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2014高考新课标数学考点总动员 考点3 看似复杂,实则简单,带你融汇贯通三角问题


一 专题综述
该专题是高考重点考查的部分, 从最近几年考查的情况看, 主要考查三角函数的图象和 性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角 函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用.该部分在试卷中一般是 2~3 个选择题或者填空题,一个解答题,选择题在于有针对性地考查本专题的重要知识点 (如三角函数性质、平面向量的数量积等),解答题一般有三个命题方向,一是以考查三角函 数的图象和性质为主,二是把解三角形与三角函数的性质、三角恒等变换交汇,三是考查解 三角形或者解三角形在实际问题中的应用.由于该专题是高中数学的基础知识和工具性知 识,在试题的难度上不大,一般都是中等难度或者较为容易的试题.基于这个实际情况以及 高考试题的相对稳定性.

二 考纲解读
1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化.借助单位圆理解任意角三角函数 π (正弦、余弦、正切)的定义.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2±α,π±α 的正弦、 余弦、正切),能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. π π 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性质(如单调性、最 ? ? sinx 大和最小值、图象与 x 轴交点等).理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, cosx =tanx.结合具体实例,了解 y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出 y= Asin(ωx+φ)的图象,观察参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型. 4.掌握正弦定理、 余弦定理, 并能解决一些简单的三角形度量问题.能运用两角和与差的正弦、 余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆) 5.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

三.2012 年高考命题趋向
1.在选择题或者填空题部分命制 2~3 个试题,考查三角函数的图象和性质、通过简单的三 角恒等变换求值、解三角形等该专题的重点知识中的 2~3 个方面.试题仍然是突出重点和 重视基础,难度不会太大. 2.在解答题的前两题(一般是第一题)的位置上命制一道综合性试题, 考查综合运用该部分 知识分析解决问题的能力,试题的可能考查方向如我们上面的分析.从难度上讲,如果是单 纯的考查三角函数图象与性质、解三角形、在三角形中考查三角函数问题,则试题难度不会

大, 但如果考查解三角形的实际应用, 则题目的难度可能会大一点, 但也就是中等难度. 由 于该专题内容基础,高考试题的难度不大,经过一轮复习的学生已经达到了高考的要求,二 轮复习就是在此基础上进行的巩固和强化,在复习中注意如下几点: (1)该专题具有基础性和工具性,虽然没有什么大的难点问题,但包含的内容非常广泛, 概念、公式、定理很多,不少地方容易混淆,在复习时要根据知识网络对知识进行梳理,系 统掌握其知识体系. (2)抓住考查的主要题型进行训练, 要特别注意如下几个题型: 根据三角函数的图象求函数 解析式或者求函数值, 根据已知三角函数值求未知三角函数值, 与几何图形结合在一起的平 面向量数量积,解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用,解三角形的 实际应用问题. (3)注意数学思想方法的应用,该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与 转化思想(变换), 在复习中要有意识地使用这些数学思想方法, 强化数学思想方法在指导解 题中的应用.

四.高频考点解读
考点一 三角函数的定义
例 1 [2011·课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y=2x 上,则 cos2θ=( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 【答案】B 【解析】 解法 1:在角 θ 终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2, a2 1 2 3 ∴cos2θ= 2= ,∴cos2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5 5 5a 5 2 2 cos θ-sin θ 1-tan2θ 2a 3 解法 2:tanθ= =2,cos2θ= 2 = =- . a 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ 例 2 [2011·江西卷] 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终 2 5 边上一点,且 sinθ=- ,则 y=________. 5 【答案】-8 【解析】 r= x2+y2= 16+y2, 2 5 y y 2 5 ∵sinθ=- ,∴sinθ= = 2=- 5 ,解得 y=-8. 5 r 16+y 【解题技巧点睛】以三角函数的定义为载体,求三角函数的值.题目的鲜明特点是给出角的 终边上的点的坐标,此时我们要联想到三角函数的定义求解所需三角函数值.

考点二 三角恒等变换
sin2α 例 3 [2011·福建卷] 若 tanα=3,则 2 的值等于( ) cos α A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】D sin2α 2sinαcosα 2sinα 【解析】 因为 2 = = =2tanα=6,故选 D. cos α cos2α cosα π π β β π π 1 3 例 4[2011·浙江卷] 若 0<α< , <β<0, ?4+α?= , ?4-2?= , cos?α+2?=( - cos? ? 3 cos? ? 3 则 ? ? 2 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 【答案】C

)

1 π 例 5 [2011·广东卷] 已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? 5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 5π? 1 5 π? π 【解答】 (1)f? 4 ?=2sin?3×4π-6?=2sin = 2. ? ? 4 π 1 π π 10 (2)∵ =f3α+ =2sin ×3α+ - =2sinα, 2 3 2 6 13 1 π π 6 =f(3β+2π)=2sin?3×(3β+2π)-6?=2sin?β+2?=2cosβ, ? ? ? ? 5 π? 3 5 ∴sinα= ,cosβ= ,又∵α,β∈?0,2?, ? 5 13 5 12 ∴cosα= 1-sin2α= 1-?13?2= , ? ? 13 3 4 sinβ= 1-cos2β= 1-?5?2= , ? ? 5 3 12 5 4 16 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × = . 5 13 13 5 65 【解题技巧点睛】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:一角二名三结构. 即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: (1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角 与其和差角的变换. 如 α = (α + β ) ? β = (α ? β ) + β , 2α = (α + β ) + (α ? β ) ,

2 (2)三角函数名互化:切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用:如

2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) , α + β = 2 ?

α +β
2



α+β

= α?

(

β
2

) (α β )
? 2 ?

等.

cos (α + β ) cos β + sin (α + β ) sin β = cos α, (α + β )(1 ? tan α tan β ) = tan α + tan β . tan
2

(4)三角函数次数的降升:降幂公式有 cos α =
2 2

1 + cos 2α 1 ? cos 2α 2 , sin α = 与升幂公 2 2
[来源:Z*xx*k.Com]

式有 1 + cos 2α = 2 cos α , 1 ? cos 2α = 2 sin α . (5)式子结构的转化:对角、函数名、式子结构化同. (6)常值变换主要指“1”的变换:

1 = sin 2 x + cos 2 x = sec 2 x ? tan 2 x = tan x ? cot x = tan π = sin π = L 等. 4 2
(7)辅助角公式:a sin x + b cos x = 符号确定, θ 角的值由

a 2 + b 2 sin ( x + θ ) (其中 θ 角所在的象限由 a、b 的

tan θ =

b 确定)在求最值、 化简时起着重要作,这里只要掌握辅助角 θ 为特殊角的情况即可. a

实际上是两角和与差的三角函数公式的逆用.如

sin x ± cos x = 2 sin( x ± ),sin x ± 3 cos x = 2sin( x ± ), 3 sin x ± cos x = 2sin( x ± ) 4 3 6
等.

π

π

π

考点三 三角函数的性质
π 例 6 [2011·课标全国卷] 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为 ? ? π,且 f(-x)=f(x),则( ) π? π 3π A.f(x)在?0,2?单调递减 B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ? π? π 3π? C.f(x)在?0,2?单调递增 D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? 【答案】A π 2π 【解析】 原式可化简为 f(x)= 2sin?ωx+φ+4?,因为 f(x)的最小正周期 T= =π, ? ? ω π 所以 ω=2.所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?, ? ? 又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数, π π π 所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?=± 2cos2x,所以 φ+ = +kπ,k∈Z, ? ? 4 2 π π π 所以 φ= +kπ,k∈Z,又因为|φ|< ,所以 φ= . 4 2 4 π? 所以 f(x)= 2sin?2x+2?= 2cos2x, ? π 所以 f(x)= 2cos2x 在区间?0,2?上单调递减. ? ? π 例 7 [2011·安徽卷] 设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 f(x)≤?f?6??对一切 x ? ? ?? ∈R 恒成立,则 11π 7π π ①f? 12 ?=0;②?f?10??<?f?5??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ? ? ? ? ?? ? ? ?? π 2π ④f(x)的单调递增区间是?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). 【答案】 ①③ b a ? ? 【解析】 f(x)=asin2x+bcos2x= a2+b2sin(2x+φ)?sinφ= 2 ?,因为 2,cosφ= 2 a +b a +b2? ? π π 对一切 x∈R 时,f(x)≤?f?6??恒成立,所以 sin?3+φ?=±1. ? ? ?? ? ? π π 5π 故 φ=2kπ+ 或 φ=2kπ- (k∈Z).故 f(x)= a2+b2sin?2x+6?, ? ? 6 6 π? 或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?. ? 11π? 11π 对于①,f? 12 ?= a2+b2sin2π=0,或 f? 12 ?=- a2+b2sin2π=0,故①正确; ? ? ? 7π 7π π 47π 17π 对于②,?f?10??=? a2+b2sin? 5 +6??= a2+b2?sin 30 ?= a2+b2sin , ? ? ?? ? ? ?? ? ? 30 ?f?π??=? a2+b2sin?2π+π??= a2+b2?sin17π? ? ?5?? ? ? 5 6?? ? 30 ? 7π?? ? ?π?? 17π = a2+b2sin .所以?f?10??=?f?5??,故②错误; ?? 30 π π 对于③,由解析式 f(x)= a2+b2sin?2x+6?,或 f(x)=- a2+b2sin?2x+6?知其既不是奇函 ? ? ? ?

数也不是偶函数,故③正确; π π 2π 对于④,当 f(x)= a2+b2sin?2x+6?时,?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z)是 f(x)的单调递减区间,故 ? ? ? ? ④错误;对于⑤,要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图像不相交,则此直线须与横轴平 行,且|b|> a2+b2,此时平方得 b2>a2+b2,这不可能,矛盾,故不存在过点(a,b)的直线与 函数 f(x)的图像不相交.故⑤错. 【解题技巧点睛】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求, 而加强了对三角函数的图象与 性质的考查.在众多的性质中, 三角函数的图象的对称性是一个高考的热点.在复习时要充分 运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,同时 也要能利用函数的性质来描绘函数的图象.

考点四 三角函数的图像
π π 例 8 [2011·辽宁卷] 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象则 f?24? ? ? ? ? =( )

A.2+ 3 【答案】 B

B. 3

C.

3 3

D.2- 3

3π π π π π π π 【解析】 由图象知 =2×? 8 -8?= ,ω=2.又由于 2× +φ=kπ+ (k∈Z),φ=kπ+ (k ? ? 2 ω 8 2 4 π? π π ∈Z),又|φ|< ,所以 φ= .这时 f(x)=Atan?2x+4?.又图象过(0,1),代入得 A=1,故 f(x)= ? 2 4 π π π π tan?2x+4?.所以 f?24?=tan?2×24+4?= 3,故选 B. ? ? ? ? ? ? 例 9[2011·天津卷] 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小 π 正周期为 6π,且当 x= 时, f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 【答案】A 2π 1 1 π π 【解析】 ∵ =6π,∴ω= .又∵ × +φ=2kπ+ ,k∈Z 且-π<φ≤π, ω 3 3 2 2 1 π? π π 1 π π ∴当 k=0 时,φ= ,f(x)=2sin?3x+3?,要使 f(x)递增,须有 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈ ? 2 3 3 2 3 5 π 5π π 5 π Z, 解之得 6kπ- ≤x≤6kπ+ , k∈Z, k=0 时, π≤x≤ , 当 - ∴f(x)在?-2π,2?上递增. ? ? 2 2 2 2 π π 例 10 [2011·课标全国卷] 设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ) ? ? ? ? π π A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 4 π π B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 ? ? 2 π? π C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? 4 π? π D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 ? 2
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【答案】D π π π 【解析】 f(x)= 2sin?2x+4+4?= 2sin?2x+2?= 2cos2x, ? ? ? ? π? π? 所以 y=f(x)在?0,2?内单调递减,又 f?2?= 2cosπ=- 2,是最小值. ? ? π 所以函数 y=f(x)的图像关于直线 x= 对称. 2 【解题技巧点睛】 1.根据三角函数的图象求解函数的解析式时,要注意从图象提供的信息确定三角函数 的性质,如最小正周期、最值,首先确定函数解析式中的部分系数,再根据函数图象上的特 殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值, 同时要注意解析式中各个字母 的范围. 2. 进行三角函数的图象变换时, 要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身, 特别在平移变换中,如果这个变量的系数不是 1,在进行变换时变量的系数也参与其中,如 π π π π 把函数 y=sin?2x+4?的图象向左平移 个单位时,得到的是函数 y=sin?2?x+12?+4? = ? ? ? ? 12 ? ? 5π sin2x+ 的图象. 12 3.解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的核心,把三角函数的解析式通 过变换,化为正弦型、余弦型、正切型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的 性质进行研究.

考点五 与三角相关的最值问题
例 11[2011·课标全国卷] 在△ABC 中, B=60°, AC= 3, AB+2BC 的最大值为________. 则 【答案】2 7 【解析】 因为 B=60°,A+B+C=180°,所以 A+C=120°, 由正弦定理,有 AB BC AC 3 = = = =2 , sinC sinA sinB sin60° 所以 AB=2sinC,BC=2sinA. 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120°-A)+4sinA =2(sin120°cosA-cos120°sinA)+4sinA = 3cosA+5sinA 3 5 =2 7sin(A+φ),(其中 sinφ= ,cosφ= ) 2 7 2 7 所以 AB+2BC 的最大值为 2 7. 例 12 [2011·湖南卷] 在△ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; π (2)求 3sinA-cos?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小. ? ? 【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A<π,所以 sinA>0. 从而 sinC=cosC. π 又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C= . 4 3π (2)由 (1)知,B= -A,于是 4 π? 3sinA-cos?B+4?= 3sinA-cos(π-A) ? π = 3sinA+cosA=2sin?A+6?. ? ?

π 3π π π 11π π π π 因为 0<A< ,所以 <A+ < .从而当 A+ = ,即 A= 时,2sin?A+6?取最大值 2. ? ? 4 6 6 12 6 2 3 π? π 5π 综上所述, 3sinA-cos?B+4?的最大值为 2,此时 A= ,B= . ? 3 12 例 13[2011·福建卷] 设函数 f(θ)= 3sinθ+cosθ,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. 1 3 (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ)的值; ?2 2 ?

?x+y≥1, ? (2)若点 P(x,y)为平面区域 :?x≤1, ?y≤1 ?
函数 f(θ)的最小值和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求

?sinθ= 23, 【解答】 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得? 1 ?cosθ=2.
3 1 + =2. 2 2 (2)作出平面区域 (即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). 于是 f(θ)= 3sinθ+cosθ= 3×

π 于是 0≤θ≤ . 2 π 又 f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin?θ+6?, ? ? π π 2π 且 ≤θ+ ≤ , 6 6 3 π π π 故当 θ+ = ,即 θ= 时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; 3 6 2 π π 当 θ+ = ,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. 6 6 【解题技巧点睛】三角函数的最值既是高考中的一个重点,也是一个难点,其类型丰富,解 决的方法比较多.但是归纳起来常见的下面三种类型: (1)可化为 y = A sin ω x + ? ) + B 型函数值域:利用三角公式对原函数进行化简、整理, ( 最终得到 y = A sin ω x + ? ) + B 的形式,然后借助题目中给定的 x 的范围,确定 ω x + ? 的 ( 范 围 , 最 后 利 用 y = sin x 的 图 象 确 定 函 数 的 值 域 . 如 : y = a sin x + b 、

y = a sin x + b cos x + c y = a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x 等.
(2)可化为 y = f (sin x) 型求函数的值域: 首先借助三角公式, 把函数化成 y = f (sin x) 型, 然后采用换元法,即令 t = sin x ∈ [?1,1] ,构造关于 t 的函数,然后根据具体的结构,采取

相应的方法求解.如: y = a sin x + b sin x + c 、 y = a sin x cos x + b(sin x ± cos x ) + c 可
2

转化为二次函数求值域;y = sin x +

a 、y = a tan x + b cot x 可转化为对号函数求值域. sin x

(3)利用数性结合思想求函数的值域:此类题目需分析函数的结构特征,看能否转化为有几 何含义的式子结构,有时也可以把函数图象画出来,直接观察确定函数的值域.如

y=

a sin x + b ,常转化为直线的斜率的几何含义求解. c cos x + d

考点六 解三角形的相关问题
例 14 [2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ABC 的面积为________. 【答案】15 3 【解析】 不妨设∠A=120°,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos120°= b2+(b-4)2-(b+4)2 1 1 =- ,解得 b=10,所以 c=6.所以 S= bcsin120°=15 3. 2 2 2b(b-4) π 例 15 [2011·北京卷] 在△ABC 中, b=5, 若 ∠B= , tanA=2, sinA=________; 则 a=________. 4 2 5 2 10 【答案】 5 2 5 a b a 5 【解析】 因为 tanA=2,所以 sinA= ;再由正弦定理有: = ,即 = ,可 5 sinA sinB 2 5 2 5 2 得 a=2 10. 例 16 [2011 ·福建卷] 如图 1-5,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ ADC=45°,则 AD 的长度等于________. 【答案】 2 【解析】 在△ABC 中,由余弦定理,有 AC2+BC2-AB2 (2 3)2 3 cosC= = = ,则∠ACB=30°. 2AC·BC 2×2×2 3 2 在△ACD 中,由正弦定理,有 AD AC = , sinC sin∠ADC 1 2× 2 AC·sin30° ∴AD= = = 2,即 AD 的长度等于 2. sin45° 2 2 cosA-2cosC 例 17 [2011·山东卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = cosB 2c-a . b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 a b c 【解答】 (1)由正弦定理,设 = = =k. sinA sinB sinC 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA = = . 则 ksinB sinB b

cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以原等式可化为 = . cosB sinB 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又因为 A+B+C=π, 所以原等式可化为 sinC=2sinA, sinC 因此 =2. sinA sinC (2)由正弦定理及 =2 得 c=2a, sinA 1 1 由余弦定理及 cosB= 得 b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2× =4a2. 4 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2. 【解题技巧点睛】 1.使用正弦定理能够解的三角形有两类,一类是已知两边及其中一边的对角,一类已知一 边和两个内角(实际就是已知三个内角), 其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出 第三边,再求内角.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可能情况,判断解的情况 的基本依据是三角形中大边对大角. 2.当已知三角形 的两边和其中一个边的对角求解第三边时,可以使用正弦定理、也可以使 用余弦定理, 使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程, 这个方程联系着三角形的三 个边和其中的一个内角. 3.正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系,余弦定理揭示了三角形的 三边和 其中一个内角的余弦之间的关系.

考点七 三角化简与三角函数相结合
π 例 18 [2011·天津卷] 已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos2α,求 α 的大小. ? ? ? ? π π π kπ 【解答】 (1)由 2x+ ≠ +kπ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z. 8 2 4 2 ? ? π kπ 所以 f(x)的定义域为?x∈R?x≠8 + ,k∈Z?. ? 2 ? ? π f(x)的最小正周期为 . 2 π sin?a+4? ? ? α? π? (2)由 f?2?=2cos2α,得 tan?α+4?=2cos2α, =2(cos2α-sin2α), ? ? π? ?α+ cos? 4? sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα π 因为 α∈?0,4?,所以 sinα+cosα≠0, ? ? 1 1 因此(cosα-sinα)2= ,即 sin2α= . 2 2 π? π? π π 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?,所以 2α= ,即 α= . ? ? 6 12 例 19 [2011·江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB +bcosC. (1)求 cosA 的值;

2 3 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值. 3 【解答】 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC, 1 有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a,即 cosA= . 3 1 2 2 (2)由 cosA= 得 sinA= , 3 3 1 2 2 则 cosB=-cos(A+C)=- cosC+ sinC, 3 3 2 3 代入 cosB+cosC= , 3 π 3 6 得 cosC+ 2sinC= 3,从而得 sin(C+φ)=1,其中 sinφ= ,cosφ= ,0<φ< . 2 3 3 π 6 则 C+φ= ,于是 sinC= , 2 3 asinC 3 由正弦定理得 c= = . sinA 2 【解题技巧点睛】解答三角综合问题的策略: (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”. (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系. (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化.
[来源:学*科*网]

考点八 三角化简和解三角形相结合
例 20 [2011·安徽卷] 在△ABC 中, b , 分别为内角 A, C 所对的边长, a, c B, a= 3, b= 2, 1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. 【解答】 由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A,得 1-2cosA=0, 1 3 cosA= ,sinA= . 2 2 bsinA 2 再由正弦定理,得 sinB= = . a 2 π 2 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B< ,从而 cosB= 1-sin2B= . 2 2 2 3 1 由上述结果知 sinC=sin(A+B)= ? + ?. 2 ? 2 2? 3+1 设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC= . 2 例 21 [2011·江西卷]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1 C -sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C C C C 【解答】 (1)由已知得 sinC+sin =1-cosC,即 sin ?2cos 2 +1?=2sin2 , ? 2 2? 2 C C C C C 1 3 由 sin ≠0 得 2cos +1=2sin ,即 sin -cos = ,两边平方得:sinC= . 2 2 2 2 2 2 4 C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin -cos = >0 得 < < ,即 <C<π,则由 sinC= 得 cosC=- , 2 2 2 4 2 2 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8 得:(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1.

【解题技巧点睛】 利用正弦定理与余弦定理解题,经常利用转化思想,一个是边转化为角,另一个是角转化为 边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边 的统一,也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目,应优 先考虑利用正弦定理, 会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小, 此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论;利用余弦定理的推论,可根据 角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角,但是计算麻烦.

针对训练
一.选择题

1.【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】
若 sin α = ? , a ∈ ? ?

3 5

5 ? ? π ? ? , 0 ? , 则 cos ? α + π ? = 4 ? ? 2 ? ?
B.





A. ? 答案:C

2 10
3 5

2 10
, 0) 得 cos α = 4 , 5

C. ?

7 2 10

D.

7 2 10

解析:由 sin α = ? , α ∈ ( ? 所以 cos(α +

π
2

5π 5π 5π 2 4 3 7 2 ) = cos cos α ? sin sin α = ? ( + )=? . 4 4 4 2 5 5 10

2.【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】
将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 是( ) B. y = 2sin 2 x

π
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式

A. y = 2 cos 2 x C. y = 1 + sin( 2 x + 答案:A 解析: y = sin 2 x 的图象向左平移

π
4

)

D. y = cos 2 x

π
4

个单位, 再向上平移 1 个单位可得

y = sin 2( x + ) + 1 = sin(2 x + ) + 1 = cos 2 x + 1 = 2 cos 2 x . 4 2

π

π

3. 【2012 届四川自贡高三一诊】 已知函数 y = sin(2 x ? ) , 下列结论正确的个数 ( 3
①图像关于 x = ?

π



π

12

对称;

②函数在区间 [0, π ] 上的最大值为 1; ③函数图像按向量 a = ( ? A.0

r

π
6

, 0) 平移后所得图像关于原点对称.
C.2 D.3

B.1

答案:D 解析:当 x = ?

π
12

时, 2 x ?

π
3

= 2 × (?

π
12

)?

π
3

=?

π
2

,所以①正确; x ∈ [0, π ] 时

2x ?

π

r π ? π 7π ? ∈ ? ? , ? ,所以②正确;函数图像按向量 a = (? , 0) 平移后所得的解析式为 6 3 ? 3 3 ?

y = sin[2( x + ) ? ] = sin 2 x ,所以③正确. 6 3 4.【北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试】
函数 f ( x ) = A sin(2 x + ? )( A, ?  R ) 的部分图象如图所示,那么 f (0) = ( )

π

π

(A) -

1 2

(B) -

3 2

(C) - 1 答案:C 解析:由图可知, (

(D) -

3

, 2) 为函数图象的最高点,∴ A = 2, f ( ) = 2, 3 3 2π 2π 2π π ∴ 2sin( + ? ) = 2,∴ sin( + ? ) = 1,∴ + ? = + 2 kπ ( k ∈ Z ) 3 3 3 2 1 + 2kπ ) = 2 × (? ) = ?1. 故选 C. 6 6 2 5.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】
∴? = ? + 2kπ (k ∈ Z ),∴ f (0) = 2 sin ? = 2 sin(?
若x =

π

π

π

π

π
6

是函数 f ( x ) =

3 sin ω x + cos ω x 图象的一条对称轴,当 ω 取最小正数时(



A. f ( x ) 在 ( ? C. f ( x ) 在 ( ? 答案:A

π π

, ? ) 单调递减 3 6 , 0) 单调递减

π

B. f ( x ) 在 (

π π π

, ) 单调递增 6 3 6 ) 单调递增

6

D. f ( x ) 在 (0,

解析:化简函数的解析式为 f ( x ) = 2 sin(ω x +

π
6

), 依题意可知:

π π π π π π 1 f ( ) = 2 sin(ω ? + ) = ±1,∴ω ? + = kπ + (k ∈ Z ),∴ω = 6(k + ), 6 6 6 6 6 2 3
当 k = 0, 由 2 kπ ?

π ω 取得最小正数是 2,故函数的解析式为 f ( x) = 2sin(2 x + ), π
2 ≤ 2x +

π
6

≤ 2k π +

π
2

6

(k ∈ Z ) ,可知函数的单调递增区间为

[ kπ ?
因 (0,

π

, ], 故正确答案为 A. 6 3 6 6.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】

π

, kπ + ](k ∈ Z ), 当 k = 0, 函数的一个单调递增区间为 [? , ], 3 6 3 6 ) ? [?

π

π π

π π

若 β = α + 30°, 则 sin A. 答案:B

2

α + cos 2 β + sin α cos β =
B.

( C. cos 2


2

1 4

3 4

β

D. sin α

解析:将 β = a + 30o 代入 sin 2 α + cos 2 β + sin α cos β 整理为:

sin 2 α + cos 2 (a + 30o ) + sin α cos(a + 30o ) = sin 2 α + (cos a cos 30o ? sin a sin 30o ) 2 + sin α (cos a cos 30o ? sin a sin 30o )
= sin 2 α + ( 3 1 3 1 cos a ? sin a )( cos a ? sin a + sin α ) 2 2 2 2

3 1 3 1 cos a ? sin a )( cos a + sin a ) 2 2 2 2 3 1 = sin 2 α + ( cos a ) 2 ? ( sin a ) 2 2 2 3 1 3 3 = sin 2 α + cos 2 a ? sin 2 a = (sin 2 α + cos 2 a ) = . 4 4 4 4 = sin 2 α + (
故答案为 B.

7.【湖北省孝感市 2011—2012 学年度高中三年级第一次统一考试】
已知 f ( x ) = 2sin(ω x + ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的表达式为 ( )

3 π ) 2 4 3 5π B. f ( x ) = 2sin( x + ) 2 4 4 2π C. f ( x ) = 2 sin( x + ) 3 9 4 25 D. f ( x ) = 2sin( x + π) 3 18
A. f ( x ) = 2 sin( x + 答案:B 解析:由函数的图像可知,Q T = 函数过点 (

5π , 2), 代入验证 B 满足条件. 6

3 4

5 π 4 2π 3 π ? (? ),∴T = π , ω = ∴ = . 排除 C、D;又因 6 6 3 T 2

8.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】
在 △ABC 中, ∠A = A.

π
3

, BC = 3 , AB = B.

6 ,则 ∠C =
C.

π
4



3π 4

3π 4

π
4

D.

π
6

答案:C 解析: 由正弦定理 sin C =

2 π , BC = 3 ,AB = 6 , A > C , C 为锐角, C = . 又 ∴ 则 故 2 4

9.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】
函数 y = cos(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < π ) 为奇函数,该函数的部分 图像如图所示, A 、 B 分别为最高点与最低点,且 | AB |= 2 2 , 则该函数图象的一条对称轴为 A. x =

2

C. x = 2 答案:D

π

B. x =

π
2

D. x = 1

解析:由 y = cos(ω x + ? ) 为奇函数,得 ? = kπ + 合图象知

π
2

(k ∈ Z) ,又 0 < ? < π ,∴ ? =

π
2

.结

= ?1 ,∴ x = 1 是其一条对称轴. 2 10.【安徽省示范高中 2012 届高三第二次联考】
已知函数 f ( x ) = 2 cos(ω x + ? ) (ω > 0) 的图像关于直线 x = 最小值为( 答案:A ) A. 2 B. 4 C. 6

y = ? sin

π

T π π π π =1 , ∴ ω = , ∴ y = cos( x + ) = ? sin x , 当 x = 1 时 , 4 2 2 2 2

π
12

对称, f ( ) = 0 , ω 的 且 则

π

3

D. 8

解析:由题设

ωπ
12

+ φ = k1π ,

ωπ
3

+ φ = k2π +

π
2

, ,于是

ωπ
4

= (k2 ? k1 )π +

π
2

,

ω 最小可以取 2.

11. 【2012 届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 5π 已知函数 f ( x) = sin x + a cos x 的图象的一条对称轴是 x = ,则函数 g ( x) = a sin x + cos x 3
的最大值是( A. ) B.

2 2 3

2 3 3

C.

4 3

D.

2 6 3 5π 3

答案: A 解析:由函数 f ( x) = sin x + a cos x 的图象的一条对称轴是 x = 得 1 + a2 = ?

3 3 a ,所以函数 g ( x) = a sin x + cos x 的最大值是 + ,解得 a = ? 3 2 2

a2 + 1 =

1 2 2 +1 = . 3 3

12. 【2012 届河北正定中学高三上学期第二次月考】若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对
的边 a, b, c 满足 (a + b) 2 ? c 2 = 4 ,且 C = 60 ,则 a + b 的最小值为 (
0



A.

4 3
2 3 3

B. 8 ? 4 3

C. 答案:D

D.

4 3 3

解析:由余弦定理可得: c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = ( a + b) 2 ? 3ab = (a + b) 2 ? 4, 所以有 ab =

4 a+b 2 4 3 ≤( ) ,∴ ab ≥ . 3 2 3

二.填空题 13.【2012 大同市高三学情调研】在
C依次成等差数列,
答案: ,则 中,内角A、B、 外接圆的面积为_____.

49 π 3
0

解析:由题意可得 B=60 ,由余弦定理得:

AC 2 = AB 2 + BC 2 ? 2 AB BC cos 600 = 64 + 25 ? 2 × 8 × 5 ×
由正弦定理可得

1 = 49 ,所以 AC = 7 , 2

AC 7 7 3 7 3 2 49 2 = 2 R, = 2 R,∴ R = ,S =πR =π( ) = π. 0 sin 60 3 3 3 3 2

14【2012 届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 1 cos 2α ? π? 已知 sin α ? cos α = ,且 α ∈ ? 0, ? ,则 的值为 π? 2 ? ? 2? sin ? α ? ? 4? ?
答案: ?

14 2 1 7 ? π? ,且 α ∈ ? 0, ? ,得 sin α + cos α = , 2 2 ? 2?

解析: 由 sin α ? cos α =

7 cos 2α cos 2 α ? sin 2 α sin α + cos α 14 所以 . = =? =? 2 =? π? 2 ? 2 2 2 2 sin ? α ? ? sin α ? cos α 4? ? 2 2 2 2

15.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试】 在 ?ABC 中, C = 60°, AB = 答案: 11 解析:依题意,利用三角形面积相等有:

4 3, AB 边上的高为 , 则 AC+BC= 3

.

1 1 AB × h = AC BC sin 60o , 2 2 1 4 1 8 ∴ × 3 × = AC BC sin 60o ,∴ AC BC = . 2 3 2 3

AC + BC ? AB AC + BC ? 3 利用余弦定理可知 cos 60 = ,∴ cos 60o = , 8 2 AC BC 2× 3
2 2 2 2 2 o

解得: AC + BC =
2 2 2

17 . 3
2 2

又因 ( AC + BC ) = AC + BC + 2 AC BC =

17 16 + = 11,∴ AC + BC = 11. 3 3 16.【2012 届无锡一中高三第一学期期初试卷】如图,两座相距 60m

的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20m、50m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是 . 答案: 45
o

解析:考查解三角形及和差角公式; tan ∠ADC = tan ∠DAB =

60 = 3, 20

60 tan ∠ADC + tan ∠DCA = 2,∴ tan ∠DAC = tan(π ? ∠ADC ? ∠DCA) = ? 50 ? 20 1 ? tan ∠ADC tan ∠DCA 2+3 =? = 1 ,而 tan ∠ADC > 45o , tan ∠DCA > 45o ,∴∠DAC = 45o 1? 2×3 三、解答题 17.【北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试】 tan ∠DCA =
在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A = 2 B , sin B = (Ⅰ)求 cos A 及 sin C 的值; (Ⅱ)若 b = 2 ,求 ?ABC 的面积. 解: (Ⅰ)因为 A = 2 B , 所以 cos A = cos 2 B = 1- 2sin B . 因为 sin B =
2

3 . 3

………………………………………2 分

3 , 3

1 1 . 3 3 π 由题意可知, B ? (0, ) . 2
所以 cos A = 1- 2? 所以 cos B =

………………………………………3 分

1- sin 2 B =

6 . 3

………………………………………5 分

因为 sin A = sin 2 B = 2sin B cos B =

2 2 .………………………………………6 分 3

所以 sin C = sin[ π - ( A + B )] = sin( A + B )

= sin A cos B + cos A sin B =
(Ⅱ)因为
[来源:学科网]

5 3 . 9

………………………………………8 分

b a = ,b = 2 , sin B sin A

………………………………………10 分

所以

2 a = . 3 2 2 3 3 4 6 . 3
………………………………………11 分

所以 a =
学。科。网 Z。X。X。K]

[来源:

所以 S ?ABC =

1 20 2 ab sin C = . 2 9

………………………………………13 分

18.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】
如图,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位 圆交于 A , B 两点. ⑴如果 A 、 B 两点的纵坐标分别为

⑵在⑴的条件下,求 cos( β ? α ) 的值;

4 12 、 ,求 cos α 和 sin β ; 5 13
uuu uuur r

⑶已知点 C (?1 , 3) ,求函数 f (α ) = OA ? OC 的值域. 解: (1)根据三角函数的定义,得 sin α = 又 α 是锐角,所以 cos α = (2)由(1)知 sin β =

4 12 , sin β = . 5 13
( 4 分)

3 . 5

12 . 13

因为 β 是钝角,所以 cos β = ?

5 . 13
( 8 分)

5 3 12 4 33 )× + × = . 13 5 13 5 65 uuu r uuur (3)由题意可知, OA = (cos α, α ) , OC = ( ?1,3) . sin uuu uuur r π 所以 f (α ) = OA ? OC = 3 sin α ? cos α = 2 sin(α ? ) , 6 π π π π 1 π 3 因为 0 < α < ,所以 ? < α ? < , ? < sin( a ? ) < 2 6 6 3 2 6 2 uuu uuur r 从而 ?1 < f (α ) < 3 ,因此函数 f (α ) = OA ? OC 的值域为 ( ?1, 3) .
所以 cos( β ? α ) = cos β cos α + sin β sin α = ( ?

( 12 分)

19【湖北省八校 2012 届高三第一次联考】
已知幂函数 f ( x) = ( n ? 2n + 1) x
2 n2 ? 2

在(0, +∞) 上是增函数,

r r a = (sin θ , ?2), b = (1, cos θ ) , g ( x) = f (sin x + cos x) + 2 3 cos 2 x.
(1)当 a ⊥ b 时,求 g (θ ) 的值; (2)求 g ( x ) 的最值以及 g ( x ) 取最值时 x 的取值集合. 解: (1)依题设得 n = 2, f ( x) = x 2 .

r

r

r r Q a ⊥ b ,∴ tan θ = 2

g (θ ) = 2 sin θ cos θ + 2 3 cos 2 θ + 1
= 2 tan θ + 2 3 9+2 3 +1 = ……………………(6 分) 2 1 + tan θ 5

20.【浙江省名校新高考研究联盟 2012 届第一次联考】 1 在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .已知 cos B = ? . 2 (Ⅰ)若 a = 2, b = 2 3 .求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围. 解: (1) Q cos B = ?

1 3 ,∴ sin B = 2 2

由三角形正弦定理可得:
∴A=

π
6

,C =

π
6

2 2 3 1 = , sin A = , sin A sin B 2

……5 分 ……7 分

S ?ABC =

1 ab sin C = 3 2

(2) sin A ? sin C = sin(

π
3

? C ) ? sin C =

Q C ∈ (0, ) ,∴ 2C + ∈ ( , ) 6 6 6 3
∴ sin( 2C +

π

π 1 1 sin(2C + ) ? ……11 分 2 6 4

π

π 5π

π

6

1 ) ∈ ( ,1] 2

……12 分

1 则 sin A ? sin C ∈ (0, ] 4

……14 分

21.【惠州市 2012 届高三第二次调研考试】
已知函数 y = sin 4 x + 2 3 sin x cos x ? cos 4 x , (1)求该函数的最小正周期和最小值; (2)若 x ∈ [ 0, π ] , 求该函数的单调递增区间.

π? ? 解: (1) y= 3 sin 2 x + sin 4 x ? cos 4 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x= 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

(

)

………… 4 分

所以 T = π , ymin = ?2 (2) 令2kπ -

………… 6 分

π
2

≤ 2x ?

π
6

≤ 2kπ +

π
2

,k ∈ Z,则kπ -

π
6

≤ x ≤ kπ +

π
3

,k ∈ Z

…………

8分

5π 4π 令 k = 0,1 ,得到 x ∈ [- , ] 或 x ∈ [ , ] , 6 3 6 3 π 5π 与 x ∈ [0, π ] 取交集, 得到 x ∈ [0, ] 或 x ∈ [ , π ] , 3 6 ? π ? ? 5π ? 所以,当 x ∈ [0, π ] 时,函数的 递增区间是 ?0, ? 和 ? ,π ? ? 3? ? 6 ? .

π π

………… 10 分

………… 12 分

22.【北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试】 3 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos B = . 4 2 A+C (Ⅰ)求 sin 2 B + cos 的值; 2
(Ⅱ)若 b =

3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 3 7 ,所以 sin B = . 4 4
…………1 分

解析: (I)因为 cos B = 又 sin 2 B + cos
2

A+C π?B = 2 sin B cos B + cos 2 2 2

1 = 2 sin B cos B + (1 ? cos B ) 2

= 2×

7 3 1 1+ 3 7 × + = . 4 4 8 8

……………6 分

(II)由已知得 cos B = 又因为 b =
2

a 2 + c2 ? b2 3 = , 2ac 4 3 ac . 2

…………7 分

3 , 所以 a 2 + c 2 ? 3 =
2

…………8 分

又因为 a + c =

3 ac + 3 ≥ 2ac , 2
6 时, ac 取得最大值.
…………11 分

所以 ac ≤ 6 ,当且仅当 a = c = 此时 S ?ABC =

1 1 7 3 7 ac sin B = × 6 × = . 2 2 4 4 3 7 . 4
……………13 分

所以 ?ABC 的面积的最大值为

23.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
在 ?ABC 中, BC = 1 , cos B =

2 2 , cos A = sin C ,求 sin A 及 AC 的值. 3

解析:由 cos A = sin C ,得 cos A = cos( 因为 A ∈ (0, 所以 A = 若A=

π
2

? C ),

π π
2 ),

? π π? ?C ∈?? , ? , 2 ? 2 2?

π
2

? C , 或A = C ?

π
2



π
2

? C ,则 A + C =

π
2

,B =

π
2

,这与 cos B =

2 2 矛盾, 3

所以 A = C ?

π
2

= π ? ( A + B) ?

π
2

,即 2 A =

π
2

? B ………………………………5 分

所以 cos 2 A = sin B = 1 ? cos 2 B = 即 1 ? 2sin 2 A =

1 , 3

1 , 3 3 ……………………………………………………8 分 3

因为 sin A > 0 ,所以 sin A = 由正弦定理,有

AC BC = , sin B sin A

所以 AC =

BC ? sin B 3 = ………………………………………………………12 分 sin A 3


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