当前位置:首页 >> 数学 >> 2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)


2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|x>1},集合 B={x|x>p},若(?UA)∩B=?, 则 p 应该满足的条件是( A.p>1 B.p≥1 ) D.p≤1 )

C.p<1

2. (5 分)已知复数 z= A. B. C.

,其中 i 为虚数单位,则|z|=( D.2

3. (5 分)已知向量 =(x,2) , =(2,1) , =(3,x) ,若 ∥ ,则 ? =( A.4 B.8 C.12 D.20



4. (5 分)已知点 F(2,0)是双曲线 3x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则此 双曲线的离心率为( A. B. C.2 ) D.4

5. (5 分)

的展开式中,各项系数之和为 A,各项的二项式系数之和为 ) D.8

B,若 =32,则 n=( A.5 B.6 C.7

6. (5 分)给出下列几个命题: ①命题 p:任意 x∈R,都有 cosx≤1,则¬p:存在 x0∈R,使得 cosx0≤1 ②命题“若 a>2 且 b>2,则 a+b>4 且 ab>4”的逆命题为假命题 ③空间任意一点 O 和三点 A,B,C,则 不必要条件 ④线性回归方程 y=bx+a 对应的直线一定经过其样本数据点 (x1, y1) , (x2, y2) , …, (xn,yn)中的一个 其中不正确的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4 =3 =2 是 A,B,C 三点共线的充分

7. (5 分)若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)
第 1 页(共 24 页)

的图象上;②P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 y=f(x)的一对“友 好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”) .已知函数 f(x) ,则此函数的“友好点对”有( )

=

A.3 对 B.2 对 C.1 对 D.0 对 8. (5 分)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽 的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个 大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角 形中较小的锐角为 θ,那么 sin2θ 的值为( )

A.

B.

C.

D. )

9. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为(

A.3

B.4

C.5

D.6

10. (5 分)中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指 《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹 棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示) ,表示 一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数 码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位
第 2 页(共 24 页)

用横式表示,以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 筹可表示为( )

,则 9117 用算

A.

B.

C.

D.

11 . ( 5 分 ) 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 整 数 , 其 前 n 项 和 为 Sn , an+1= ,若 S3=10,则 S180=( )

A.600 或 900 B.900 或 560 C.900 D.600 12. (5 分)定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x) ,如果对任意 x∈D,都有|f (x)﹣g(x)|≤1 成立,则称 f(x)在区间 D 上可被 g(x)替代,D 称为“替 代区间”.给出以下问题: ①f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x2+ 替代; ②如果 f(x)=lnx 在区间[1,e]可被 g(x)=x﹣b 替代,则﹣2≤b≤2; ③设 f(x)=lg(ax2+x) (x∈D1) ,g(x)=sinx(x∈D1) ,则存在实数 a(a≠0) 及区间 D1,D2,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代. 其中真命题是( A.①②③ B.②③ ) C.① D.①②

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13. (5 分)设 x,y 满足不等式组 14. (5 分)已知等差数列{an}中,a5+a7= ,则 z=﹣2x+y 的最小值为 ,则 a4+a6+a8= . .

15. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为 2,则正视图的面

第 3 页(共 24 页)

积=

. + =1 和双曲线 ﹣ =1 的公共顶点,其中

16. (5 分)已知 A,B 是椭圆

a>b>0,P 是双曲线上的动点,M 是椭圆上的动点(P,M 都异于 A,B) ,且满 足 + =λ( + ) (λ∈R) ,设直线 AP,BP,AM,BM 的斜率分别为 k1,k2, ,则 k3+k4= .

k3,k4,若 k1+k2=

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx. (Ⅰ)将函数 f(2x)的图象向右平移 [ , ],求函数 g(x)的值域; +1, 个单位得到函数 g(x)的图象,若 x∈

(Ⅱ)已知 a,b,c 分别为△ABC 中角 A,B,C 的对边,且满足 f(A)= A∈(0, ) ,a=2 ,b=2,求△ABC 的面积.

18. (12 分)据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为 高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生 和包括老师、 家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择 了 3600 人调查,就是否“取消英语听力”的问题,调查统计的结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 2100 人 600 人 120 人 x人 y人 z人 应该取消 应该保留 无所谓

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ) 现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈, 问
第 4 页(共 24 页)

应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人平均分成两组进 行深入交流,求第一组中在校学生人数 ξ 的分布列和数学期望. 19. (12 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=BC=1, AB=2,M 为 PC 中点. (Ⅰ)在图中作出平面 ADM 与 PB 的交点 N,并指出点 N 所在位置(不要求给 出理由) ; (Ⅱ)在线段 CD 上是否存在一点 E,使得直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值 为 ,若存在,请说明点 E 的位置;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)求二面角 A﹣MD﹣C 的余弦值.

20. (12 分)已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点 P (2,t)到焦点的距离为 ,曲线 C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q,直线 l1 经过 点 Q 且垂直于 x 轴. (Ⅰ)求线段 OQ 的长; (Ⅱ) 设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2: x=my+b 交曲线 C 于点 A 和 B, 交 l1 于点 E, 若直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数 a>0. (Ⅰ)当 a>2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g (x) , 若 >0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”.当

a=4 时,试问 y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点” 的横坐标;若不存在,请说明理由.
第 5 页(共 24 页)

四、请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,解答时请写清题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分)以直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系,且两坐标系相同的长度单位.已知点 N 的极坐标为( 线 C1:ρ=1 上任意一点,点 G 满足 (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,且直线 l = + , ) ,M 是曲

,设点 G 的轨迹为曲线 C2.

与曲线 C2 交于 A,B 两点,求

+

的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在实数 x 使 f(x) <2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α,β>1,f(α)+f(β)=2,求证: + ≥ .

第 6 页(共 24 页)

2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2017?吉林三模)设全集 U=R,集合 A={x|x>1},集合 B={x|x>p}, 若(?UA)∩B=?,则 p 应该满足的条件是( A.p>1 B.p≥1 C.p<1 D.p≤1 )

【解答】解:全集 U=R,集合 A={x|x>1},集合 B={x|x>p}, ∴?UA={x|x≤1}, 又(?UA)∩B=?, ∴p≥1. 故选:B.

2. (5 分) (2017?吉林三模) 已知复数 z= A. B. C. = . D.2

, 其中 i 为虚数单位, 则|z|= (



【解答】解:z= 则|z|= 故选:B.



3. (5 分) (2017?吉林三模)已知向量 =(x,2) , =(2,1) , =(3,x) ,若 ∥ ,则 ? =( A.4 B.8 ) C.12 D.20

【解答】解:根据题意,向量 =(x,2) , =(2,1) , 若 ∥ ,则有 x=2×2=4,
第 7 页(共 24 页)

即 =(4,2) , =(3,4) ,则 ? =4×3+2×4=20; 故选:D.

4. (5 分) (2017?吉林三模)已知点 F(2,0)是双曲线 3x2﹣my2=3m(m>0) 的一个焦点,则此双曲线的离心率为( A. B. C.2 D.4 )

【解答】解:双曲线 3x2﹣my2=3m(m>0) 即为 可得 a= c= ﹣ =1, ,b= = , =2,

解得 m=1, 则 e= = =2. 故选:C.

5. (5 分) (2017?吉林三模)

的展开式中,各项系数之和为 A,各项的 )

二项式系数之和为 B,若 =32,则 n=( A.5 B.6 C.7 D.8

【解答】解:令 x=1,则 A=4n, 又 2n=B, =32,∴ 故选:A. =32,解得 n=5.

6. (5 分) (2017?吉林三模)给出下列几个命题: ①命题 p:任意 x∈R,都有 cosx≤1,则¬p:存在 x0∈R,使得 cosx0≤1 ②命题“若 a>2 且 b>2,则 a+b>4 且 ab>4”的逆命题为假命题 ③空间任意一点 O 和三点 A,B,C,则 =3 =2 是 A,B,C 三点共线的充分

第 8 页(共 24 页)

不必要条件 ④线性回归方程 y=bx+a 对应的直线一定经过其样本数据点 (x1, y1) , (x2, y2) , …, (xn,yn)中的一个 其中不正确的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

【解答】解:对于①,命题 p:任意 x∈R,都有 cosx≤1,则¬p:存在 x0∈R, 使得 cosx0>1,故错; 对于②,原命题的逆命题:“若 a+b>4 且 ab>4“则“a>2 且 b>2”,比如 a=1, b=5 结论不成立,为假命题,正确; 对于③,空间任意一点 O 和三点 A,B,C,若 线,若 A,B,C 三点共线时, =3 =2 =3 =2 ,则 A,B,C 三点共

不一定成立,故正确;

对于④,线性回归方程 y=bx+a 对应的直线不一定经过其样本数据点(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn)中的一个,故错. 故选:B

7. (5 分) (2017?吉林三模)若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”) .已 知函数 f(x)= ,则此函数的“友好点对”有( )

A.3 对 B.2 对 C.1 对 D.0 对 【解答】解:根据题意:“友好点对”,可知, 只须作出函数 y=( )x(x>0)的图象关于原点对称的图象, 看它与函数 y=x+1(x≤0)交点个数即可. 如图,观察图象可得:它们的交点个数是:1. 即函数 f(x)= 的“友好点对”有 1 个.

第 9 页(共 24 页)

故选:C.

8. (5 分) (2017?吉林三模)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我 国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面 积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ,那么 sin2θ 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【解答】解:设直角三角形的边长为 a,a+1, 则 a2+(a+1)2=25,a>0. 解得 a=3. ∴sinθ= ,cos ∴sin2θ= 故选:D. = . .

9. (5 分) (2011?天津) 阅读程序框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为 (



第 10 页(共 24 页)

A.3

B.4

C.5

D.6

【解答】解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B

10. (5 分) (2017?吉林三模)中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.” 其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算 筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式 (如下图所示) ,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从 左到右排列, 但各位数码的筹式需要纵横相间, 个位, 百位, 万位数用纵式表示, 十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 ,则 9117 用算筹可表示为( )

A.

B.

C.

D.

【解答】解:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,
第 11 页(共 24 页)

个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示, 则 9117 用算筹可表示为 故选:C ,

11. (5 分) (2017?吉林三模)已知数列{an}的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,an+1= ,若 S3=10,则 S180=( )

A.600 或 900 B.900 或 560 C.900 D.600 【解答】 解: (ⅰ) 当 a1 为奇数时, a 2= ∴S3=10=a1+ + , 此时若 a2 为奇数, 则 a 3= = ,

,解得 a1=5,此时的数列{an}为 5,3,2,5,3,2,…. ,此时若 a2 为偶数,则 a3=3a2﹣1= ﹣1,

(ⅱ)当 a1 为奇数时,a2= ∴S3=10=a1+ 5,…; +

﹣1,解得 a1=3,此时的数列{an}为 3,2,5,3,2,

(ⅲ) 当 a1 为偶数时, a2=3a1﹣1, 此时 a2 为奇数, 则 a 3= ﹣1+ ,

=

, ∴S3=10=a1+3a1

解得 a1=2,此时的数列{an}为 2,5,3,2,5,3,…. 上述三种情况数列{an}均为 3 周期数列,又 60×3=180,∴S180=60×(5+3+2) =600. 故选:D.

12. (5 分) (2017?吉林三模)定义在区间 D 上的函数 f(x)和 g(x) ,如果对任 意 x∈D,都有|f(x)﹣g(x)|≤1 成立,则称 f(x)在区间 D 上可被 g(x)替 代,D 称为“替代区间”.给出以下问题: ①f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x2+ 替代; ②如果 f(x)=lnx 在区间[1,e]可被 g(x)=x﹣b 替代,则﹣2≤b≤2; ③设 f(x)=lg(ax2+x) (x∈D1) ,g(x)=sinx(x∈D1) ,则存在实数 a(a≠0)
第 12 页(共 24 页)

及区间 D1,D2,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代. 其中真命题是( A.①②③ B.②③ ) C.① D.①②

【解答】解:在①中,∵f(x)=x2+1,g(x)=x2+ , ∴对任意 x∈(﹣∞,+∞) ,都有|f(x)﹣g(x)|=|1﹣ |= ≤1 成立, ∴f(x)=x2+1 在区间(﹣∞,+∞)上可被 g(x)=x2+ 替代,故①正确; 在②中,由题意知:|f(x)﹣g(x)|=|lnx﹣x+b|≤1 在 x∈[1,e]上恒成立; 设 h(x)=lnx﹣x+b,则 h′(x)= ,

∵x∈[1,e],∴h′(x)≤0,∴h(x)在[1,e]上单调递减, h(1)=b﹣1,h(e)=1﹣e+b, 1﹣e+b≤h(x)≤b﹣1,又﹣1≤h(x)≤1, ∴ ,解得 e﹣2≤b≤2,故②错误;

在③中,若 a>0,解 ax2+x>0,得 x<﹣ 或 x>0, 可取 D1=(0,+∞) ,D2=R,∴D1∩D2=(0,+∞) , 可取 x=π,则|f(x)﹣g(x)|=aπ2+π, ∴不存在实数 a(a>0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代; 若 a<0,解 ax2+x>0 得,x<0,或 x>﹣ , ∴可取 D1=(﹣∞,0) ,D2=R,∴D1∩D2=(﹣∞,0) , 取 x=﹣π,则|f(﹣π)﹣g(﹣π)|=|aπ2﹣π|>1, ∴不存在实数 a(a<0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代. 综上得,不存在实数 a(a≠0) ,使得 f(x)在区间 D1∩D2 上被 g(x)替代,故 ③错误. 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分. 13. (5 分) (2017?吉林三模)设 x,y 满足不等式组
第 13 页(共 24 页)

,则 z=﹣2x+y 的

最小值为 ﹣6



【解答】解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=﹣2x+y 得 y=2x+z, 平移直线 y=2x+z,则由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时,直线 y=2x+z 的截距 最小, 此时 z 最小,由 此时 z=﹣2×4+2=﹣6, 故答案为:﹣6. ,解得 ,即 A(4,2) ,

14. (5 分) (2017?吉林三模) 已知等差数列{an}中, a5+a7= 3 . = =2=2a6,

, 则 a4+a6+a8=

【解答】解:∵a5+a7= 解得 a6=1. 则 a4+a6+a8=3a6=3. 故答案为:3.

15. (5 分) (2017?吉林三模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积

第 14 页(共 24 页)

为 2,则正视图的面积=

2



【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥 P﹣ABCD, 其中底面 BACD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AB=2,BC=1,AD=2,PA⊥底面 ABCD. ∴ =2,解得 x=2. =2.

∴正视图的面积 S= 故答案为:2.

16. (5 分) (2017?吉林三模)已知 A,B 是椭圆

+

=1 和双曲线



=1

的公共顶点,其中 a>b>0,P 是双曲线上的动点,M 是椭圆上的动点(P,M 都异于 A,B) ,且满足 + =λ( + ) (λ∈R) ,设直线 AP,BP,AM,BM 的 ,则 k3+k4= ﹣ .

斜率分别为 k1,k2,k3,k4,若 k1+k2=

【解答】解:设 A(﹣a,0) ,B(a,0) .设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) , ∵ + =λ( + ) (λ∈,其中 λ∈R,

∴(x1+a,y1)+(x1﹣a,y1)=λ[(x2+a,y2)+(x2﹣a,y2)],化为 x1y2=x2y1. ∵P、M 都异于 A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴ .

由 k1+k2=

,…①



…②

由①②得

=

=
第 15 页(共 24 页)

k3+k4=

,又∵



∴k3+k4=﹣ 故答案为:﹣

=﹣



三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 17. (12 分) (2017?吉林三模)已知函数 f(x)=cos2x+2sin2x+2sinx. (Ⅰ)将函数 f(2x)的图象向右平移 [ , ],求函数 g(x)的值域; +1, 个单位得到函数 g(x)的图象,若 x∈

(Ⅱ)已知 a,b,c 分别为△ABC 中角 A,B,C 的对边,且满足 f(A)= A∈(0, ) ,a=2 ,b=2,求△ABC 的面积.

【 解 答 】 解 :( Ⅰ ) 因 为

f ( x ) =cos2x+2sin2x+2sinx=cosx2 ﹣

sinx2+2sin2x+2sinx=cosx2+sinx2+2sinx=1+2sinx, 即 f(2x)=1+2sin2x, ∵函数 f(2x)的图象向右平移 ∴ ,∵ 个单位得到函数 g(x)的图象, ,∴ 2x ﹣ ∈[﹣ , ],

,∴g(x)∈[0,3], 所以函数 g(x)的值域为[0,3]. (Ⅱ)解:∵ 又 所以,△ABC 面积 , ,∴ ;因为 ,∴ .

,b=2,∴c=4. .

18. (12 分) (2017?吉林三模)据《中国新闻网》10 月 21 日报道,全国很多省 市将英语考试作为高考改革的重点,一时间 “ 英语考试该如何改 ” 引起广泛关
第 16 页(共 24 页)

注. 为了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社会人士对高考英语改革的看法, 某媒体在该地区选择了 3600 人调查,就是否“取消英语听力”的问题,调查统计 的结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 2100 人 600 人 120 人 x人 y人 z人 应该取消 应该保留 无所谓

已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (Ⅰ) 现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈, 问 应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人? (Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人平均分成两组进 行深入交流,求第一组中在校学生人数 ξ 的分布列和数学期望. 【解答】解: (I)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, ∴ =0.05,解得 x=60. …(2 分)

∴持“无所谓”态度的人数共有 3600﹣2100﹣120﹣600﹣60=720. …(4 分) ∴应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人. …(6 分)

(Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有 180 人, ∴在所抽取的 6 人中,在校学生为 =4 人,社会人士为 =2 人,

于是第一组在校学生人数 ξ=1,2,3,…(8 分) P(ξ=1)= 即 ξ 的分布列为: ξ P …(10 分) ∴Eξ=1× +2× +3× =2. …(12 分) 1 2 3 ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= ,

19. (12 分) (2017?吉林三模)已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为矩形,PA⊥底面
第 17 页(共 24 页)

ABCD,PA=BC=1,AB=2,M 为 PC 中点. (Ⅰ)在图中作出平面 ADM 与 PB 的交点 N,并指出点 N 所在位置(不要求给 出理由) ; (Ⅱ)在线段 CD 上是否存在一点 E,使得直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值 为 ,若存在,请说明点 E 的位置;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)求二面角 A﹣MD﹣C 的余弦值.

【解答】解: (Ⅰ)过 M 作 MN∥BC,交 PB 于点 N,连接 AN,如图, 则点 N 为平面 ADM 与 PB 的交点 N(在图中画出) 由 M 为 PC 中点,得 N 为 PB 的中点.…(2 分) (Ⅱ)因为四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为矩形,PA⊥底面 ABCD, 以 A 为坐标原点,以直线 AB,AD,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示: 则 A(0,0,0) ,P(0,0,1) ,D(0,1,0) ,C(2,1,0) ,M(1, (4 分) 设在线段 CD 上存在一点 E(x,1,0) ,则 …(5 分) , ,…(7 分) ) ,…

设直线 AE 与平面 AMD 所成角为 θ,平面 AMD 的法向量为 则 ,即 ,令 z=2,则 ,

因为直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值为 所以 ,所以 x=1

所以在线段 CD 上存在中点 E, 使得直线 AE 与平面 AMD 所成角的正弦值为
第 18 页(共 24 页)

…(8 分)

(Ⅲ)设平面 CMD 的法向量





,即

,令 z′=﹣1,则 y′=﹣1,

所以 所以

….…(10 分) ,

由图形知二面角 A﹣MD﹣C 的平面角是钝角, 所以二面角 A﹣MD﹣C 的平面角的余弦值为 …..…(12 分)

20. (12 分) (2017?吉林三模)已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=nx(n>0)在 第一象限内的点 P(2,t)到焦点的距离为 ,曲线 C 在点 P 处的切线交 x 轴于 点 Q,直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴. (Ⅰ)求线段 OQ 的长; (Ⅱ) 设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2: x=my+b 交曲线 C 于点 A 和 B, 交 l1 于点 E, 若直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列,试问:l2 是否过定点?请说明理由. 【解答】解: (Ⅰ)由抛物线 C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点 P(2,t)到 焦点的距离为 得 (2 分) 所以曲线 C 在第一象限的图象对应的函数解析式为 , 则 ..… (4 分) ,所以 n=2,故抛物线方程为 y2=2x,P(2,2)….…

第 19 页(共 24 页)

故曲线 C 在点 P 处的切线斜率

,切线方程为:

令 y=0 得 x=﹣2,所以点 Q(﹣2,0)…(5 分) 故线段 OQ=2…(6 分) (Ⅱ)由题意知 l1:x=﹣2,因为 l2 与 l1 相交,所以 m≠0 设 l2:x=my+b,令 x=﹣2,得 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 消去 x 得:y2﹣2my﹣2b=0 ,故 ….…(7 分)

则 y1+y2=2m,y1y2=﹣2b…..…(9 分) 直线 PA 的斜率为 ,

同理直线 PB 的斜率为

,直线 PE 的斜率为

….…(10 分)

因为直线 PA,PE,PB 的斜率依次成等差数列 所以 即 + =2 …..…(11 分)

因为 l2 不经过点 Q,所以 b≠﹣2 所以 2m﹣b+2=2m,即 b=2 故 l2:x=my+2,即 l2 恒过定点(2,0)…(12 分)

21. (12 分) (2017?吉林三模)已知函数 f(x)=x2﹣(a+2)x+alnx,其中常数 a >0. (Ⅰ)当 a>2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设定义在 D 上的函数 y=h(x)在点 P(x0,h(x0) )处的切线方程为 l:y=g (x) , 若 >0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y=h(x)的“类对称点”.当

a=4 时,试问 y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”
第 20 页(共 24 页)

的横坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵ ,

∴ ∵a>2,∴ ,

…(1 分)

令 f′(x)>0,即 ∵x>0,∴0<x<1 或

, ,…(2 分) …(3 分)

所以函数 f(x)的单调递增区间是(0,1) , (Ⅱ)解法一:当 a=4 时, 所以在点 P 处的切线方程为 若函数

…(4 分)

存在“类对称点”P(x0,f(x0) ) ,

则等价于当 0<x<x0 时,f(x)<g(x) , 当 x>x0 时,f(x)>g(x)恒成立.…(5 分) ①当 0<x<x0 时,f(x)<g(x)恒成立, 等价于 即当 0<x<x0 时, 令 恒成立, 恒成立, ,则 φ(x0)=0,…(7 分)

要使 φ(x0)<0 在 0<x<x0 恒成立,只要 φ(x)在(0,x0)单调递增即可. 又∵ ∴ ,即 .…(9 分) .…(10 分) ,…(8 分)

②当 x>x0 时,f(x)>g(x)恒成立时, ∴ .…(11 分)
第 21 页(共 24 页)

所以 y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为

.…(12 分)

(Ⅱ)解法二: 猜想 y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 分)下面加以证明: 当 ①当 等价于 令 ∵ 从而当 即当 ②同理当 时, 时, …(5 分) 时,f(x)<g(x)恒成立, 恒成立, …(7 分) ,∴函数 φ(x)在 恒成立, 上单调递增, .…(4

时,f(x)<g(x)恒成立.…(9 分) 时,f(x)>g(x)恒成立.…(10 分) .…(12

综上知 y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为 分)

四、请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分,解答时请写清题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. (10 分) (2017?吉林三模)以直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系, 且两坐标系相同的长度单位. 已知点 N 的极坐标为 ( ) ,M 是曲线 C1:ρ=1 上任意一点,点 G 满足 线 C2. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)若过点 P(2,0)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,且直线 l = + ,

,设点 G 的轨迹为曲

第 22 页(共 24 页)

与曲线 C2 交于 A,B 两点,求

+

的值.

【解答】解: (Ⅰ)由 ρ=1,得 x2+y2=1,∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2=1, ∵点 N 的直角坐标为(1,1) ,设 G(x,y) ,M(x0,y0) ,又 y)=(x0,y0)+(1,1) , ∴ ,代入 ,得(x﹣1)2+(y﹣1)2=1, ,即(x,

∴曲线 C2 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=1. (Ⅱ) 把直线 l
2

(t 为参数) 的方程代入曲线 C2 的直角坐标方程 (x﹣1)

+(y﹣1)2=1, ,即 . ,易知 t1>0,t2>0,



设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则





[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2017?吉林三模)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存 在实数 x 使 f(x)<2 成立. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 α,β>1,f(α)+f(β)=2,求证: + ≥ .

【解答】 (I)解:∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|, ∴要使|x﹣m|+|x|<2 有解,则|m|<2,解得﹣2<m<2. ∵m∈N*,∴m=1. (II)证明:α,β>0,f(α)+f(β)=2α﹣1+2β﹣1=2, ∴α+β=2. ∴ + = =
第 23 页(共 24 页)



= ,当且

仅当 α=2β= 时取等号.

第 24 页(共 24 页)


赞助商链接
更多相关文档:

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)(解析版)

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)(解析版) - 2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给...

2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科)

2017年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科) - 2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷(理科) 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小...

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) - 2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个...

2017年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) Word版含解析

2017 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. B={...

吉林省吉林市2017届高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

(x)> ,求 a 的取值范围. 2017 年吉林省吉林市高考数学模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题...

2017年高考数学三模试卷(理科)

2017年高考数学三模试卷(理科) - 2017 年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(理科) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的...

2016届吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

(2) ,求证:mn+np+pm≤3. 第 5 页(共 24 页) 2016 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5...

2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)

2017年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科) - 2017 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每...

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科)

2018年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) - 2018 年吉林省吉林市高考数学三模试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个...

2017年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)

2017年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) - 2017 年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com