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2.2.2


2.2

圆的一般方程

1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程

的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径,掌握方
程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.

2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方
程,能用待定系数法求圆的方程.

1.圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是什么?

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

2.直线方程有多种形式,圆的方程是否还可以表示成其他

形式?这是一个需要探讨的问题.

将圆的标准方程 ( x - a) + ( y - b) = r 展开得

2

2

2

x2 + y 2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r 2 = 0
2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立?

以下两个方程都表示圆吗?

(1) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0
【解析】配方得 ( x ? 1)
2 2
2

? ( y ? 2)2 ? 4

以(1,-2)为圆心,以2为半径的圆

(2) x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0
【解析】配方得
不是圆

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? ?1
不一定是圆

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

分析方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F ) + (y + ) = (*) 配方可得 ( x + 2 2 4 D E 2 2 , - ) 为圆心, (1)当 D + E - 4F > 0 时,方程 (*) 表示以 (2 2 1 D 2 + E 2 - 4 F 为半径的圆. 2 2 2 ( 2 ) 当 D + E - 4F = 0 时 , 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
D E x= ,y= ,所以方程 (*) 表示一个点. 2 2 2 2 (3) 当 D + E - 4F < 0 时, 方程 (*) 没有实数解, 所以方程 (*) 不
表示任何图形.

2

2

圆的一般方程 方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0)
2 2

叫作圆的一般方程.

D E 1 D2 ? E 2 ? 4F 圆心为 (? , ? ) ,半径为 2 2 2

应用举例
例1:求过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+ 6y-3=0相同的圆的方程.

解:将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16.
圆心C的坐标(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为

r ?| CM |? (2 ? 1) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 5
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

练习:
1.求下列各圆的半径和圆心坐标: (1)x2+y2-6x=0 圆心为(3,0),半径为3 (2) x2+y2+2by=0(b≠ 0) 圆心为(0,-b),半径为 b

应用举例
例2.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这 个圆的半径和圆心坐标.

解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将O, M1, M2 的坐标代入圆的方程,得: 方法:待定系数法
F ? 0, ? ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0, ?

和配方法 解得:F=0,D=-8,E=6.

所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,
1 2 2 r ? D ? E ? 4F ? 5 半径为 2

圆心坐标为(4,-3).

1.判断下列方程是不是表示圆

(1) x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9
以(2,3)为圆心,以3为半径的圆

(2) x ? y ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 0 x ? 2, y ? 3
2 2

表示点(2,3)

(3) x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 15 ? 0

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? ?2 不表示任何图形

2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3) 为圆心, 4为半径的圆.求D、E、F的值.

答案:D=4,E=-6,F=-3
3.求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆的方程.

待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

(1)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0时, 表示圆,
D E 圆心(- , ? ) 2 2
2 2

r?

D2 ? E 2 ? 4F 2
D E ( 时,表示点 2 , ? 2 )

(2)当 D ? E ? 4F ? 0

(3)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 不表示任何图形

不是什么人都可以交往的,慎交朋友。笑看
人生潮起潮落,守住自己的心。


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