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广东省珠海四中2013届高三8月摸底考试(数学文)


珠海四中 2013 届高三 8 月摸底考试
数 学 (文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 球体体积公式: V 球 ?
1 3 4 3 S h ( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)
3

? R ( R 是半径)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1. 设集合 U ? ?1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ? , M ? ?1, 3, 5? ,则 C U M ? A. ? 2 ,4 ,6 ? B. ?1 ,3 ,5?
1? i 1? i

( D. U



C. ?1 ,2 ,4 ?

2.复平面上点 P 表示复数

(其中 i 为虚数单位),点 P 坐标是

A.(1,0) B.(一 1,0) C.(0,一 1) D.(0,1) 3.命题“ ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0 ”的否定为(
2


2

A. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

B. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 4 D. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

C. ? x ? R , x ? 2 x ? 4 ? 0
2

4.若 a ? R ,则“ a =3”是“ a 2=9”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 )

)条件 C.充要 D.既不充分又不必要

5、下列函数为偶函数的是( A. y ? sin x

B. y ? x 3

C. y ? e x

D. y ? ln

x ?1
2

x

-1

0

1

2

3

6、据表格中的数据,可以判定函
f (x) ? e
x

e

x

0.37 1

1 2

2.72 3

7.39 4

20.09 5

数 在的区间

? x ? 2 的一个零点所

x? 2

为 ( k , k ? 1)( k ? N ) ,则 k 的值为( ) A.-1 C.0 B.1 D.2

7.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是( A. 3 C.33 B.13 D.123
x
2

).

8. 已知实数 4, m , 9 构成一个等比数列, 则圆锥曲线 离心率为(
A. 30 6

? y ? 1的
2

m


B. 7

C.

30 6



7

D.

5 6

或7

3 2 3 正视图 侧视图

9.设图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(



A. 9 ? C. ?
2 9

? 42

B. 3 6 ? D. ?
2 9

? 18

? 12

? 18

10.在 ? A B C 中, a ,b ,c 分别为角 A ,B ,C 所对边,若
a ? 2 b co s C ,则此三角形一定是(

俯视图

) C.等腰三角形 D.等腰或直角三角

A.等腰直角三角形 形

B.直角三角形

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。) 11.已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =___
?x ?1 ? 12.设函数 f ( x ) ? ? 2 ? ?x
2

x ?1 x ?1

,则 f ( f (3)) ? ___

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.目标函数 z=2x+y 在约束条件 ? 2 x ? 3 ? 0 下取得的最大值是_____ ?y ? 0 ?

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分。) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 co s ? ,则圆 C 上点到直线
l : ? co s ? ? 2 ? sin ? ? 4 ? 0 的最短距离为



P C

A O ·

B

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,PAB、PCD 为⊙O 的两条割 线,若 PA=5,AB=7,CD=11, A C ? 2 ,则 BD 等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说 明、证明过程和演算步骤. 图3 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 , a 3 ? ? 3 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若数列 ? a n ? 的前 k 项和 S k ? ? 3 5 ,求 k 的值. D

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ( ?
?
3 ,

??

1? , ?. ? 3 2?

?
2

), f (? ?

?
3

)?

1 3

,求 s in ( 2 ? ?

2? 3

) 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱 A A1 ? 底面 A B C ,
A B ? B C , D 为 A C 的中点, A1 A ? A B ? 2 , B C ? 3 .
A1 A

(1)求证: A B1 / / 平面 B C 1 D ;
D

(2) 求四棱锥 B ? A A1 C 1 D 的体积.
B1 B

19.(本题满分 14 分)

C1

C

淘宝卖家在购买过某商品的所有买家中随机选择男女买家各 50 位进行调配, 他们的评分 (保 留一位小数)的情况如下:

(I)从评分为 1.0 分以下(含 1.0 分)的人中随机选取 2 人,则 2 人都是男性的概率; (II)现在规定评分在 3.0 以下(含 3.0)为不喜欢该商品,评分在 3.0 以上为喜欢该商品, 完成表格并有助卖家判断是否有 95%以上的把握认为: 买家的性别与是否喜欢该商品之间有 关系。 喜欢该商 品 男 女 总 计 (参考公式: K 2 参考值表:
? n(ad ? bc)
2

不喜欢该 商品

总计

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

,其中 n

? a?b?c?d

.)

P( K 2

? k0

)

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

20.(本小题满分 14 分) 椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e=

1 2

,且过点 P(l,

3 2

)。

(l)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,且△OAB 的面积为
6 7 2

,求 l 的方程。

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

x ? b x ? a ( a , b ? R ) ,且其导函数 f ? ( x ) 的图像过原点.
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

题 号 分 数





三 15 16 17 18 19 20

总 分

珠海四中 2013 届高三年级 8 月摸底考试 数学(文)试卷 答题卡
班级_________姓名________学号______

选择题答案填入下表 题 号 答 案 填空题答案
11、 (选做)14、 12、 (选做)15、 13、

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

三、解答题:(本题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 , a 3 ? ? 3 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若数列 ? a n ? 的前 k 项和 S k ? ? 3 5 ,求 k 的值.

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最大值是 1,其图 像经过点 M ?
?? 1? , ? .(1)求 f ( x ) 的解析式; ? 3 2?

(2)若 ? ? ( ?

?
3

,

?
2

), f (? ?

?
3

)?

1 3

,求 s in ( 2 ? ?

2? 3

) 的值.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱 A A1 ? 底面 A B C ,
A B ? B C , D 为 A C 的中点, A1 A ? A B ? 2 , B C ? 3 .

(1)求证: A B1 / / 平面 B C 1 D ; (2) 求四棱锥 B ? A A1 C 1 D 的体积.

A1

A

D B1

B

C1

C

19.(本题满分 14 分) 淘宝卖家在购买过某商品的所有买家中随机选择男女买家各 50 位进 行调配,他们的评分(保留一位小数)的情况如下:

(I)从评分为 1.0 分以下(含 1.0 分)的人中随机选取 2 人,则 2 人都是男性的概率; (II)现在规定评分在 3.0 以下(含 3.0)为不喜欢该商品,评分在 3.0 以上为喜欢该商品, 完成表格并有助卖家判断是否有 95%以上的把握认为: 买家的性别与是否喜欢该商品之间有 关系。 解:(1)

(2) 喜欢该商 品 男 女 总 计 不喜欢该 商品 总计

20.(本小题满分 14 分) 椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e=

1 2

,且过点 P(l,

3 2

)。

(l)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,且△OAB 的面积为
6 7 2

,求 l 的方程。

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

x ? b x ? a ( a , b ? R ) ,且其导函数 f ? ( x ) 的图像过原点.
2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、A 2、C 3、C 4、A 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、C

10.【解析】在 ? A B C 中,若 a ? 2 b co s C ,则 sin A ? 2 sin B co s C ,即
sin ( B ? C ) ? 2 sin B co s C ? s i nB ? C ( )? 0 B ? ? C 故选 C ,

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11、1 12、
13 9

13、6

14.

5 ? 1 .;

15. 6
PA PD ? AC DB ? BD ? 6

15.【解析】由 P A ? P B ? P C ? P D 得 P D ? 1 5 又? ? P A C ? ? P D B ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 ? a n ? 的公差 d ,则 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ? d , 由题设, a 3 ? ? 3 ? a 1 ? 2 d ? 1 ? 2 d ,所以 d ? ? 2 .
a n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 3 ? 2 n .
k ? a1 ? a k 2

??????????? 6 分

(2)因为 S k ?
2

?

?

k ?1 ? 3 ? 2 k 2

?

? k ? 2 ? k ? ? ?35 ,

所以 k ? 2 k ? 3 5 ? 0 ,解得 k ? 7 或 k ? ? 5 . 因为 k ? N ? ,所以 k ? 7 . ??????????? 12 分
?
3 , 1 2 ) 代入得 s in (

n ? 17. (1) 解: 依题意有 A ? 1 , f (x ) ?si ( x ) ? , 则 将点 M (

?
3

??) ?

1 2



而 0 ? ? ? ? ,?

?
3

?? ?

5 6

? ,? ? ?
1 3

?
2

,故 f ( x ) ? s in ( x ?
?
3 ,

?
2

) ? c o s x ;???5 分 5? 6 ).

(2)由已知得 c o s (? ?
?
3 2? 3 2

?
3

)?

,? ? ? ( ?

?
2

) ,? ? ?

?
3

? (0,

则 s in (? ?

)?

2 3



???8 分

? s in ( 2 ? ?

) ? 2 s in (? ?

?
3

) c o s (? ?

?
3

)?

4 9

2



???12 分

18. (本小题满分 14 分)

(1)证明:连接 B 1 C ,设 B 1 C 与 B C 1 相交于点 O ,连接 O D ,
A1 A

∵ 四边形 B C C 1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B 1 C 的中点.
E

∵ D 为 A C 的中点,∴ O D 为△ A B1C 的中位线, ∴ O D / / A B1 . ????????? 3 分
B1

D

B

∵ O D ? 平面 B C 1 D , A B1 ? 平面 B C 1 D ,
C1

O C

∴ A B1 / / 平面 B C 1 D .

?????????????? 6 分

(2)解法 1: ∵ A A1 ? 平面 A B C , A A1 ? 平面 A A1C 1C , ∴ 平面 A B C ? 平面 A A1C 1C ,且平面 A B C ? 平面 A A1C 1C ? A C . 作 B E ? A C ,垂足为 E ,则 B E ? 平面 A A1C 1C , ∵ A B ? B B1 ? 2 , B C ? 3 , 在 Rt△ A B C 中, A C ?
AB ? BC
2 2

????? 8 分

?

4?9 ?

13 , B E ?

A B ?B C AC

?

6 13

,? 10 分

∴四棱锥 B ? A A1 C 1 D 的体积 V ?
?

1 3
1 6

?

1 2

? A1 C 1 ?

A D ? ?A A1 ?B E
6 13
A1

?? 12 分

?

3 2

13 ? 2 ?

? 3.
A

∴四棱锥 B ? A A1 C 1 D 的体积为 3 .

?? 14 分
D

解法 2: ∵ A A1 ? 平面 A B C , A B ? 平面 A B C ,∴ A A1 ? A B . ∵ B B1 / / A A1 ,∴ B B1 ? A B . ∵ A B ? B C , B C ? B B1 ? B ,
C1 B1

B

O C

E

∴ A B ? 平面 B B1 C 1 C .

?? 8 分
1 2 AB ,

取 B C 的中点 E ,连接 D E ,则 D E / / A B , D E ? ∴ D E ? 平面 B B1 C 1 C . 三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的体积为 V ?
1 2

?A B ?B C ?A A1 ? 6 ,

?? 10 分


V D ? BCC ?
1

1 3

?

1 2

?B C ?C C 1 ?D E ?

1 6

V ? 1 ,V A

1

? B B1 C 1

?

1 3

?

1 2

?B 1 C 1 ?B B 1 ?A1 B 1 ?

1 3

V ? 2.

?? 12 分 而V ? V D ? BC C ? V A ? BB C ? V B ? AA C D ,
1 1 1 1 1 1

∴ 6 ? 1 ? 2 ?V B ? AA C D .
1 1

∴V B ? A A C D ? 3 .
1 1

∴四棱锥 B ? A A1 C 1 D 的体积为 3 . 19.(本题满分 14 分)

?? 14 分

解:(I)从评分在 1.0 以下的 5 人中任意选取 2 人共有 10 种结果,其中 2 人都是男性的结 果有 3 种,所以 2 人都是男生的概率为 P= (II) 喜欢该商 品 男 女 总 计 K=
2

3 10



不喜欢该 商品

总计

20 32 52

30 18 48

50 50 100

100 ? (20 ? 18 ? 30 ? 32) 50 ? 50 ? 52 ? 4

2

? 5.769>3.841,根据参考数据,有 95%的把握认为买家的性

别与是否喜欢该商品之间有关系。 20.(本小题满分 14 分)
1 ?c ? ?a 2 ? 9 ? ? 1 (1)依题,有: ? 2 ? 42 ? 1 ,可求得:a=2,b= 3 , b ?a 2 ?a ? b2 ? c2 ? ? ?
x
2

所以,椭圆 C 的方程:

?

y

2

?1

4

3

?y ? x? n ? 2 (2)设直线 l:y=x+n,由 ? x 2 ,得 7x2+8nx+4n2-12=0 y ? ?1 ? 3 ? 4



设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-

8n 7

,x1x2=

4n ? 12
2



7

所以|AB|= 1 ? 1 ? ( ?
2

8n 7

) ?4
2

4 n ? 12
2

?

4 6 7

7 ?n

2

7

又 O 到直线 l 的距离为 d=

|n| 2

所以, S ? O A B ?

1 2

?

2 |n| 2

?

4 6 7

7?n

2

?

6 7

2



解得 n=±1 或 n=± 6 ,代入①式,△>0, 所以,直线 l 为:y=x±1 或 y=x± 6 21.(本小题满分 14 分) 解: f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 2 x ? b x ? a , f ? ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? b

由 f ? (0 ) ? 0 得

b ? 0 , f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) .

---------------------2 分

(1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 3

x ? x ? 1 , f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) , f (3) ? 1 , f ? (3) ? 3
3 2

所以函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 ------------4 分 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) ? ? 9 ,
9 ? x 9 x 9 ( x ?) ( ? ? , a?? ? 7 , ) 6 x

? a ?1 ? ? x

( x? ? )

(?

?)

2 ?

当且仅当 x ? ? 3 时, a ? ? 7 . 所以 a 的最大值为 ? 7 . 分

--------------- -----------------9

x
f ?( x )

(?? , 0)

0
0

( ? ? , a ? 1)

a ?1
0

( a ? 1, ? ? )

?

?

?

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

当 a ? 0 时,

(3)

x , f ? ( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

----11 分
f ( x ) 的极大值 f (0 ) ? a ? 0 ,

f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1 ? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ? 0 ? 6 ? 2 4? ?

又 f (?2) ? ? a ?

14 3

? 0, f ( x ) ?

1 3

x

2

3 3 ? ? x ? ( a ? 1) ? a , f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 . ? ? 2 2 ? ? 3 2 ( a ? 1)) 内各有一个零点,

所以函数 f ( x ) 在区间 ? ? 2 , 0 ? , (0 , a ? 1), ( a ? 1,

故函数 f ( x ) 共有三个零点。--------------------14 分 注:①证明 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ? 设 g (a ) ? a ? 则 g ?( a ) ? ?
1 6 1 6
2

1 6

( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 ) 也可这样进行:
3

( a ? 1) ? ?
3

1 6

( a ? 3 a ? 6 a ? 1) ,
3 2

(3 a ? 6 a ? 6 ) ? ?

1 2

( a ? 3)( a ? 1)

当 0 ? a ? 1 时, g ? ( a ) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ? ( a ) ? 0 , 函数 g ( a ) 在区间 ? 0 ,1 ? 上是增函数,在区间 ?1, ? ? ? 上是减函数, 故函数 g ( a ) 在区间 ? 0 , ? ? ? 上的最大值为 g (1) ? 1 ? 从而 f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?
1 6
3

1 6

(1 ? 1) ? ?
3

1 3

? 0,

( a ? 1) ? 0 ( a ? 0 ) .

②证明函数 f ( x ) 共有三个零点。也可这样进行: f ( x ) 的极大值 f (0 ) ? a ? 0 ,
1 6 1 ? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ? 0, ? 6 ? 2 4? ?

f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?

( a ? 1) ? ?
3

当 x 无限减小时, f ( x ) 无限趋于 ? ? ; 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限趋于 ? ? .

故函数 f ( x ) 在区间 ? ? ? , 0 ? , (0 , a ? 1), ( a ? 1, ? ? ) 内各有一个零点, 故函数 f ( x ) 共有三个 零点。


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