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2.2线面、面面平行习题答案


教学,不是老师的"教" ,而是学生的"学"

线面,面 面平行 习题课 答案
三,例题精讲 题型 1,线面平行判定定理,线面平行性质定理
线 线平 行 线面 平行 例 1, (线线平行 →线面平行→线线平行) 解:已知直线 a ‖平面 α ,直线 a ‖平面 β ,平面 α I 平面 β = b , 求证 a / / b . 证法一: 经过 a 作两个平面 γ 和 δ ,与平面 α 和 β 分别相交于直线 c 和 d ,

aγ a / /c α ∩ γ = c 同理:a / / d
c / /d d β c / /β c β c α α ∩ β = b c / /b a / /b a / /c

a / /α

b c a α γ d δ β

证法二:经过a作一平面π,使得平面π∩面 α =k,面π∩面 β =l.

a π a// k π ∩ α = k 同理:a// l
a// l // k
又∵三个平面α, β ,π两两相交,交线分别为k,l,b且k‖l, ∴k‖l‖b,则a‖b. 证法三:在b上任取一点A,过A和直线a作平面 γ 和平面α相交于l1,和平面 β 相 交于直线l2.

a / /α

aγ a / / l1 γ ∩ α = l1 同理:a// l2 a// l1 // l2 ∵过一点只能作一条直线与另一直线平行,
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a / /α

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∴l1与l2重合. 又∵l1 面α,l2 面 β , ∴l1与l2重合于b. ∴a‖b. 点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若 点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,b α,且a∩b= ,则a‖ :(1) (2)若 =a,β∩γ=b,γ∩α=c且 =b,γ∩ (3)若 b,b‖c,则 b;(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a‖b‖c;(3)若a‖b,b‖c,则a‖c; =b,则 (4)若 (4)若a‖α;a β,α∩β=b,则a‖b.
D1 C1

例 2, 线线平行→线面平行→线线平行→线面平行) ( 证法一:连结 AC,A1C1 , 长方体中 A1 A/ /C1C A1C1 / / AC
A1 B1

AC 面A1C1 A1C1 面A1C1
A

P M D N C

AC / / 面A1C1 B AC 面ACP A1 B I PA = M 面ACP I 面A1C1 B = MN PC I BC1 = N

B

AC / / MN MN 面ABCD MN / / 面ABCD AC 面ABCD
证法二:利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质. 利
∽ C C1 N P N = P B PBN NC C C1 C C 1 = A A1 PM PB P B M ∽ A A1 M = MA A A1
PM PN = MA NC AC / / MN
D1 C1

A1

B1

P M D N C

MN 面ABCD MN / / 面ABCD AC 面ABCD

A

B

点拨:证明直线和平面平行的方法有: 利用定义采用反证法; 点拨:证明直线和平面平行的方法有:①利用定义采用反证法;②判定定 利用线线平行,证线面平行; 利用面面平行,证线面平行. 理:利用线线平行,证线面平行;③利用面面平行,证线面平行.其中主要方法 在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 是②,③两法,在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 例3. (线线平行→线面平行→面面平行)
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证明:(1)分别连结B1D1,ED,FB,如答图9-3-3, E,F分别是 D1C1和B1C1的中点 EF‖ B1D1. 2 1 正方体性质得B1D1 //BD EF‖ BD.
2 1

唯一平面α, EF,BD α ∴E,F,B,D共面. (2)连结A1C1交MN于P点,交EF于点Q,连结AC交BD于点O,分别连结PA,QO.

M,N为A1B1,A1D1的中点 MN//EF EF 面EFBD MN 面EFBD. MN 面EFBD PQ‖AO 四边形PAOQ为平行四边形 PA / / OQ OQ 平面EFBD PA//面EFBD. PA 平面EFBD PA ∩ MN = P PA,MN 面AMN

平面AMN 平面EFBD.
例 4. (线线平行→线面平行→面面平行→线面平行) 证法一:作 FH‖AD 交 AB 于 H,连结 HE.

E B A H BF BH FH / / AD = BD BA BF=B1 E,BD=AB1 B1 E BH = EH / / B1 B AB1 BA B1 B 平面BB1C1C EH / / 平面BB1C1C EH 平面BB1C1C EH ∩ FH=H EH,FH 平面FHE

AD / / BC FH / / BC FH / / AD BC 面BB1C1C FH / / 平面BB1C1C FH 面BB1C1C

B1

C1
D1

A1

F
D

C

平面FHE / / 平面BB1C1C EF / / 平面BB1C1C EF 平面FHE
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证法二:(线线平行→线面平行) ( 连 AF 延长交 BC 于 M,连结 B1M. AD / / BC AFD∽ MFB
BD=B1 A DF=AE B1 E=BF

B1

C1
D1

AF DF = FM BF

A1
E
A
B

F
D

C

M



AF AE = FM B1 E

EF / / B1M

B1M 平面BB1C1C EF / / 平面BB1C1C EF 平面BB1C1C

说明: 说明:证法一证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面 内.证法二则是用了证线面平行,先证线线平行. 例 5. (面面平行→线线平行) 证明: 过A作直线AH//DF, 连结AD,GE,HF(如图).
AH / / m 平面π , AH , m π AD, GE , HF π l ∩ AH = A 平面π ', l , AH π ' GB, HC π ' π ∩ α = AD, π ∩ β = GE , π ∩ γ = HF π '∩ β = GB, π '∩ γ = HC α / / β / /γ AB AG BG / / CH BC = GH AB DE = BC EF AD / /GE / / HF AG = DE , GH EF

A


G E β H

B
C

F

γ

l

m

例 6. 线线平行→面面平行) ( 证明: 根据每相邻的两边互相垂直, 边长均为 a, 且 AA1 / / CC1 ,将图形补成正方体,如图.则,
B

A

C
A1

只需在正方体中,证明 面ABC / / 面A1 B1C1 即可. 连接 AC, A1C1 .
正方体 AB / / B1C1 且BC / / A1 B1 AB ∩ BC = B, B1C1 ∩ A1 B1 = B1 AB, BC 面A B C , A1 B1 , B1C 面A1 B1C 面ABC / / 面A1 B1C1
-4-

B1

C1

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四,综合练习 1.证明: 证法一:(线线平行→线面平行(构造平行四边形)) 线 如图(1),作PM‖AB交BE于M,作QN‖AB交BC于N,连接MN.
面ABCD ∩ 面ABEF = AB AE = DB AP = DQ PE = QB PM QN AB / /QN = AB DC PM PE PM//AB = AB AE // PM = QN 四边形PMNQ为平行四边形 PQ / /MN MN 面BCE PQ / / 面BCE PQ 面BCE

( ) 证法二: 线线平行→线面平行 构造三角形, 用平行线段比, 角形相似比) ( 利 三 如图 (2),连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K,连结EK. 面ABCD ∩ 面ABEF = AB AE = DB AP = DQ AQ AP = PQ / /EK QK PE EK 面BCE PQ / / 面BCE PQ 面BCE
AD//BC

DQ AQ = QB QK

证法三:(面面平行→线面平行) 如图(1),过PM‖BE交AB于M,连接MQ.

A
M
F

AP AM PM / /BE = AE AB 面ABCD ∩ 面ABEF = AB AE = DB AP = DQ

D

Q

P
B

C

E

( 3)

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教学,不是老师的"教" ,而是学生的"学"



DQ AM = MQ / / AD DB AB MQ / / BC AD / / BC PM / /BE PM ∩ MQ = M , BE ∩ BC = B PM,MQ 面PM Q , ,BC 面B C E BE 面PM Q / / 面B C E PQ / / 面BCE PM 面PM Q

G

2.证明: GD ∩ GH = G AC // BD ∠EAC = ∠FBD HE ∩ HA = H AE // BF
AC GA 9 = = BD GB 21
E
α

A

C

F

AC‖BD
BF

AE‖

β

D B

BF HB 16 = = AE HA 28 1 AC AE sin A 3 7 3 2 = = = 1 7 4 4 BF BD sin B 2

H

S AEC S BFD

∴ S BFD = 96

3.证明:如答图9-3-2,连结AC交BD于点O. 连结OQ ABCD是平行四边形 AO = OC PQ = PA
OQ是 APC的中位线 PC / / OQ PC 面BDQ,OQ 面BDQ PC / / 平面BDQ. 4.证明:连 BF 交 CD 于 H,连 PH CF HF = AB//CD ABF ∽ CFH FA FB PE CF = EB FA PE HF = EF / / PH EB FB EF / / PH EF 面PCD, PH 面PCD
P E A F B D H C

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