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甘肃省天水一中2013届高三上学期第一次考试文科数学试题


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天水一中 2010 级 2012~2013 学年第一学期第一次考试
数学试题(文科) 命题:韩云亮 审核:张硕光 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分)
2 1.已知集合 M ? ?x lg x ? 0 ? , N ? ? x 2
?1

? 2

x ?1

? 2 , x ? Z ,则 M ? N ? (
2

?



1? A. ? ? 1,

B. ? ? 1?

C. ? 0 ?

0 D. ? ? 1,?

2.“ | x ? 1 |? 2 成立”是“ x ( x ? 3) ? 0 成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.即不充分又不必要条件 3.函数 y ?
3 4

D.充要条件

1 lo g 0 .5 ( 4 x ? 3)

的定义域为(


3 4

A. (

,1)

B. (

3 4

,+∞)

C. (1,+∞)

D.(

,1)∪(1,+∞)

4.已知函数 f ( x ) ? ?

? 3 x ?1 , x ? 0 , ? log
2

x, x ? 0.

若 f ? x 0 ? ? 3 ,则 x 0 的取值范围是(



A. x 0 ? 8

B. x 0 ? 0 或 x 0 ? 8

C. 0 ? x 0 ? 8

D. x 0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8

5.定义在 - ? , 0 )? 0 , ? ) 上的奇函数 f ( x ) 在 0 , ? ) 上为增函数,当 x ? 0 时, f ( x ) 的图 ( ( + ( + 像如图所示,则不等式 x ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? 0 的解集是( A. ( ? ? , ? 3) ? (0, 3) B. ( ? ? , ? 3) ? (3, ? ? )
2







C. ( ? 3, 0 ) ? (3, ? ? ) D. ( ? 3, 0 ) ? (0, 3) ) D. ?? 7 , ?? ?

6.函数?( x ? 3 )= x +4x-5,则函数?(x)(x≥0)的值域是( A. ? ?
? ? 41 ? , ?? ? 4 ?
2

B. ?? 9 , ?? ?

C. ? ?
?

?

33

? , ?? ? 4 ?

7. 函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? 3 在区间(–∞,2)上为减函数,则有( A. a ? ( ?? ,1] C. a ? [1, 2 ] B. a ? [ 2 , ?? ) D. a ? ( ?? ,1] ? [ 2 , ?? )



8. 某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车, 利润 (单位: 万元) 分别为 L1=5.06x-0.15 x 2 和 L2=2 x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利 润为( ) A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ,且在[-1,0]上单调递增,设 a ? f ( 3 ) ,
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b ? f ( 2 ) , c ? f ( 2 ) ,则 a , b , c 大小关系是(

) D. c ? b ? a





A. a ? b ? c
? 1 2

B. a ? c ? b
1

C. b ? c ? a

10.若曲线 y ? x A.64

? ? ? 在点 ? a , a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

B.32
x ?x

C.16
且 0 a ?

D.8

11. 若 函 数 f ( x ) ? ka ? a

a ( ?

1在 ( ? ? , ? ? ) 上 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 , 则 )

g ( x ) ? lo g a ( x ? k ) 的图像是(



12.函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a ? 1 ( a ? 0 ) 的零点个数是(
2 2



A.1 B.2 C.3 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13.若集合 A ? ? x lo g 1 x ?
? ?
2

D.4

? ?

1? ? ? ,则 C R A = 2? ?

14.设函数 f ( x ) ? x co s x ? 1, 若 f ( a ) ? 1 0, 则 f ( ? a ) ?
3

15.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 f

?x?

,若 f ? 1 ? ? ? 5,

则f

? f ? 5 ? ? ? _____.
.

2 16.若方程 a x ? 2 x ? 3 ? 0 在(0, 2)内恰有一解, 则实数 a 的取值范围为

三、解答题(本题满分 70 分, 解答应写出必要的文字说明,推演过程及演算步骤) 17. (10 分)定义在 ( ? 1,1) 上的函数 f ( x ) ? ? 5 x ? sin x ,如果 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 ,求
2

实数 a 的取值范围. 1-2m 18. (12 分)已知命题 p:f(x)= 在区间(0,+∞)上是减函数;命题 q:不等式(x-1)2>m x 的解集为 R.若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. 19. 12 分)已知二次函数 f(x)满足条件: f ( 0 ) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x . (

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(1)求 f ( x ) ; (2)讨论 f (| x |) ? m
( m ? R ) 的解的个数.

20. (12 分)设定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意的 x , y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) (1) 求证 f ( x ) 是奇函数; (2) 如果 x ? 0, f ( x ) ? 0 ,求证在 R 上是减函数. 21.(12 分)已知函数 f ( x ) ? log (1)判断函数 f ( x ) ? log
x ,其中 a ? { a | 20 ? 12 a ? a } .
2

a

a

x 的增减性;

(2)若命题 p : | f ( x ) |? 1 ? f ( 2 x ) 为真命题,求实数 x 的取值范围. 22.(12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
a x ? b ? x ? 0 ? ,其中 a , b ? R .

(Ⅰ) 若曲线 y ? f ? x ? 在点 P ? 2 , f ? 2 ?? 处的切线方程为 y ? 3 x ? 1 , 求函数 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性.

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第一次检测考试答案
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数学(文科) 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1.B2.B3.A4.A5.D 6.B7.B8.B9.D10.A 11.D12.B 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13. ( ? ? , 0 ] ? ? ?
? ? , ?? ? ? ? 2 ? 2

14. -8

15. ?

1 5

16. a ?

1 4

三、解答题(本题满分 70 分) 17. (10)因为 f ( x ) 是奇函数,又 f ? ( x ) ? ? 5 ? cos x ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是减函数
所以 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 ? f (1 ? a ) ? f ( a
2 2

.

? 1)

? ?1?1? a ?1 ? 2 ? ?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? ? 1? a ? a2 ?1 ?

2 .

1-2m 1 1 18. (12)0≤m< [解析] 由 f(x)= 在区间(0,+∞)上是减函数,得 1-2m>0,即 m< , 2 x 2 由不等式(x-1)2>m 的解集为 R,得 m<0.要保证命题“p∨q”为真,命题“p 且 q”为假,则 1 需要两个命题中只有一个正确,而另一个不正确,故 0≤m< . 2 19. (12)解: (1)设二次函数 f(x)= a x ? b x ? 1, f ( x ? 1) ? a x ? ( 2 a ? b ) x ? a ? b ? 1 ,
2 2

f (x) ? 2 x

? a x ? (b ? 2 ) x ? 1
2


x) ?


x?

f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 2 x





a ?1

,b ?

?1 f

2

,

x。 ? (

1

(2) 因为函数 y ?

作出其图像, 易知 m ? f (| x |) 是偶函数,

3 4 3 4

时, 解的个数为 0;

3 4

? m ?1

时,解的个数为 4, m ? 1 时,解的个数为 3; m ? 1 或 m ? 20.(12) (1)证明

时,解的个数为 2.

函数定义域为 R,

∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. ∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. (2)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2. f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), ∵x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),∴函数 f(x)为减函数
2 21. (12)解: (1)∵ a ? { a | 20 ? 12 a ? a } ,∴ a ? 12 a ? 20 ? 0 ,

2

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即 2 ? a ? 10 ,∴函数 y ? log

a

x 是增函数;

(2) | f ( x ) |? 1 ? f ( 2 x ) 即 | log 当 0 ? x ? 1 , log ∴ log

a

x | ? log

a

2

x ? 1 ,必有 x ? 0 ,

a

x ? 0 ,不等式化为 ? log

a

x ? log

a

2

x ?1,

a

2 ? 1 ,这显然成立,此时 0 ? x ? 1 ;

当 x ? 1 时, log ∴ log

a

x ? 0 ,不等式化为 log
a 2

a

x ? log

a

2

x ?1,

a

2 x ? 1 ,故 x ?

,此时 1 ? x ?

a 2


a 2 }.

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x | 0 ? x ? 22. (12)解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 1 ?
a x
2

,由导数的几何意义得 f ? ( 2 ) ? 3 ,于是 a ? ? 8 .

由切点 P ( 2, f ( 2 )) 在直线 y ? 3 x ? 1 上可得 ? 2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? (Ⅱ) f ? ( x ) ? 1 ?
a x
2

8 x

?9.



当 a ? 0 时,显然 f ? ( x ) ? 0 ( x ? 0 ) .这时 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) , (0, ? ? ) 内是增函数. 当 a ? 0 时,令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ? ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(?? , ?

a)

?

a

(?

a , 0)

(0,

a)

a

( a , ?? )

+ ↗

0 极大值

- ↘

- ↘

0 极小值

+ ↗

所以 f ( x ) 在 ( ? ? , ? a ) , ( a , ? ? ) 内是增函数,在 ( ? a , 0 ) , (0, a )内是减函数.

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