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瞬时变化率与导数_图文

郭金梅

教学目标:
1.了解瞬时 速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的 思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数

教学重点:
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念

教学难点:
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导 数的内涵通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点。

复习回顾
1.函数的平均变化率 ? y ? f ( x0 ? ? x) ? f ( x0 )
?x ?x

2.函数平均变化率的几何意义
过曲线 y ? f ( x) 上的点 ( x0 , f ( x0 )和( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) 割线的斜率。

导数与微分
导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出. 微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz

描述物质运动的工具(从微观上研究函数)

数学史话 牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文
学家和自然科学家. 他在数学上的卓越

贡献是创立了微积分. 1665年他提出正
流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他

还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .

莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为
微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志

上发表的几篇有关微积分学的论文中,
有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 .

他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计
数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .

例 : 设在10米跳台上,运动员跳离跳台时 垂直向上的速度为6.5m / s 运动员在时刻t距离水面的高度

1 2 h(t) 10 ? gt ? 6.5t ? 2
h(t) 10 ? 4.9t ? 6.5t ?
2

65 计算运动员在0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

1) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什 么问题吗? 2) 既然不能描述运动员的运动状态,那我们应该用 什么来描述呢? 3) 如何求运动员的瞬时速度?

如我们要计算2秒时的瞬时速度 先引入一个变量Δt,计算从2s到(2+△t)s这段 时间内平均速度

?h v? ?t h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2

当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时, v ? ?13.149 当△t =0.001时, v ? ?13.1049

当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, v △t = – 0.000001,v

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

? ?13.099951

△t = 0.00001,

v ? ?13.100049

……

? ?13.0999951 △t =0.000001,v ? ?13.1000049
……

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于
2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1.

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– v 13.1”.

2s时刻 的瞬时速度

思考1:运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?0 ?t 2 ? 4.9(?t ) ? (9.8t0 ? 6.5)?t ? lim ?t ?0 ?t ? lim (?4.9?t ? 9.8t0 ? 6.5)
?t ?0

? ?9.8t0 ? 6.5

t0时刻 的瞬时速度

思考2:函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
f (x0 ? Δx ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

f (x0 ? Δx ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

y? | x ? x0 , 即 f ?( x ) ? lim f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) . 或 0 ?x ? 0 ?x

称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

注意
1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数f ’(x0),这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数,我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数,简称为导数, ' ' ' 记作 f ( x) 或 y (需指明自变量时记作 y x )

思考:求函数y=f(x) 在点 x0处导数的方法是什么?
(1)求函数改变量 △y = f(x0 + △x)-f(x0)

?y f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ? (2)求平均变化率 ?x ?x f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y lim ? lim (3)求极限 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x

y ? x 2 在 x ? 1 处的导数 例 1:求函数
解:?y ? f ? 1 ? ?x ? ? f ? 1? ? ?x ? 2?x ,
2

?y ?x ? 2 ?x ? ? ?x ? 2, ?x ?x
2

f ' ? 1? ? lim ? ?x ? 2 ? ? 2.
?x ? 0

变式1:求函数 y ? x 在 x ? t 处的导数
2

变式2:求函数 y ? x 的导函数
2

例2.火箭竖直向上发射,熄火时向上的速度达到 100m/s,试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0 1 2 解:火箭的运动方程为 h(t ) ? 100t ? gt 2 设t0时刻向上速度变为0,平均变化率为
1 1 2 2 [100(t0 ? ?t ) ? ? g(t0 ? ?t ) ] ? (100t0 ? gt0 ) 2 2 ?t 1 ? 100 ? gt0 ? g?t 2 1 当 ?t ? 0 时 h?(t ) ? lim(100 ? gt0 ? g?t ) ? 100 ? gt0 ? 0 2 ?t ?0
100 ? t0 ? ? 10.2 g

∴熄火后10.2s火箭向上的速度为0

小结:
1求物体运动的瞬时速度: (1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? lim . (3)求极限 lim ?t ?t
?x ?0 ?x ?0

?s v? ; ?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2)求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ?0

?y ?x

?x

作业:
10页A组:1

B组:2

1.已知函数 f(x)=2x+5,当 x 从 2 变化到 4 时,函数的平均变化率是( ) A .2 B. 4 C. -4 D. -2
s ? 5 ? 3t 2 ,(1)则在一 2. 一质点运动的方程为 段时间 ?1,1 ? ?t ? 内相应的平均速度为( )

B. ?3?t ? 6 D. ?3?t ? 6 m / s. (2)它在 t ? 1s 时的瞬时速度为

A. 3?t ? 6 C. 3?t ? 6

1 2 s 3. 物体作自由落体运动,运动方程为: ? gt ,其中位移单 2 2

位是m,时间单位是s, g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.


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