? 10 36 ? 5 18

---------------------------4 分 ---------------------------6 分 ---------------------------8 分 ---------------------------9 分
1 36

(Ⅱ)由表可得 n ? 3 6 , n A ? 1 1
fn ( A) ? 11 36

比较 f n ( A ) 与 P(A) ,相差 差异的原因:

,相差不大,

---------------------------10 分

随机事件 A 的频率 f n ( A ) 会随随机实验的变化而变化,随实验的次数的增加,
f n ( A ) 越来越趋近稳定值 P(A).

---------------------------12 分

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得, lo g a ? ?
? ? ? ? 1 ? ? ? 2 ,? a ? 3 , 9 ? 8

---------------------------2 分

则函数 f ? x ? ? lo g 3 ? x ? 1 ? 在区间 ? ? 1, 2 6 ? 上单调递增,-------------------------3 分 因为 f ? 2 6 ? ? 3 , 所以函数 f ( x ) 的值域为 ? ? ? , 3 ? . ---------------------------4 分 ---------------------------5 分

(Ⅱ)由已知 g ? x ? ? f ? x ? 2 ? 得: g ? x ? ? lo g 3 ? x ? 1 ? , 化简即 g ? x ? ? ?
? lo g 3 ? x ? 1 ?   x ? 2 ? ? ? lo g 3 ? x ? 1 ?   1 ? x ? 2 ?

,

---------------------------6 分

则函数 g ? x ? 在区间 ? 1, 2 ? 上单调递减;在区间 ? 2 , ? ? ? 上单调递增,------------7 分
? 10 ? ? g ?b ? 2 ? ? g ? ?b? , ? 3 ?

y

⑴自变量 b ? 2 与 则b ? 2=
10 3

10 3

? b 同属一个单调区间。 2 3

? b ,得 b ? 10 3



---------------9 分
O 2 x

⑵自变量 b ? 2 与

? b 分属两个单调区间,

?7 ? ? lo g 3 ? b ? 1 ? ? lo g 3 ? ? b ? ? 3 ?
? 10 ? ? lo g 3 ? b ? 2 ? 1 ? ? ? lo g 3 ? ? b ?1? , ? 3 ? ?7 ? ? lo g 3 ? b ? 1 ? + lo g 3 ? ? b ? = 0 , ? 3 ?

-------------------------------10 分

2 ?7 ? ? ? ? b ? ? b ? 1 ? ? 1 ,解得 b ? 2 或 b ? ? 3 ? 3 ?

---------------------------11 分

经检验 b ?

2 3

,b ? 2 与b ? ?

2 3

均合题意,即为所求. --------------------------12 分

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (18) a ? 2 (19)3.146 (20)2 (21)8

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分, 22. (本小题满分 10 分)
?a ? c ? 1 ? 22. 解: (Ⅰ)依题意得: ? 4 , ?a ? c ? 73 ?
2

----------------------------1 分 ----------------------------2 分 ----------------------------3 分 ---------------------------4 分

? a ? a ? 72 ? 0 ,
4 2

? ?a ? 9??a ? 8? ? 0 ,
2 2

?a

2

? 9? a ? 3,

? c ? ?8 , f

?x? ?

3 ?8.
x

----------------------------5 分

(Ⅱ)任取 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? 1 ,
f

? x1 ? ?

f

? x2 ? ?

2

x1

? b x1 ? c ? ? 2
?2
x2

x2

? bx2 ? c ?

? ?2

x1

?? b?x

1

? x2 ?

----------------------------6 分 ----------------------------7 分

又? 2
? ?2
x1

x1

? 2
x2

x2

, b ? 0 , x1 ? x 2 ? 0

?2

?? b?x
f

1

? x 2 ? ? 0 ,即 f

? x1 ? ?

f

? x2 ? ?

0

? f

? x1 ? ?

? x 2 ? ,函数 f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上单调递增,

-------------------8 分

则函数的最大值 f ? 1 ? ? 2 ? b ? c ,最小值 f ? ? 1 ? ?

1 2

? b ? c ,---------------9 分

若对任意 x 1 , x 2 ? [ ? 1,1] ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 4 ,则需满足 f ? 1 ? ? f ? ? 1 ? ? 4 ------------------------10 分
? 2b ?

3 2

? 4 ,? ?4 ? 2b ?

3 2

? 4 ,? ?

11 4

? b ?

5 4

,-----------------------11 分

又 b ? 0 ,则 0 ? b ?

5 4

.

----------------------------12 分

23. (本小题满分 12 分) 解: (1)用 x , y 分别表示第三、第四组的频率,则
x ? y ? 1 ? 1 0 ( 0 .0 0 5 ? 0 .0 1 5 ? 0 .0 1 ? 2 ) ? --------------------2 分 ? ? 4 5 ? 0 .0 5 ? 5 5 ? 0 .1 5 ? 6 5 x ? 7 5 y ? 8 5 ? 0 .1 ? 9 5 ? 0 .1 ? 7 1

解得 x ? 0 .2 5, y ? 0 .3 5 答:第三、第四组的 频 率 分别为 0.25,0.35; (2) 2 0 ? ( 0 .2 5 ? 0 .3 5 ) ? 1 2 (名) 答:合格(60 分 ~ 80 分)学生应抽取 12 名; (3) (下面两种表述都可以,只需一种表述即可)

---------------------------4 分 ----------------------------5 分 ----------------------------7 分 ----------------------------8 分

A:根据数据计算得平均数 80.6,高出实测数据的频率分布直方图估计的平均分 71 分。 B:将数据制作成样本频率分布直方图,可估计众数 85,高出实测数据的频率分布直方 图估计的众数 75. --------------------------------------------------------------------------------11 分 评价:说明学生对本单元知识个人认为掌握较好,但事实上在某些方面还存在缺漏,学 生的学习水平有望进一步提高。 ----------------------------------12 分

24. (本小题满分 12 分)
2 ? ?x ?1 ? 解(Ⅰ)依题意得: ? x ?  x ? 2 ?

或?

?x ?1 ? ?

?x

? 1?





?  x ? 2 ?

----------------------------2 分

解得 x ? 2 或 x ? 1 ,或 x ? 0 .

----------------------------3 分

a ? ?3 x ? 1 ? (Ⅱ)依题意得: ? x ......(1) ?  x ? 2 ?
?x ? 3x 由(2)得, ? ?x ? 2
3 2

?3 x ? 1 ? ? x ? 1? ? ....( 2 ) 或? ?  x ? 2 ?



--------------------4 分

? 0

,解得 x ? 0 ,

----------------------------5 分

?

方程 f ? x ? ? 3 x ? 1 有且只有有两个实数解,则(1)有且只有一个实数根, ----------------------------6 分

即 3 x ? x ? a ? 0 在 ? 2 , ? ? ? 上 有 且 只 有 一 个 实数
2

y

根, 构造函数 h ? x ? ? 3 x 2 ? x ? a ,亦可分析 a ?x3 x ? (
2


O 2 x

抛物线开口向上,对称轴为 x ? 则有 h ? 2 ? ? 0 ,即 1 0 ? a ? 0 ,
? a ? 10

1 6

, 如图

.

----------------------------7 分

?a ? ? 2 a x ? 1, x ? ? 2 , 4 ? (Ⅲ)依题意得: g ?x? ? ? x , ?4a    x ? 2    ?

-------------------------------------------------------8 分 则有 g ? x ? ? a ?
? 1 ? ? 2 x ? ? 1 ,任取 2 ? x 1 ? x 2 ? 4 , ? x ?

g ? x1 ? ? g ? x 2

??

? 1 ? ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 1 a? ? 2 x1 ? ? 2 x 2 ? ? a ? x1 ? x 2 ? ? ? x2 x1 x 2 ? x1 ? ? ?

? x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? 4 , 2 x1 x 2 ? 1 ? 0

(i)若 a ? 0 , g ? x1 ? ? g ? x 2 ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ? 2 , 4 ? 单调递增, 又g ?4? ? 则当 a ?
4 17 33 4 a ? 1 ,令 4 a ? 33 4 33 4 a ? 1 ,? a ? 4 17 a ?1;



时,函数 g ? x ? 的最大值为
4 17

则当 0 ? a ?

时,函数 g ? x ? 的最大值为 4 a ;
? ? 1, x ? ? 2 , 4 ? ?

----------------------------9 分

(ii) 当 a ? 0 时, g ? x ? ? ?

?0  x ? 2    ?

函数 g ? x ? 的最大值为 0;----------10 分
9 2

(iii)当 a ? 0 时, g ? x1 ? ? g ? x 2 ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递减, g ? x ? ?

a ?1

又?

?9

1 ? a ? 1? ? 4a ? a ?1? 0 , 2 ? 2 ?

则当 a ? 0 时,则函数 g ? x ? 的最大值为 4 a ; 综上可得:当 a ?
4 17

----------------------------11 分
33 4 a ? 1 ;a ? 4 17

时,函数 g ? x ? 的最大值为

时,函数 g ? x ? 的最

大值为 4 a .---------------------------------------------------------------------------------------12 分


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