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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5_图文

复习回顾
a b c ? 正弦定理:   ? sin A sin B sin C

余弦定理: 2 2 2 a =b +c -2bccosA

b2= a2+c2-2accosB
c2 =a2+ b2-2abcosC

复习回顾
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R

(其中:R为△ABC的外接圆半径) 三角形面积公式:
S ?ABC 1 1 1 ? bc sin A ? ca sin B ? ab sinC 2 2 2

例1 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5, AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求BD的长.
A 5 B
45°

D 9
30°

C

2 AB2? ?? AC ?? BC ?ABC BAD ? 2 ? 2 AC ? BC ? cos ?BCA

AB AC AC sin ?BCA 9 ? ? sin ?ABC ? ? sin?BCA sin?ABC AB 10

9 ? sin ?BAD ? sin ?? ? ?ABC ? ?? sin ?ABC ? 10
AB BD ? sin ?ADB sin ?BAD

例2 一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由点 A开始作匀速直线运动,到达点B时,发现足球在 点D处正以2倍于自己的速度像点A作匀速直线滚动. 如图所示,已知 AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAC ? 45? 若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最 快可在何处截住足球?
B

4 2
45°

x
17 ? 2 x
C

A

2x

D

BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A

例3 锐角三角形中,边a、b是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,角A、B满足 2sin ? A ? B ? ? 3 ? 0 . 计算角C和边c的长度及△ABC的面积。

解: ? 2sin ? A ? B ? ? 3 ? 0 又∵△ABC为锐角三角形 ? A ? B ? 120? ?C ? 60?

3 ? sin ? A ? B ? ? 2

∵边a、b是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根 ?a ? b ? 2 3, ab ? 2 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C ? ? a ? b ? ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6
?c ? 6 1 3 ? S?ABC ? ab sin C ? 2 2

P55 练习
A

D

C

B 解: 在△ABD中,由余弦定理可得

BD ? AB ? AD ? 2 AB?AD cos 45
2 2 2

?

? AB2 ? AD2 ? 2 AB?AD
在△ACD中,由余弦定理可得

AC 2 ? AD2 ? AB 2 ? 2 AD?AB cos135? ? AD2 ? AB2 ? 2 AD?AB 2 2 2 2 2 BD ?AC ? ? AB ? AD ? ? 2 AB 2 ?AD 2 ? AB 4 ? AD 4

P56 习题2-2 A组 :

2
AB BC ? sin ?ACB sin ?BAC

A 解: 在△ABC中,由正弦定理可得
75?
60? 45?

?

B

4

?

3 ?1

?

D 在△ABD中,由余弦定理可得
2 2

C

? AB ? 8

?

3 ?1

?

AD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB?AD cos 60?
? 64
2

? 3 ?1? ? 16 ? 3 ?1? ? 64 ? ? 48 ? 3 ? 1? AD ? 4 3 ? 3 ? 1? ? 4 ?3 ? 3 ?

1 3 ?1 ? 2
2

?

3.
A 5 B
45?

解: 在△ADC中,由余弦定理可得

AC ? CD ? AD 11 cos C ? ? 2 AC ? CD 14 C 5 2 3 D ? sin C ? 1 ? cos C ? 3 14
7
2 2 2

在△ABC中,由正弦定理可得
? AB AC ? sin C sin B 5 6 2

? AB ?


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