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2013年高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用课件 新人教B版


数列的综合问

第 四 节

题与数列的应用

重点难点 重点:等差、等比数列的综合及应用. 难点:灵活运用数列知识,解决有关数列的综合问 题.

知识归纳 现实生活中涉及到存贷利息、企业股金、产品利润、 人口增长、产量增加、工作效率、图形面积、曲线长度 等实际问题,常常与数列有关,需考虑用数列的知识来 加以解决.

如何求解数列应用题 (1)审题:仔细读题,理解题意,达到如下要求: ①明确问题属于下列哪类数列模型:等差数列模型, 等比数列模型,递推数列模型,分期付款模型等. ②明确题目中的主要已知事项(即条件), 用数列中的 什么量来表达. ③明确所求结论是什么,是求 an,还是 Sn?还是求 n?

(2)建模:抓住数量关系,联想相关数学知识和数学 方法,恰当引入参变量,将文字语言翻译成数学语言, 将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽象为数学问 题,将已知与所求联系起来,写出满足题意的数学关系 式.

(3)求解:运用相关数列知识解答该数列问题. (4)还原:将解答结果还原为实际问题,注意结论是 否合乎实际.

误区警示 1.注意区分等差数列模型与等比数列模型,通项与 前 n 项和,尤其是存款利息问题. 2.注意理清分期付款,森林砍伐,细胞分裂等一类 模型的内部关系.

等差、等比数列的综合应用
[例 1] (2011· 天津高考)已知{an}为等差数列, 其公差 为-2, a7 是 a3 与 a9 的等比中项, n 为{an}的前 n 项和, 且 S n∈N*,则 S10 的值为( A.-110 C.90 ) B.-90 D.110

分析:由 a7 是 a3 与 a9 的等差中项及等差数列{an}的 公差为-2,可得关于 a1 的方程,求出 a1,再由求和公 式可求 S10. 解析: 因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, 所以 a2=a3a9, 7 又因为公差为-2, 所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 解得 a1=20,通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n,所 10?a1+a10? 以 S10= =5×(20+2)=110,故选择 D. 2

答案:D

(文)(2011· 济南模拟)已知数列{an}是首项为 a1=4 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列,则其公比 q 等于( A.1 C.1 或-1 ) B.-1 D. 2

解析:依题意有 2a5=4a1-2a3, 又 a1=4, 整理得 q4+q2-2=0, 解得 q2=1(q2=-2 舍去),所以 q=1 或-1.

答案:C

(理)(2011· 广东促元中学期中)已知{an}为等差数列, {bn}为正项等比数列,公比 q≠1,若 a1=b1,a11=b11, 则( ) A.a6=b6 C.a6<b6 B.a6>b6 D.以上都有可能

a1+a11 解析:a6= ,b6= b1b11= a1a11, 2 由 q≠1 得,a1≠a11. a1+a11 故 a6= > a1a11=b6. 2

答案:B

[例 2] 如图,n2 个(n≥4)正数排成 n 行 n 列方阵, 其中每一行的数都成等差数列,每一列的数都成等比数 1 列,并且所有公比都等于 q,若 a11= ,a24=1,a14=2. 2 a11 a21 a12 a22 a13 … a23 … … a1n a2n

… … an1 an2

… … ann

an3 …

(1)求公比 q 的值; (2)求 a1k(1≤k≤n)的值; (3)(理)记第 k 行各项和为 Ak=ak1+ak2+ak3+…+ akn,求 A1、A2 及数列{Ak}(1≤k≤n)的通项公式.

解析:(1)在该方阵中,每一列的数都成等比数列,并 1 且所有公比都等于 q,a14=2,a24=1,所以 q= . 2 1 (2)在该方阵中,每一行的数都成等差数列,a11= , 2 1 a14=a11+3d1=2,∴数列{a1k}的公差 d1= , 2 1 1 k ∴a1k= +(k-1)× = . 2 2 2

(3)(理)A1=a11+a12+a13+…+a1n 1 n?n-1? 1 n?n+1? =n× + × = , 2 2 2 4 1 1 由 a21= ,a24=1 得数列{a2k}的公差 d2= , 4 4 A2=a21+a22+a23+…+a2n 1 n?n-1? 1 n?n+1? =n× + × = . 4 2 4 8 第 m 行组成的等差数列{amk}的首项
?1 ?m am1=? ? , ?2 ?

第4项

?1 ?m- 1 ?1 ?m- 2 am4=2×? ? =? ? , ?2 ? ?2 ?

1??1 ?m- 2 ?1 ?m? 公差 d= ??2 ? -?2 ? ? 3?? ? ? ? ? 1? ?1 ?m ?1?m? ?1 ?m = ?4?2 ? -?2? ?=? ? , 3? ? ? ? ? ? ?2 ?
?1 ?m ?1 ?m k ∴amk=? ? +(k-1)×? ? = m, 2 ?2 ? ?2 ?

Am=am1+am2+am3+…+amn

1 2 3 n n?n+1? = m+ m+ m+…+ m= m+ 1 , 2 2 2 2 2 n?n+1? ∴数列{Ak}的通项公式 Ak= k+ 1 (1≤k≤n). 2

(文)在如下表格中,每格填上一个数字后,使每一 横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a+b+c 的值为( )

1 0.5

2 1 a b c

A.1 C.3

B.2 9 D. 8

解析:按题意要求,每一横行成等差数列,每一纵 1 3 1 列成等比数列,把表填好后得 a= ,b= ,c= ,则 a 2 8 4 9 +b+c= .∴选 D. 8

答案:D

(理)已知等差数列{an}中,a3=7,a6=16,将此等差 数列的各项排成如图所示的三角形数阵: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 … … … … …

则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是______.

解析:a6-a3=3d?d=3(d 为等差数列的公差),第 20 行前共有 1+2+…+19=190 个数, ∴第 20 行从左到 右的第 10 个数是 a200=a3+(200-3)d=598.

答案:598

数列与解析几何知识的综合应用
[例 3] 已知抛物线 x2=4y,过原点作斜率为 1 的直 1 线交抛物线于第一象限内一点 P1, 又过点 P1 作斜率为 的 2 1 直线交抛物线于点 P2, 再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线 4 于点 P3,……,如此继续下去,一般地,过点 Pn 作斜率 1 为 n的直线交抛物线于点 Pn+ 1,设点 Pn(xn,yn),bn=x2n 2
+1

-x2n- 1,求证:数列{bn}是等比数列.

分析:依题意可知,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),…, Pn(xn,yn),Pn+ 1(xn+ 1,yn+ 1)……都在抛物线上,且直线 1 PnPn+ 1 的斜率为 n,据此可建立{xn}的一个递推关系式, 2 bn+ 1 再依据此关系式证明 为常数即可. bn

解析:∵Pn(xn,yn),Pn+ 1(xn+1,yn+1)在抛物线上,
2 ∴xn=4yn,①

x2+ 1=4yn+ 1,② n

yn+ 1-yn 1 1 又∵直线 PnPn+1 的斜率为 n,即 = n, 2 xn+ 1-xn 2 将①②代入上式,可得
2 2 1 xn+ 1-xn 1 1 · = ,即 xn+1+xn= n- 2, 4 xn+ 1-xn 2n 2

∴bn=x2n+1-x2n-1=(x2n+1+x2n)-(x2n+x2n-1)

bn+ 1 1 = 2n-2- 2n-3=- 2n-2,故 = , bn 4 2 2 2 1 1 1 1 ∴{bn}是以-1 为首项, 为公比的等比数列. 4

(文)已知 m、n、m+n 成等差数列,m、n、mn 成 x2 y2 等比数列,则椭圆 + =1 的离心率为________. m n

解析:由 2n=2m+n 和 n2=m2n 可得 m=2,n =4, n-m 2 ∴e= = . 2 n

2 答案: 2

x2 y2 (理)椭圆 + =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,…, 4 3 1 Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|}是公差大于 的等 1000 差数列,则 n 的最大值为( A.2001 C.1999 B.2000 D.1998 )

分析:公差确定后,首项和末项之差越大,等差数 列的项数就越多(即 n 越大),故 P1 与 Pn 取长轴两端点时 1 n 取最大值,可依据公差大于 列不等式解. 1000

解析:由椭圆方程知,a=2,c=1, ∵|PnF|max=a+c=3,|PnF|min=a-c=1, an-a1 3-1 1 d= = > ,∵n∈N,∴nmax=2000, n-1 n-1 1000 故选 B.

答案:B

数列与三角函数知识的综合应用
[例 4] 在△ABC 中,tanA 是以-4 为第 3 项,4 为

1 第 7 项的等差数列的公差,tanB 是以 为第 3 项, 为第 6 9 3 项的等比数列的公比,则这个三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形 )

? 9 ?1 4-?-4? 解析:tanA= =2,tanB=? 1 ? 3 =3, ? ? 7-3 ? 3 ? 即在△ABC 中,tanA=2>0,tanB=3>0, tanA+tanB 3π tan(A+B)= =-1,∴A+B= . 4 1-tanA· tanB π ∴C= ,△ABC 为锐角三角形,故选 B. 4

答案:B

(文)若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且 最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的取值范围是 ( ) A.(1,2) C.[3,+∞) B.(2,+∞) D.(3,+∞)

解析:设 a>b>c,∵A、B、C 成等差数列 ∴B=60° 又∵△ABC 为钝角三角形, , ∴0° <C<30° , 3 1 -C? 2 cosC+ 2sinC a sinA sin?120° ∴ = = = c sinC sinC sinC 3 1 = + >2,故选 B. 2tanC 2

答案:B

(理)(2011· 苏北九校联考)已知

? ? π? ?π α∈?0, ?∪? ,π?,且 2 ? ?2 ? ?

sinα,sin2α,sin4α 成等比数列,则 α 的值为________.

解 析 : 由 题 意 , sin22α = sinα·sin4α , ∴ sin22α = 2sinα·sin2α·cos2α,即 sin2α=2sinα·cos2α, ∴2sinαcosα=2sinα·cos2α,即 cosα=cos2α, ∴2cos2α-1=cosα.∴(2cosα+1)(cosα-1)=0. 1 2π ∵cosα≠1,∴cosα=- ,∴α= . 2 3 2π 答案: 3

数列与方程
[例 5] 设两个方程 x2-ax+1=0,x2-bx+1=0 的 四个根组成以 2 为公比的等比数列,求 ab 的值. 分析: 根据四个根成等比数列, 可先恰当设出四个根, 再由方程中的常数项同时为 1,判断出哪两项为同一个方 程的两个根,然后用韦达定理得出根与系数的关系,从而 求出 ab 的值.

解析:设以 2 为公比,成等比数列的四个根依次为 t,2t,4t,8t(t≠0). ∵两方程 x2-ax+1=0,x2-bx+1=0 的常数项同 为 1,
?t· ? 8t=1 ∴只有? ?2t· ? 4t=1

1 时才有解,此时 t = , 8
2

∴t,8t 是其中一个方程的两根, 2t,4t 是另一方程的两 根,不妨设 t,8t 是 x2-ax+1=0 的两根,2t,4t 是 x2-bx +1=0 的两根,
?t+8t=a ? 则? ?2t+4t=b ? ?a=9t ? 即? ?b=6t ?

27 ,∴ab=54t = . 4
2

点评:等差、等比数列可与函数、方程、不等式、 复数、三角等内容进行综合应用,而在求成等差、等比 数列的几个数时,必须注意设元的技巧,如成等差数列 的三个数可设为:a-d,a,a+d,成等比数列的三个数 可设为 aq- 1,a,aq,从而简化运算.

(文)若 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0(a≠b) 1 的四个根可组成首项为 的等差数列,则 b 的值可以为 4 ( ) 3 A. 8 13 C. 24 11 B. 24 35 D. 144

1 1 1 1 1 3 1 3 解析: 由题意四个根为 、 + 、 + 、 , b= × 则 4 4 6 4 3 4 4 4 3 5 7 35 = ,或 b= × = ,选 D. 16 12 12 144

答案:D

(理)(2010· 广东罗湖区调研)在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a10 是方程 x2+12x-8=0 的两个根, 那么 S11 的值为( A.44 C.66 ) B.-44 D.-66

11×?a1+a11? 解 析 : ∵ a2 + a10 = - 12, ∴ S11 = = 2 11×?a2+a10? 11×?-12? = =-66. 2 2

答案:D

数列的实际应用
[例 6] 用分期付款的方式购买一批总价为 2300 万元 的住房,购买当天首付 300 万元,以后每月的这一天都交 100 万元,并加付此前欠款的利息,设月利率为 1%.若从 首付 300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个 月,问分期付款的第 10 个月应付多少万元?全部贷款付 清后,买这批住房实际支付多少万元?

解析:购买时付款 300 万元,则欠款 2000 万元,依 题意分 20 次付清,则每次交付欠款的数额依次购成数列 {an}, 故 a1=100+2000×0.01=120(万元), a2=100+(2000-100)×0.01=119(万元), a3=100+(2000-100×2)×0.01=118(万元), a4=100+(2000-100×3)×0.01=117(万元), …

an=100+[2000-100(n-1)]×0.01 =121-n(万元) (1≤n≤20,n∈N*).

因此{an}是首项为 120,公差为-1 的等差数列. 故 a10=121-10=111(万元), a20=121-20=101(万元). 20 次分期付款的总和为 ?a1+a20?×20 ?120+101?×20 S20= = =2210(万元). 2 2

实际要付 300+2210=2510(万元). 即分期付款第 10 个月应付 111 万元;全部贷款付清 后,买这批住房实际支付 2510 万元.

(文)假设某市 2008 年新建住房 400 万平方米,其 中有 250 万平方米是廉价住房.预计在今后的若干年 内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另 外, 每年新建住房中, 廉价住房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建廉价住房的累计面积(以 2008 年为 累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的廉价住房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于 85%?

解析:(1)设廉价住房面积形成数列{an},由题意可知 {an}是等差数列,其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+ n?n-1? ×50=25n2+225n, 2 令 25n2+225n≥4750. 即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数,∴n≥10. ∴到 2017 年底,该市历年所建廉价住房的累计面积 将首次不少于 4750 万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是 等比数列,其中 b1=400,q=1.08. 则 bn=400×1.08n- 1. 由题意可知 an>0.85bn, 有 250+(n-1)×50>400×1.08n-1×0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. ∴到 2013 年底,当年建造的廉价住房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于 85%.

(理)(2011· 湖南文,20)某企业在第 1 年初购买一台价 值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减 少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%.

(1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+…+an (2)设 An= , An 大于 80 万元, M 若 则 n 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新.

[解析] (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差 为-10 的等差数列, an=120-10(n-1)=130-10n; 3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等 4 比数列,又 a6=70, 3 n-6 所以 an=70×( ) . 4

因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 ?130-10n,n≤6, ? an= ? 3 70×? ? n- 6,n≥7. ? 4 ?

(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数 列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n -1)=125-5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570, 3 故 Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70× ×4×[1- 4 3 n-6 3 n- 6 ( ) ]=780-210×( ) . 4 4

3 n- 6 780-210×? ? 4 An= n 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列. 32 780-210×? ? 4 47 又 A8= =82 >80, 8 64 33 780-210×? ? 4 79 A9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新.

数列与函数
*[例 7] (文)(2010· 福建龙岩市质检)已知函数 f(x)的

图象是顶点为(2,4)且过原点的抛物线,g(x)是图象经过点 (3,8)的指数函数,已知数列{an}和{bn}中,数列{an}的前 n 项和记为 Sn.若点(n,Sn)在函数 y=f(x)的图象上,点(n, bn)在函数 y=g(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.

解析:设 f(x)=a(x-2)2+4,将(0,0)代入得 a=-1, ∴f(x)=-x2+4x,设 g(x)=ax,将(3,8)代入得 a=2, ∴g(x)=2x, 由条件得 Sn=-n2+4n, ∵当 n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=-2n+5. 又当 n=1 时,a1=S1=3,也符合上式, ∴an=-2n+5.

(2)由已知得 bn=2n,anbn=(-2n+5)2n, ∴Tn=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+ 5)2n ① 2Tn =3×22 +1×23 +(-1)×24 +…+(-2n+ 5)2n+ 1 ②-①可得 ②

Tn=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1 23?1-2n-1? = +(-2n+5)2n+ 1-6 1-2 =(-2n+7)2n+1-14.

? 1? *(理)已知点?1, ?是函数 3? ?

f(x)=ax(a>0, a≠1)的图 且

象上一点,等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,数列 {bn}(bn>0)的首项为 c, 且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn + Sn- 1(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
? 1 ? ? ? ? ?前 (2)若数列 ?bnbn+ 1? ? ?

1000 n 项和为 Tn, 问使 Tn> 的最 2009

小正整数 n 是多少?

? 1? 解析:(1)∵点?1, ?是函数 3? ?

f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的

1 图象上一点,∴f(1)=a= . 3 已知等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)-c,则当 n≥2 2 时,an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=a (1-a )=- n. 3
n
-1

1 ∵{an}是等比数列,∴{an}的公比 q= . 3

2 1 ∴a2=- =a1q=[f(1)-c]× , 9 3 2 解得 c=1,a1=- . 3 2 故 an=- n(n≥1). 3 由题设知{bn}(bn>0)的首项 b1=c=1, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= Sn+ Sn- 1(n≥2),

由 Sn-Sn- 1= Sn+ Sn- 1? Sn- Sn- 1=1,且 S1 = b1=1. ∴{ Sn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 即 Sn=n?Sn=n2. ∵bn=Sn-Sn- 1=2n-1(n≥2), 又 b1=1=2×1-1, 故数列{bn}的通项公式为:bn=2n-1(n≥1).

(2)∵bn=2n-1(n≥1), 1 ? 1 1? 1 ? ? - ∴ = ? . 2?2n-1 2n+1? bnbn+ 1 ? ∴Tn= ?
k= 1 n

1 bkbk+ 1

? 1 1 ?? 1??1 1 ? ?1 1? ? ? ?? = ??1-3 ?+?3-5?+…+?2n-1- 2n+1?? 2?? ? ? ? ? ??

n = . 2n+1

1000 n 1000 1000 1 要 Tn> ? > ?n> =111 , 2009 2n+1 2009 9 9 故满足条件的最小正整数 n 是 112.

一、选择题 1.(文)(2011· 佛山月考)若 a,b,c 成等比数列,则 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数是( A.0 C.2 B.1 D.不确定 )

[答案] A

[解析]

由题意知,b2 =ac>0,∴Δ=b2 -4ac=-

3ac<0,∴f(x)的图象与 x 轴无交点.

(理)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+ 1 是函 数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( A.24 C.48 B.32 D.64 )

[答案] D

[解析] 依题意有 anan+ 1=2n,所以 an+ 1an+ 2=2n+1, an+ 2 两式相除得 =2,所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2, an a4,a6,…成等比数列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24 =32, 11=1×25=32.又因为 an+an+1=bn, a 所以 b10=a10 +a11=64,故选 D.

2. (文)(2011· 黑龙江部分重点中学质量检测)在等差数 列{an}中,若 a1,a2011 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a2+a1006+a2010=( A.10 C.20 ) B.15 D.40

[答案] B

[解析] 由题意知,a1+a2011=a2+a2010=2a1006=10, 所以 a2+a1006+a2010=3a1006=15,故选 B.

(理)(2011· 枣庄质检)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+ 1 m 2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列,则 =( 2 n 3 A. 2 2 C. 3 3 2 B. 或 2 3 D.以上都不对 )

[答案] B

[解析]

设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx

+2)=0 的四个根,不妨设 a<c<d<b,则 a· b=c· d=2,a 1 = ,故 b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2, 2 9 则 m=a+b= ,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b 2 9 m 3 2 = ,则 = 或 . 2 n 2 3

二、解答题 3.(文)(2011· 湖北文,17)成等差数列的三个正数的 和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比 数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5 (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等 4 比数列.

[解析] a,a+d.

(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,

依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). ∴b3=5,b4=10,b5=20,∴{bn}的公比 q=2.

5 由 b3=b1· ,即 5=b1· ,解得 b1= . 2 2 4
2 2

5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项 4 5 n- 1 公式为 bn= · =5·n-3. 2 2 4

5 ?1-2n? 4 5 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5·n-2- ,即 2 4 1-2 5 Sn+ 1+ 5·n- 1 2 5 5 5 4 n- 2 Sn+ =5· ,所以 S1+ = , 2 = =2, 4 4 2 5 5·n- 2 2 Sn+ 4 5 5 因此{Sn+ }是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4 2

x (理)(2011· 济南模拟)已知 f(x)= , 数列{an}为首项 1+x 1 是 1,以 f(1)为公比的等比数列:数列{bn}中 b1= ,且 2 bn+ 1=f(bn). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; 1 (2)令 cn=an( -1),{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: bn 对?n∈N+ ,有 1≤Tn<4.

1 1 n-1 [解析] (1)f(1)= ,an=( ) . 2 2 bn 1 1 由 bn+1=f(bn)= , 两边同取倒数得, - = bn+1 bn+ 1 bn 1, 1 所以数列{ }为等差数列. bn 1 1 故 =n+1,所以 bn= . bn n+1

1 n-1 (2)cn=n· ) , ( 2 10 11 1 n-1 Tn=1×( ) +2×( ) +…+n×( ) , 2 2 2 1 11 12 1n Tn=1×( ) +2×( ) +…+n×( ) , 2 2 2 2 n+2 两式相减整理得,Tn=4- n- 1 . 2

n+2 n+2 因为 n- 1 >0,所以 Tn=4- n- 1 <4, 2 2 n+2 n+3 1 又 Tn+1-Tn= n- 1 - n = n[2n+4-(n+3)] 2 2 2 1 = n(n+1)>0, 2 所以{Tn}单调递增. {Tn}min=T1=1,所以 1≤Tn<4. 故?n∈N+ ,有 1≤Tn<4.


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