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经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 (1)均值不等式 设 a1 , a2 , an ? 0 是实数 n 1 1 1 ? + ? a1 a2 an 其中 ai ? 0, i ? 1, 2, n .当且仅当 a1 ? a2 ? (2)柯西不等式 设 a1 , a2 , an , b1 , b2 , ? n a1a2 an ? a1 ? a2 ? n ? an ? 2 a12 ? a2 ? n 2 ? an ? an 时,等号成立. ?a bn 是实数,则 2 1 2 ? a2 ? 2 ? an ??b12 ? b22 ? 2 ? bn ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2 当且仅当 bi ? 0(i ? 1, 2, (3)排序不等式 设 a1 ? a2 ? 则 , n) 或存在实数 k ,使得 ai ? kbi (i ? 1,2, , n) 时,等号成立. ? an , b1 ? b2 ? ? bn 为两个数组, c1,c2, ,cn 是 b1,b2 , ,bn 的任一排列, ? anb1 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? a1c1 ? a2c2 ? ? ancn ? a1bn ? a2bn?1 ? 当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? bn 时,等号成立. (4)切比晓夫不等式 对于两个数组: a1 ? a2 ? ? an , b1 ? b2 ? ? bn ,有 ? bn ? a1bn ? a2bn ?1 ? ?? n ? ? anb1 a1b1 ? a2b2 ? n 当且仅当 a1 ? a2 ? ? a ? a ? ? an ?? b1 ? b2 ? ?? 1 2 ?? n n ? ?? ? an 或 b1 ? b2 ? ? bn 时,等号成立. ? anbn 二 相关证明 (1)用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明:由 a1b1 ? a2b2 ? n ? n ? a1b1 ? a2b2 ? 而 ? anbn ? a ? a ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? bn ? ?? 1 2 ?? ? n n ? ?? ? ? anbn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ??b1 ? b2 ? ? bn ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? anbn ? anb1 ? anb2 ? anb3 ? anbn ? 2 ? bn ? ? a1 ? a2 ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? a1b2 ? a2b3 ? ? a1b3 ? a2b4 ? ? a1b4 ? a2b5 ? ? ? a1bn ?1 ? a2bn ? ? a1bn ? a2b1 ? ? anbn ?1 根据“顺序和 ? 乱序和” (在 n ? 1 个部分同时使用) ,可得 n ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ??b1 ? b2 ? 即得 ? bn ? 经典不等式及其证明 第1页 a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? a1 ? a2 ? ? an ?? b1 ? b2 ? ?? ?? n n n ? ?? 同理,根据“乱序和 ? 反序和” ,可得 ? a1 ? a2 ? ? an ?? b1 ? b2 ? ? bn ? a1bn ? a2bn ?1 ? ? ?? ?? n n n ? ?? ? 综合即证 (2)用排序不等式证明“几何—算数平均不等式” : n a1a2 证明:构造两个数列: ? bn ? ? ? ? anb1 ? an an ? a1 ? a2 ? n aa a a1 aa , x2 ? 1 2 2 , xn ? 1 2 n n ? 1 c c c 2 1 c 1 c 1 cn y1 ? ? , y2 ? ? , yn ? ? ?1 x1 a1 x2 a1a2 xn a1a2 an x1 ? 其中 c ? n a1a2 an .因为两个数列中相应项互为倒数,故无论大小如何,乘积的和: ............................ x1 y1 ? x2 y2 ? xn yn xn yn 总是两数组的反序和 .于是由“乱序和 ? 反序和” ,总有 ......... x1 yn ? x2 y1 ? 于是 xn yn?1 ? x1 y1 ? x2 y2 ? ? an ? 1?1? c ?1 a1 a2 ? ? c c 即 a1 ? a2 ? c 即证 ? an ?n a1 ? a2 ? n ? an ? c ? n a1a2 an (3)用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式” : 证明:不妨设 a1 ? a2 ? a1 ? a2 ? n ? an ? 2 a12 ? a2 ? n 2 ? an ? an , 2 ? an a1 ? a2 ? n ? an ? 2 a12 ? a2 ? n ?a ?a ? ?? 1 2 n ? ? an ?? a1 ? a2 ? ?? n ?? n 1 1 ? + a1 a2 ? 1 an 2 ? an ? a12 ? a2 ? ? ? n ? 2 ? an . 由切比晓夫不等式,右边不等式显然成立.即证. (4)用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式” ? a1 ? a2 ? n ? an 证明: n 1 1 ? + a1 a2 ? 1 an ? a1 ? a2 ? n ? an ?a ?a ? ?? 1 2 n ? ? 1 1 ? + ? an ? ? a1 a2 ?? n ?? ? ? ? 1 ? 1 1 a1 ? ? a2 ? ? ? an a1 a2 ? ?1? n ? ? ? 第2页 ? an ? 1 an . 经典不等式及其证明 不妨设

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