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函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性: (奇偶性是一种特殊的对称性) 1、奇偶性:(1) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 f ( x) ? f (? x) ? 0 (2)偶函数关于 y(即 x=0)轴对称,偶函数有关系式 f (? x) ? f ( x) 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 (1)函数的轴对称: 函数 y ? f ( x) 关于 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) f (a ? x) ? f (a ? x) 也可以写成 f ( x) ? f (2a ? x) 或 f (? x) ? f (2a ? x) 若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) ,则函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 称 (a ? x) ? (b ? x) a ? b ? 对 2 2 证明:设点 ( x1 , y1 ) 在 y ? f ( x) 上,通过 f ( x) ? f (2a ? x) 可知, y1 ? f ( x1 ) ? f (2a ? x1 ) , 即点 (2a ? x1 , y1 )也在y ? f ( x) 上,而点 ( x1 , y1 ) 与点 (2a ? x1 , y1 ) 关于 x=a 对称。 得证。 说明:关于 x ? a 对称要求横坐标之和为 2a ,纵坐标相等。 ∵ (a ? x1 , y1 )与(a ? x1 , y1 ) 关 于 x ? a 对 称 , ∴ 函 数 y ? f ( x) 关 于 x ? a 对 称 ? f ( a ? x) ? f ( a ? x) ∵ ( x1 , y1 )与(2a ? x1 , y1 ) 关 于 x ? a 对 称 , ∴ 函 数 y ? f ( x) 关 于 x ? a 对 称 ? f ( x) ? f (2a ? x) ∵ (? x1, y1 )与(2a ? x1, y1 ) 关 于 x ? a 对 称 , ∴ 函 数 y ? f ( x) 关 于 x ? a 对 称 ? f (? x) ? f (2a ? x) (2)函数的点对称: 函数 y ? f ( x) 关于点 ( a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 上述关系也可以写成 f (2a ? x) ? f (? x) ? 2b 或 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b 若写成: f (a ? x) ? f (b ? x) ? c ,函数 y ? f ( x) 关于点 ( a?b c , ) 对称 2 2 1 证 明 : 设 点 ( x1 , y1 ) 在 y ? f ( x) 上 , 即 y1 ? f ( x1 ) , 通 过 f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b 可 知 , f (2a ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2b , 所 以 f (2a ? x1 ) ? 2b ? f ( x1 ) ? 2b ? y1 , 所 以 点 (2a ? x1 ,2b ? y1 ) 也在 y ? f ( x) 上,而点 (2a ? x1 ,2b ? y1 ) 与 ( x1 , y1 ) 关于 ( a, b) 对 称。得证。 说明: 关于点 ( a, b) 对称要求横坐标之和为 2a , 纵坐标之和为 2b , 如 (a ? x)与(a ? x) 之 和为 2a 。 (3)函数 y ? f ( x) 关于点 y ? b 对称:假设函数关于 y ? b 对称,即关于任一个 x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于 y ? b 对称。但在曲线 c(x,y)=0,则有可能会出现关于 y ? b 对称,比如圆 c( x, y) ? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 它会关于 y=0 对称。 (4)复合函数的奇偶性的性质定理: 性质 1、复数函数 y=f[g(x)]为偶函数,则 f[g(-x)]=f[g(x)]。 复合函数 y=f[g(x)]为奇函数,则 f[g(-x)]=-f[g(x)]。 性质 2、复合函数 y=f(x+a)为偶函数,则 f(x+a)=f(-x+a); 复合函数 y=f(x+a)为奇函数,则 f(-x+a)=-f(a+x)。 性质 3、复合函数 y=f(x+a)为偶函数,则 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称。 复合函数 y=f(x+a)为奇函数,则 y=f(x)关于点(a,0)中心对称。 总结:x 的系数一个为 1,一个为-1,相加除以 2,可得对称轴方程 总结:x 的系数一个为 1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为 1,另一个为-1, 存在对称中心。 总结:x 的系数同为为 1,具有周期性。 (二)、两个函数的图象对称性 1、 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 X 轴对称。 证明:设 y ? f ( x) 上任一点为 ( x1 , y1 ) 则 y1 ? f ( x1 ) ,所以 y ? ? f ( x) 经过点 ( x1 , ? y1 ) ∵ ( x1 , y1 ) 与 ( x1 , ? y1 ) 关于 X 轴对称,∴ y1 ? f ( x1 ) 与 y ? ? f ( x) 关于 X 轴对称. 注:换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) ? ? f ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。 2 2、 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 Y 轴对称。 证明:设 y ? f ( x) 上任一点为 ( x1 , y1 ) 则 y1 ? f ( x1 ) ,所以 y ? f (? x) 经过点 (? x1 , y1 ) ∵ ( x1 , y1 ) 与 (? x1 , y1 ) 关于 Y 轴对称,∴ y ? f ( x) 与 y

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