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经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式


几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 (1)均值不等式 设 a1 , a2 , an ? 0 是实数 n 1 1 1 ? + ? a1 a2 an 其中 ai ? 0, i ? 1, 2, n .当且仅当 a1 ? a2 ? (2)柯西不等式 设 a1 , a2 , an , b1 , b2 , ? n a1a2 an ? a1 ? a2 ? n ? an ? 2 a12 ? a2 ? n 2 ? an ? an 时,等号成立. ?a bn 是实数,则 2 1 2 ? a2 ? 2 ? an ??b12 ? b22 ? 2 ? bn ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2 当且仅当 bi ? 0(i ? 1, 2, (3)排序不等式 设 a1 ? a2 ? 则 , n) 或存在实数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1,2, , n) 时,等号成立. ? an , b1 ? b2 ? ? bn 为两个数组, c1,c2, ,cn 是 b1,b2 , ,bn 的任一排列, ? anb1 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? a1c1 ? a2c2 ? ? ancn ? a1bn ? a2bn?1 ? 当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? bn 时,等号成立. (4)切比晓夫不等式 对于两个数组: a1 ? a2 ? ? an , b1 ? b2 ? ? bn ,有 ? bn ? a1bn ? a2bn ?1 ? ?? n ? ? anb1 a1b1 ? a2b2 ? n 当且仅当 a1 ? a2 ? ? a ? a ? ? an ?? b1 ? b2 ? ?? 1 2 ?? n n ? ?? ? an 或 b1 ? b2 ? ? bn 时,等号成立. ? anbn 二 相关证明 (1)用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明:由 a1b1 ? a2b2 ? n ? n ? a1b1 ? a2b2 ? 而 ? anbn ? a ? a ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? bn ? ?? 1 2 ?? ? n n ? ?? ? ? anbn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ??b1 ? b2 ? ? bn ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? anbn ? anb1 ? anb2 ? anb3 ? anbn ? 2 ? bn ? ? a1 ? a2 ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? a1b2 ? a2b3 ? ? a1b3 ? a2b4 ? ? a1b4 ? a2b5 ? ? ? a1bn ?1 ? a2bn ? ? a1bn ? a2b1 ? ? anbn ?1 根据“顺序和 ? 乱序和” (在 n ? 1 个部分同时使用) ,可得 n ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ??b1 ? b2 ? 即得 ? bn ? 经典不等式及其证明 第1页 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? a1 ? a2 ? ? an ?? b1 ? b2 ? ?? ?? n n n ? ?? 同理,根据“乱序和 ? 反序和” ,可得 ? a1 ? a2 ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? bn ? a1bn ? a2bn ?1 ? ? ?? ?? n n n ? ?? ? 综合即证 (2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式” :

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