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高中数学(文)选修1-1学案:2.3.3双曲线的简单几何性质(二)


2.3.3 双曲线的简单几何性质(一) 【学习目标】
初步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质. 【自主学习】 双曲线的简单几何性质: 1.范围、对称性
y Q B2 A1 O A2 B1

N M x

2.顶点 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?

实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做

. 虚轴: B1 B2 长为 2b, b 叫做



(1) 渐近线:过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ?a ,经过 B1 , B2 a 2 b2
矩形的两条对角线所在直线方程是

作 X 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围成一个矩形 (

x y ? ? 0) ,这两条直线就是双曲线的渐近线. a b
,这样的双曲线叫做等轴双曲线.
2 2 2
2

4.等轴双曲线

结合图形说明: a=b 时,双曲线方程变成 x ? y ? a ( 或 b ) ,它的实轴和虚轴都等于 2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为 y ? ? x 和虚轴所成的角. 5.双曲线的草图画法: 它们互相垂直且平分双曲线的实轴

6.离心率 概念:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 范围: 双曲线形状与 e 的关系: k ?

,叫做双曲线的离心率.

b c2 ? a2 c2 ? ? ?1 ? e2 ?1 , 2 a a a
, 这时双曲线的形状就从 逐渐变得 .

因此 e 越大, 即渐近线的斜率的绝对值就 【典型例题】
2 2

例 1 求双曲线 9 y ? 16x ? 144 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和 渐近线方程,并作出草图.

【课堂检测】

1.下列方程中,以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是





( A)

x2 y 2 ? ?1 16 4

( B)

x2 y 2 ? ?1 4 16

(C )

x2 ? y2 ? 1 2
) (A)

( D) x 2 ?

y2 ? 1 2. 下 2

列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是(
2

y2 x2 x2 2 -y =1 和 =1 9 3 3

(B)

x x2 2 2 -y =1 和 y =1 3 3
2

(C)y -

x2 y2 2 =1 和 x =1 3 3
2 2

(D)

x x2 2 y2 -y =1 和 =1 9 3 3
( ) (D)(-12,1)

2

3.双曲线 kx +4y =4k 的离心率小于 2,则 k 的取值范围是 (A) (-∞,0) (B)(-3,0) (C)(-12,0) 4.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上;

(2)离心率 e ?

2 ,经过点 M(-5,3);

(3)求以椭圆 x ? y ? 1的顶点为焦点的等轴双曲线的方程.

2

2

12

8


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