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2016-2017年数学·必修1(苏教版)习题:第3章3.1-3.1.2指数函数 Word版含解析

第3章

指数函数、对数函数和幂函数 3.1 3.1.2
A级

指数函数 指数函数
基础巩固 )

1.下列一定是指数函数的是( A.形如 y=ax 的函数 C.y=(|a|+2)-x 答案:C 2.下列判断正确的是( A.2.52.5>2.53 C.π2<π
2

B.y=xa(a>0,a≠1) D.y=(a-2)ax

) B.0.82<0.83 D.0.90.3>0.90.5

解析:因为 y=0.9x 是减函数,且 0.5>0.3, 所以 0.90.3>0.90.5. 答案:D 3.函数 y=2x+1 的图象是( )

解析:当 x=0 时,y=2,且函数单调递增,故选 A. 答案:A 4. 函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex+1 ) B.ex-1

C.e-x-1

D.e-x+1

解析:和 y=ex 关于 y 轴对称的是 y=e-x,将其向左移一个单位 即 y=e-x-1. 答案:C 5 . (2014· 江西卷 ) 已知函数 f(x) = 5 x(a∈R).若 f(g(1))=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.-1 解析:先求函数值,再解指数方程. 因为 g(x)=ax2-x,所以 g(1)=a-1.因为 f(x)=5|x|, 所以 f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1.所以|a-1|=0. 所以 a=1. 答案:A 6.当 x>0 时,函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1,则实数 a 的取 值范围是( ) B.|a|<1 D.|a|> 2 )
?

x ?

, g(x) = ax2 -

A.1<|a|<2 C.|a|>1

解析:根据指数函数性质知 a2-1>1,即 a2>2. 所以|a|> 2. 答案:D
? 2 3? x ? 2 3? 1-x 7 .已知 ?a +a+2? > ?a +a+2? ,则实数 x 的取值范围 ? ? ? ?

________. 3 ? 1?2 5 解析:因为 a2+a+ =?a+2? + >1, 2 ? 4 ?

? 2 3?x 即 y=?a +a+2? 在 R 上为增函数, ? ?

1 所以 x>1-x?x> . 2
?1 ? 答案:?2,+∞? ? ?

8.函数 y=a2x+b+1(a>0,且 a≠1,b∈R)的图象恒过定点(1, 2),则 b 的值为________. 解析:因为函数 y=a2x+b+1 的图象恒过定点(1,2),
? ?2×1+b=0, 所以? 0 即 b=-2. ? ?a +1=2,

答案:-2 9.若函数 f(x)=a+ 1 为奇函数,则 a=________. 4 +1
x

解析:因为 f(x)为奇函数且定义域为 R, 所以 f(0)=0,即 a+ 答案:- 1 2 1 32x-1- 的定义域为________. 9 1 1 =0.所以 a=- . 2 4 +1
0

10.求函数 y=

1 解析:要使函数有意义,则 x 应满足 32x-1- ≥0, 9 即 32x-1≥3-2. 因为函数 y=3x 是增函数, 1 所以 2x-1≥-2,即 x≥- . 2
? 1 ? 故所求函数的定义域为?-2,+∞?. ? ?

? 1 ? 答案:?-2,+∞? ? ?
2

?1?x -2x+2 11.求函数 y=?2? (0≤x≤3)的值域. ? ? ?1?t 解:令 t=x2-2x+2,则 y=?2? , ? ?

又 t=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为 0≤x≤3, 所以当 x=1 时,tmin=1,当 x=3 时,tmax=5.
?1? ?1? 故 1≤t≤5,所以?2? ≤y≤?2? . ? ? ? ? ? 1 1? 故所求函数的值域?32,2?. ? ?
5 1

2 12.已知函数 f(x)=1+ x . 2 -1 (1)求函数 f(x)的定义域; (2)证明函数 f(x)在(-∞,0)上为减函数. (1)解:f(x)=1+ 2 , 2 -1
x

因为 2x-1≠0,所以 x≠0. 所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2)证明:任意设 x1,x2∈(-∞,0)且 x1<x2. 2(2x2-2x1) 2 2 f(x1)-f(x2)= - = . 2x1-1 2x2-1 (2x1-1)(2x2-1) 因为 x1,x2∈(-∞,0)且 x1<x2, 所以 2x2>2x1 且 2x1<1,2x2<1. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(-∞,0)上为减函数.

B级

能力提升 )

1 13.函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是( a

? 1? 1 1 解析:函数 y=ax- 过点?0,1-a?,当 a>1 时,1- ∈(0,1) a a ? ?

1 1 且为增函数,排除 A,B;当 0<a<1 时,1- <0 且 y=ax- 为减函 a a 数,排除 C. 答案:D 14.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x) =ax-a-x+2(a>0,且 a≠1),若 g(2)=a,则 f(2)等于( A.2 B. 15 17 C. D.a2 4 4 )

解析:因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以由 f(x)+g(x)=ax-a-x+2.① 所以得 f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2.② ①+②,得 g(x)=2, ①-②,得 f(x)=ax-a-x. 又 g(2)=a,所以 a=2.所以 f(x)=2x-2-x. 15 所以 f(2)=22-2-2= . 4

答案:B

15 .若函数

?x,x<0, f(x) = ? 则不等 式 ?1?x ???3?? ,x≥0,

1

1 f(x)≥ 的解集是 3

________. 1 ?1?x 1 解析:(1)当 x≥0 时,由 f(x)≥ 得?3? ≥ , 3 ? ? 3 所以 0≤x≤1. 1 1 (2)当 x<0 时,不等式 ≥ 明显不成立, x 3 1 综上可知不等式 f(x)≥ 的解集是{x|0≤x≤1}. 3 答案:{x|0≤x≤1} 16.若函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最 小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a= ________. 1 解析:当 a>1 时,有 a2=4,a-1=m?a=2,m= ,但此时 g(x) 2 1 =- x为减函数,不合题意.若 0<a<1,则 a-1=4,a2=m?a= , 4 1 m= ,适合题意. 16 答案: 1 4
2

?1?ax -4x+3 17.已知函数 f(x)=?3? . ? ?

(1)若 a=-1 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)如果函数 f(x)有最大值 3,求实数 a 的值.

?1?-x -4x+3 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=?3? , ? ?

2

令 g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7, 由于 g(x)在(-2,+∞)上递减,
?1? y=?3? 在 R 上是减函数, ? ?
x

所以 f(x)在(-2, +∞)上是增函数, 即 f(x)的单调增区间是(-2, +∞).
?1? (2)令 h(x)=ax -4x+3,f(x)=?3? ? ?
2 h(x)



由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1;

?a>0, 因此必有?12a-16 解得 a=1. =- 1 , ? 4a
故当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. 18 .一个人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 50%的速度减 少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不 得超过 0.08 mg/mL,那么喝了少量酒的驾驶员,至少要过几小时才 能驾驶(精确到 1 小时)? 解 : 1 小 时 后 驾 驶 员 血 液 中 的 酒 精 含 量 为 0.3(1 - 50%)mg/mL,…,x 小时后其酒精含量为 0.3(1-50%)xmg/mL,由
?1? 4 题意知 0.3(1-50%) ≤0.08,?2? ≤ . 15 ? ?
x x

?1? 1 4 采用估算法,x=1 时,?2? = > . 2 15 ? ? ?1? 1 4 4 x=2 时,?2? = = < . 4 16 15 ? ?
2

1

?1? 由于?2? 是减函数,所以满足要求的 x 的最小整数为 2. ? ?

x

故至少要过 2 小时驾驶员才能驾驶.


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