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福建省三明市高三下学期普通高中毕业班5月质量检查文科数学试题

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2017 年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
? ? ? ? 1.已知集合 M ? x y ? 1? 3x ,集合 N ? x x2 ?1? 0 ,则 M N ? ( )

A.{x

?1

?

x

?

1?

3

? ?

B.{x

x

?

1?

3

? ?

C.{x

x

?

1?

3

? ?

D.{x 1 ? x ? 1?
3

2.复数 1? i (其中 i 是虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( ) 3 ? 4i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量 a ? (3,1),b ? (x, ?1) ,若 a ? b 与 b 共线,则 x 的值等于( )

A. -3 B.1 C.2 D.1 或 2

4.现有 A, B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择,每人必须且只能选其中一门,则甲乙

两人都选 A 选修课的概率是( )

A. 1 4

B. 1 3

C. 1 D. 2

2

3

?x ? 0

5.若变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

? 1,则

y

的最大值为(



??x ? y ? 1 x ? 2

A. 1

B. 1

C. 1

D.2

4

2

6.已知命题

p1

: 若 sin

x

?

0

,则 sin

x

?

1 sin

x

?

2

恒成立;

p2

:

x

?

y

?

0

的充要条件是

x ? ?1.则下列命题为真命题的是( ) y

A. p1 ? p2

B. p1 ? p2

C. p1 ? (?p2 )

D. (?p1) ? p2

7. 执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 2,则输出 S 的值为( )

A.64

B.84

C.340

D.1364

8.已知函数 f (x) ? sin(x ? ?) ? 3 cos(x ? ?)( ? ? ? ) 的图象关于直线 x ? ? 对称,则 2

cos 2? ? ( )

A. ? 3 2

B. ? 1 2

C. 1 2

D. 3 2

9.已知中心在原点的双曲线,其右焦点与圆 x2 ? 4x ? y2 ?1 ? 0 的圆心重合,且渐近线与该

圆相离,则双曲线离心率的取值范围是( )

A. (1, 2 3 ) 3

B. (1, 2)

C. ( 2 3 , ??) 3

D. (2 ? ?)

10.函数

f

(x)

?

? 1nx ??1? x

(x

?

0)

??1n(?x) (x ?

0)

的图象大致是(



?? 1? x

A.

B.

C.

D.

11.在 ?ABC 中,?BAC 的平分线交 BC 边于 D ,若 AB ? 2, AC ? 1,则 ?ABD 面积的最

大值为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D.1

2

3

4

12.已知球 O 的半径为 1, A, B 是球面上的两点,且 AB ? 3 ,若点 P 是球面上任意一点,

则 PA? PB 的取值范围是( )

A.[? 3 , 1] 22

B.[? 1 , 3] 22

C. [0, 1 ] 2

D.[0, 3] 2

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知 sin ? ? 3 ,且? ? (0, ? ) ,则 tan(? ? ? ) ?



5

2

4

14.若抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 上任意一点到 x 轴距离比到焦点的距离小 1,则实数 a 的值





15.某几何体的三视图如图所示,设该几何体中最长棱所在的直线为 m ,与直线 m 不相交的

其中一条棱所在直线为 n ,则直线 m 与 n 所成的角为



16.已知函数 f (x) ? log2 x, g(x) ? x2 ,则函数 y ? g( f (x)) ? x 零点的个数为



三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn

?

n ?1 an ,求数列{bn}前 n

项和 Tn



18.某市为了引导居民合理用水,居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法,具体如下:

第一阶梯,每户居民月用水量不超过 12 吨,价格为 4 元/吨;第二阶梯,每户居民月用水量

超过 12 吨,超过部分的价格为 8 元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样

获得了 100 户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照?0, 2?,(2, 4], ,(14,16] 分成 8 组,

制成了如图 1 所示的频率分布直方图.

(Ⅰ)求频率分布直方图中字母 a 的值,并求该组的频率; (Ⅱ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的中位数 m 的值(保留两位小数); (Ⅲ)如图 2 是该市居民张某 2016 年 1~6 月份的月用水费 y (元)与月份 x 的散点图,其

拟合的线性回归方程是

?
y

?

2

x

?

33

.若张某

2016



1~7

月份水费总支出为

312

元,试估

计张某 7 月份的用水吨数.

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD ?底面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形,

?ABC ? 45 , AD ? AP ? 2,AB ? DP ? 2 2 ,E 为 CD 的中点,点 F 在线段 PB 上.

(Ⅰ)求证: AD ? PC ;

(Ⅱ)当三棱锥 B ? EFC 的体积等于四棱锥 P ? ABCD 体积的 1 时,求 PF 的值.

6

PB

20.已知直线 y ? x ? m 与抛物线 x2 ? 4 y 相切,且与 x 轴的交点为 M ,点 N (?1, 0) .若动

点 P 与两定点 M , N 所构成三角形的周长为 6.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)设斜率为 1 的直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,当 PN ? MN 时,证明 ?APN ? ?BPN . 2

21.已知函数

f

(x)

?

1 3

x3

? ax2

? bx ?

5 6

(a

?

0,b ? R)



f

(x)

在x

?

x1 和

x

?

x2 处取得极

值,且 x1 ? x2 ? 5 ,曲线 y ? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)证明关于 x 的方程 (k 2 ?1)ex?1 ? kf ?(x) ? 0 至多只有两个实数根(其中 f ?(x) 是 f (x) 的导函数, e 是自然对数的底数). 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做第一个题目记分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号 后的方框涂黑.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线 l 的极 坐标方程为 2? cos(? ? ? ) ? 2 ? 0 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin2 ? ? cos? ,将曲线 C 上
4 所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线 C1 . (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知直线 l 与曲线 C1 交于 A, B 两点,点 P(2, 0) ,求| PA | ? | PB | 的值.
23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| 2x ? a | ? | 2x ?1| , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 3时,求关于 x 的不等式 f (x) ? 6的解集; (Ⅱ)当 x ? R 时, f (x) ? a2 ? a ?13 ,求实数 a 的取值范围.

一、选择题

试卷答案

1-5: ACAAB

6-10:DBCDC

二、填空题

13.7

14. 1

4

三、解答题

15. ? 3

11、12:B、B 16.3

17. 解:(Ⅰ) Sn ? 2an ? 2 ,

当 n ?1时, a1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2 ,

当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? 2 , Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ,

两式相减,得 an ? 2an ? 2an?1 ,所以 an ? 2an?1 .

所以{an}是以首项为 2,公比为 2 的等比数列,

所以 an ? 2n .

(Ⅱ)因为 bn

?

n ?1 2n

?

(n

? 1)( 1 )n 2



Tn

?

2?(1) 2

?

3? ( 1 )2 2

?

4 ? ( 1 )3 2

?

? (n ?1) ? (1)n , 2

1 2 Tn

?

2 ? ( 1 )2 2

?

3? (1)3 2

?

4 ? ( 1 )4 2

?

? (n ?1) ? (1)n?1 , 2

两式相减,即得

1 2

Tn

?

2? (1)1 2

?

(1)2 2

?

( 1 )3 2

?

? (1)n ? (n ?1)(1)n?1 ,

2

2

1 2

Tn

?

( 1 )1 2

? (1)1 2

? (1)2 2

?

( 1 )3 2

?

? (1)n ? (n ?1)(1)n?1 ,

2

2

1 2 Tn

?

1 2

?

1 [1? (1)n ] 22
1? 1

?

(n

? 1)( 1 )n?1 2



2

1 2 Tn

?

1 2

?1?

(1)n 2

?

(n

? 1)( 1 )n?1 2

,所以 Tn

?

3?

(n

?

3)( 1 )n 2



18.解:(Ⅰ)∵ (0.02 ? 0.04 ? 0.08 ? a ? 0.13? 0.08 ? 0.03? 0.02)? 2 ? 1,

∴ a ? 0.10 . 第四组的频率为: 0.1? 2 ? 0.2 .

(Ⅱ)因为 0.02? 2 ? 0.04? 2 ? 0.08? 2 ? 0.10? 2 ? (m ? 8)? 0.13 ? 0.5,

所以 m ? 8 ? 0.5 ? 0.48 ? 8.15 . 0.13

(Ⅲ)∵

x

?

1 6

(1?

2

?

3

?

4

?

5

?

6)

?

7 2

,且

?
y

?

2x

?

33



∴ y ? 2? 7 ? 33 ? 40 . 2

所以张某 7 月份的用水费为 312 ? 6? 40 ? 72 .

设张某 7 月份的用水吨数 x 吨,

∵12?4 ? 48 ? 72

∴12? 4 ? (x ?12)?8 ? 72 , x ?15.

则张某 7 月份的用水吨数 15 吨.

19. 解:(Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,连接 AC ,因为 AB ? 2 2 , BC ? 2 ,

?ABC ? 45 ,

由余弦定理得 AC2 ? 8 ? 4 ? 2 2 2 2 cos 45 ? 4 ,得 AC ? 2 ,

所以 ?ACB ? 90 ,即 BC ? AC ,又 AD / /BC ,

所以 AD ? AC ,

又 AD ? AP ? 2, DP ? 2 2 ,所以 PA ? AD , AP AC ? A,

所以 AD ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC .

(Ⅱ)因为 E 为 CD 的中点,∴ S?BEC

?

1 4

S四边形ABCD



∵侧面 PAD ?底面 ABCD,侧面 PAD 底面 ABCD ? AD ,

PA ? AD ,

∴ PA ?平面 ABCD.

设 F 到平面 ABCD的距离为 h ,

∵ VB ? EFC

? VF ?BEC

?

1 6

VF

?

ABCD

,∴

1 3

?

S?BEC

?h ?

11 6 ? 3 ? SABCD

? PA ,

∴ h ? 2 PA ,所以 PF ? 1 .

3

PB 3

20.解:(Ⅰ)因为直线 y ? x ? m 与抛物线 x2 ? 4 y 相切,所以方程 x2 ? 4(x ? m) 有等根,

则16 ?16m ? 0 ,即 m ? ?1,所以 M (1,0) .

又因为动点 P 与定点 M (1, 0), N(?1, 0) 所构成的三角形周长为 6,且 MN ? 2 ,

所以 PM ? PN ? 4 ? MN ? 2,

根据椭圆的定义,动点 P 在以 M , N 为焦点的椭圆上,且不在 x 轴上,

所以 2a ? 4, 2c ? 2 ,得 a ? 2, c ? 1,则 b ? 3 ,

即曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1( y ? 0) . 43

(Ⅱ)设直线

l

方程

y

?

1 2

x

?

t(t

?

?1)

,联立

? ?? ? ? ??

y ? 1 x?t

2

,得

x2 ? y2 ?1

43

x2

?

tx

?

t2

?

3

?

0



? ? ?3t2 ?12 ? 0 ,所以 ?2 ? t ? 2 ,此时直线 l 与曲线 C 有两个交点 A, B ,

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?t , x1x2 ? t 2 ? 3, ∵ PN ? MN ,不妨取 P(1, 3) ,
2 要证明 ?APN ? ?BPN 恒成立,即证明 KAP ? KBP ? 0 ,

即证

y1 ? x1

3 2

?

y2 ? x2

3 2

?

0 ,也就是要证 ( y1

?

3 2

)(

x2

?1) ? ( y2

?

3 2

)(

x1

?1)

?

0,

即证 x1x2 ? t(x1 ? x2 ) ? 2(x1 ? x2 ) ? 3 ? 2t ? 0 ,由韦达定理所得结论可得此式子显然成立, 所以 ?APN ? ?BPN 成立. 21.解:(Ⅰ) f ?(x) ? x2 ? 2ax ? b ,因为 f (x) 在 x ? x1 和 x ? x2 处取得极值,

所以 x ? x1 和 x ? x2 是方程 x2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,则 x1 ? x2 ? ?2a , x1x2 ? b ,

又 x1 ? x2 ? 5 ,则 (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 5 ,所以 4a2 ? 4b ? 5 . 由已知曲线 y ? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,所以可得 f ?(1) ?1 ,



2a

?

b

?1

?

1,由此可得

?4a2 ?

?

4b

?

5

,解得

??a ?

?

1 2



?2a ? b ? 0

??b ? ?1

所以 f (x) ? 1 x3 ? 1 x2 ? x ? 5 .

32

6

(Ⅱ)对于 (k 2 ?1)ex?1 ? kf ?(x) ? 0 ,

(1)当 k ? 0 时,得 ex?1 ? 0 ,方程无实数根;

(2)当 k

?

0 时,得 k

?

1 k

?

x2

? x ?1 ,令 e x ?1

g(x)

?

x2

? x ?1, e x ?1

g?(x)

?

?e

x2

?x ex

?

2

?

?e

(x

? 1)( x ex

?

2)

当 x ?(??, ?1) (2, ??)时, g?(x) ? 0 ;

当 x ? ?1 或 2 时, g?(x) ? 0 ;当 x ? (?1, 2) 时, g?(x) ? 0 .

∴ g(x) 的单调递减区间是 (??, ?1) 和 (2, ??) ,单调递增区间是 (?1, 2) .

函数 g(x) 在 x ? ?1 和 x ? 2 处分别取得极小值和极大值.

(g(x))极小=g(?1)

?

?e2

?

0



( g ( x))极大

=g(2)=

5 e

?

0



对于

g(x)

?

x2

? ex

x
?1

?

1

,由于

e

x?1

?

0

恒成立.

且 y ? x2 ? x ?1 是与 x 轴有两个交点,开口向上的抛物线,

所以曲线 y ? g(x) 与 x 轴有且只有两个交点,从而 g(x) 无最大值,

(g(x))min ? (g(x))极小 ? ?e2 .

若 k ? 0 时 ? k ? 1 ? ?2 ,直线 y ? k ? 1 与曲线 y ? g(x) 至多有两个交点;

k

k



k

?

0

?

k

?

1 k

?

2

?

5 e

?

( g ( x))极大

,直线

y

?

k

?

1 k

与曲线

y

?

g(x)

只有一个交点;

综上所述,无论 k 取何实数,方程 (k 2 ?1)ex?1 ? kf ?(x) ? 0 至多只有两实数根.

22.解:(Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y2 ? x ,
所以曲线 C1 的直角坐标方程为 y2 ? 2(x ?1) . (Ⅱ)由直线 l 的极坐标方程 2? cos(? ? ? ) ? 2 ? 0 ,得 ? cos? ? ? sin? ? 2 ? 0 ,
4 所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,又点 P(2, 0) 在直线 l 上,

?

所以直线

l

的参数方程为:

?? ?

x

?

2

?

2t 2 ( t 为参数),

? ??

y

?

2t 2

代入 C1 的直角坐标方程得 t2 ? 2 2t ? 4 ? 0 ,

设 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ,

则 ? ? 8 ?16 ? 0 , t1 ? t2 ? ?2 2 , t1t2 ? ?4 ,

所以| PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 | ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 8 ?16 ? 2 6 .

23.解:(Ⅰ)当 a ? 3时,不等式 f (x) ? 6为| 2x ? 3 | ? | 2x ?1|? 6 ,

若 x ? 1 时,不等式可化为 ?(2x ? 3) ? (2x ?1) ? ?4x ? 4 ? 6 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,

2

22

若 1 ? x ? 3 时,不等式可化为 ?(2x ? 3) ? (2x ?1) ? 2 ? 6 ,解得 1 ? x ? 3 ,

22

22

若 x ? 3 时,不等式可化为 (2x ? 3) ? (2x ?1) ? 4x ? 4 ? 6 ,解得 3 ? x ? 5 ,

2

22

综上所述,关于

x

的不等式

f

(x)

?

6

的解集为

? ?

x

?

|

?

1 2

?

x

?

5 2

? ? ?



(Ⅱ)当 x ? R 时, f (x) ?| 2x ? a | ?2x ?1|? | 2x ? a ?1? 2x |?|1? a | ,

所以当 x ? R 时, f (x) ? a2 ? a ?13 等价于|1? a |? a2 ? a ?13 ,

当 a ?1时,等价于1? a ? a2 ? a ?13,解得 ? 14 ? a ? 1;

当 a ?1时,等价于 a ?1 ? a2 ? a ?13,解得1 ? a ? 1? 13 ,

所以 a 的取值范围为[? 14,1? 13].


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