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高中数学知识考点之(26)数学归纳法

数学归纳法、极限
1.数学归纳法用于证明一个“关于正自然数 n 的命题对于从正自然数 n0 开始的所有正自然 数 n 都成立”的问题。 2. 能根据 f(k)正确写出 f(k+1),并能指出 f(k)与 f(k+1)之间的关系, 这往往是运用数学归 纳法的最关键的一步。 [举例 1]已知 f (n) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ,则 f (n ? 1) = n ?1 n ? 2 n ? 3 2n
B. f (n) +

A. f (n) +

1 , 2(n ? 1) 1 2(n ? 1)

1 1 + , 2n ? 1 2(n ? 1) 1 1 2n ? 1 2(n ? 1)

C. f (n) -

D. f (n) +

解析: f (n) 是从 n+1 开始的 n 个连续自然数的倒数和,故 f (n ? 1) 是从 n+2 开始的 n+1 个 连续自然数的倒数和,即

f (n ? 1) =
=

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? n?2 n?3 n ?1? n ?1 n ?1? n n ?1? n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? = f (n) + + 2n ? 1 2(n ? 1) n ? 1 n?2 n?3 2n 2n ? 1 2(n ? 1) 1 1 2n ? 1 2(n ? 1)
故选 D。

= f (n) +

[举例 2]用数学归纳法证明“5n-2n 能被 3 整除”的第二步中,n=k+1 时,为了使用归纳假设, 应将 5k+1-2k+1 变形为 [解析]假设 n=k 时命题成立.即:5k-2k 被 3 整除.当 n=k+1 时,5k+1-2 k+1 =5×5k-2×2 k =5(5k-2k) +5×2k-2×2k=5(5k-2k) +3×2k [巩固 1] 用数学归纳法证明 1+

1 1 1 + +…+ n <n (n>1)时,由 n=k (k>1)不等式成 2 3 2 ?1
k

立,推证 n=k+1 时,左边应增加的代数式的个数是_____。 A. 2
k?1

B. 2 -1

C. 2

k

D. 2 +1

k

[巩固 2]用数学归纳法证明命题: (n+1) ×(n+2) ×…×(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 3.数学归纳法公理:如果关于自然数 n 的一个命题 p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即 当 n=n0 时,命题成立,(2) 假设 p(k)成立,则 p(k+1)也成立;根据(1)(2)知命题 p(n)对 n ≥n0 的所有自然数 n 都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程, (1) 是递推的基础, (2)是递推的条件;二者缺一不可。 4.数学归纳法通常用于证明关于自然数 n 的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即 命题 p(k)成立证明命题 p(k+1)成立(已知 p(k)成立,求证 p(k+1)成立)是数学归纳法证 明中最关键的一步;而明晰命题 p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。 [举例 1] 已知 m 为正整数,用数学归纳法证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x) ≥1 ? mx ;
m

解析:视 (1 ? x)m ≥1 ? mx 为关于 m 的不等式, x 为参数,以下用数学归纳法证明: (ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式成立;当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2x ? x ,右边 ? 1 ? 2x ,
2

因为 x

2

≥ 0 ,所以左边≥ 右边,原不等式成立;

(ⅱ)假设当 m ? k 时,不等式成立,即 (1 ? x)k ≥1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时,

∵ x ? ?1,∴1 ? x ? 0 ,于是在不等式 (1 ? x)k ≥1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k (1 ? x) ≥ (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ≥1 ? (k ? 1) x , ·
所以 (1 ? x)k ?1 ≥1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ)知,对一切正整数 m ,不等式都成立. [举例 2]设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有
*

1 1 ? a an?1 1 1 (1)求 a1 , a3 ; (2)求数列 ?an ? 的通项 an . 2? ? n ? 2? ; an ?1 1 ? 1 an n n ?1
(07 高考江西理 22) 解析: (1)据条件得 2 ?

?1 1 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? ? ? ? 2? an?1 an ? an an?1 ?



当 n ? 1 时,由 2 ?

?1 1? 1 2 2 1 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , 4 a1 4 a1 a2 a1 ? a1 a2 ?

解得

2 8 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . 3 7

当 n ? 2 时,由 2 ?

?1 1 ? 1 1 ? 6 ? ? ? ? 2 ? ,解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 . a3 4 ? 4 a3 ?

(2)由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n2 . 下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 an ? n2 均成立;
?

2 假设 n ? k (k ≥ 2) 成立,则 ak ? k 2 ,则 n ? k ? 1 时
?

由①得 2 ?

? 1 k 2 (k ? 1) k (k 2 ? k ? 1) 1 1 ? 1 ? ak ?1 ? ? k (k ? 1) ? 2 ? ? 2? 2 ? 2 ? k ? k ?1 k ?1 ak ?1 ak ?1 ? k ?k

? (k ? 1)2 ?

(k ? 1)2 1 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? 2 k ?1 k ?1 (k ? 1) 2 ? ? 0, . 1? k 2 ?1

因为 k ≥ 2 时, (k 2 ? 1) ? (k ? 1)2 ? k (k ? 1)(k ? 2) ≥ 0 ,所以

k ? 1≥ 1 ,所以

1 ? ? 0, .又 ak ?1 ? N* ,所以 (k ? 1)2 ≤ ak ?1 ≤ (k ?1)2 . 1? k ?1
? ?

故 ak ?1 ? (k ? 1)2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n2 成立.由 1 ,2 知,对任意 n ? N , an ? n2 .
*

[巩固 1]已知数列

8·n 8·1 8?2 ,…, ,…;S n 为其前 n 项和, 2 , 2 2 1 ·3 ( 2n ? 1) 2 · ( 2n ? 1)2 3 ?5
2

求 S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ,推测 S n ,并用数学归纳法证明。 [ 巩 固 2] 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn 满 足 S1 ? 1 , 且 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; 6Sn ? (an ? 1 ) an ? , n ? N . ( 2) (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 an (2 n ?1) ? 1 ,并记 Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求证:
b

3Tn ?1 ? log2 (an ? 3),n ?N (07 高考重庆理 21)
5.若 f (c) 存在,则 lim f ( x ) = f (c) ,若 f (c) = g (c) =0,则 lim
x? c

x? c

f ( x) 一般“约分” (约去 g ( x)
x? c

含 x ? c 的因式)后再求极限。若 lim f ( x ) =A、 lim g (x) =B,则 lim [ f ( x ) ± g (x) ]= A±
x? c x? c

B, lim [ f ( x ) g (x) ]=AB, lim
x? c x? c

f ( x) A = (B≠0). g ( x) B
.(07 高考陕西理 13)

1 ? ? 2x ? 1 ? [举例] lim? 2 ?? x ? 1? x ?1 ? x ? x ? 2

解析:

2x ? 1 1 1 x ?1 ? = = , x ? x ? 2 x ? 1 ( x ? 2)(x ? 1) x ? 2
2

1 1 1 ? ? 2x ? 1 ? ∴ lim? 2 = ? ? lim x ? 1 ? x ?1 x ? 2 3 x ?1 ? x ? x ? 2
[巩固 1] 下列四个命题中,不正确的是( ...
x→x0


x→x0

A.若函数 f ( x ) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x) ? lim? f ( x) B.函数 f ( x) ?

x?2 的不连续点是 x ? 2 和 x ? ?2 x2 ? 4

C.若函数 f ( x ) , g ( x) 满足 lim[ f ( x) ? g ( x)] ? 0 ,则 lim f ( x ) ? lim g ( x)
x→? x→? x→?

D. lim
x→1

x ?1 1 ? x ?1 2
x ??2

(07 高考湖南理 7)

[巩固 2] lim(

4 1 ? ) ? ________ 2 4? x 2? x
n?? n?? n?? n??

6. q |<1,则 lim q n =0;q =1, lm q n =1; q >1 或 q ≤-1, 则 lim q n 不存在。lim c 若| 则i 若 = c ( c 为常数); “ “

? ”型,一般分子、分母“同除以”一个式子(包括“约分” )后再求极限;含有根式的 ?
n?? n?? n??

c c ? 0 ”型的式子极限为 0; “ ”型、 “ ”型的极限不存在; “ ”型和 0 0 ? c

和(差)的式子一般有理化后再求极限。若 lim an =A、 lim bn =B,则 lim ( an ± bn )= A

±B, lim ( an bn )=AB, lim
n??

n??

an A = (B≠0). bn B
.

[举例 1]若 lim
n ??

1 ? 1, 则常数a ? n( n ? a ? n)

解析:分母有理化

lim
n ??

1 n?a ? n 1 a ? lim ? lim( 1 ? ? 1) a n?? n n ( n ? a ? n ) n?? a n

?

1 ? 2 ?1? a ? 2 a

? 1? ?1 ? ? ? 1 n? [举例 2]已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 lim ? ?( q n→? ? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n?
A.0 B.1
p

p



C.

p q

D.

p ?1 (07 高考湖北理 5) q ?1

? 1? 1 2 1? p ? ? Cp ?1 ? ? ? 1 ? n? n 解析: lim ? lim q n→? n?? 1 2 ? 1? 1 ? q ? ? Cq 1 ? ? ?1 ? n ? n?

1 p 1 ? ?? C p p ?1 2 n n 1 q 1 ? ? ? Cq q ? 1 2 n n 1 ? C3 p n 1 3 ? Cq n 1 1 p ? ? ? C p p ?1 2 n n = p ,选 C。 1 1 q q ? ? ? C q q ?1 2 n n

1 2 ? Cp n = lim n ?? 1 2 q ? ? Cq n p?

1 p 1 2 ??? Cp p p ? Cp 2 n n = lim n ?? 1 q 1 2 ? ? ? Cq q q ? Cq 2 n n
2 n

[巩固 1]把 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 展开成关于 x 的多项式,其各项系数和为 an ,

则 lim

2an ? 1 等于( n→? a ? 1 n
1 4
B.



A.

1 2

C. 1 )

D.2

lim [巩固 2]. n→∞
A. 1 B. 1 2

1 等于( 2n( n +1- n2-1)
2

1 C. 4

D.0

a n ?1 ? ab n ?1 ?( [迁移]设正数 a, b 满足 lim( x ? ax ? b) ? 4 ,则 lim n ?1 x ?2 n ?? a ? 2b n
2



A. 0

B.

1 4

C.

1 2

D. 1
n??

(07 高考重庆理 8)

7.无穷数列{ an }的前 n 项和为 Sn, lim S n 称为数列{ an }的无穷多项和或所有项和。求

lim S n 时,切不可分别求各项的极限后再求和;必须先求 Sn,再求极限。若{ an }为等比数
n??

列,公比为 q 且|q|<1,则 lim S n =
n??

a1 。 1? q

[举例 1]若数列 {an } 满足: a1 ?
n ? ??

1 , 且对任意正整数 m, n 都有 am? n ? am ? an , 则 3

lim ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?
A.

(07 高考湖南理 2) B.

1 2

2 3

C.

3 2

D. 2

解 析 : 数 列 {an } 满 足 : a1 ?

1 , 且 对 任 意 正 整 数 m, n 都 有 am? n ? am ? an , 3 1 1 1 an ?1 ? an ? a1 ? an , ∴ 数 列 {an } 是 首 项 为 , 公比为 的 等比 数列 。 3 3 3
n ? ??

lim ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?

a1 1 ? ,选 A. 1? q 2
2

Q1 Q2

[巩固 2]如图,抛物线 y ? ? x ? 1与 x 轴的正半轴交 于点 A ,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为

P,P2, ,Pn?1 ,过这些分点分别作 x 轴的垂线, ? 1

Qn-1

与 抛 物 线 的 交 点 依 次 为 Q1,Q2, ,Qn?1 , 从 而 得 到 2n ? 1 个 直 角n-1 角 形 ? O Pn-2 P 三 P1 P

? △Q1OP, Q2 P P2 , nQ 1 , △ ? 1 △
为 .

1? n

P

2? 当 n. 1

P

n ?? 时 , 这 些 三 角 形 的 面 积 之 和 的 极 限

解析: P1 ( ,0) , P2 ( ,0) ,…, Pn ?1 (

1 2 n ?1 1 1 2 2 ,0) ; Q1 ( ,1 ? ( ) 2 ) , Q2 ( ,1 ? ( ) 2 ) ,…, n n n n n n n n ?1 n ?1 2 1 1 1 2 Qn ?1 ( ,1 ? ( ) ) ,记 ?Qn Pn?1 Pn 的面积为 Sn,则 S1= ? ? [1 ? ( ) ] ,S2= n n 2 n n 1 1 2 1 1 n ?1 2 ? ? [1 ? ( ) 2 ] ,…,Sn-1= ? ? [1 ? ( ) ] ; lim( S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ) = n ?? 2 n n 2 n n

lim

(n ? 1)( n ? 2)( 2n ? 3) 1 1 1 1 12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 1 [(n ? 1) ? ] = ? lim = ? = . 2 n ?? 2n 2 n ?? 2 6 3 12 n 3 n

[巩固 1]数列{

1 }的前 n 项和为 Sn,则 lim Sn=______________ n?? 4n 2-1

[巩固 2] 如图,等边三角形 ABC 的面积等于 1,连结这个三角形各边的中 点得到一个小三角形,又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的 三角形,如此无限继续下去,求所有这些三角形的面积的和.

A

4 6 4 6 4 6 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) 5 7 5 7 ? _____________ [巩固 3] lim 5 7 n ?? 5 4 5 4 5 4 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) 6 5 6 5 6 5

B

C

答案 2、[巩固 1]C;4、[巩固 1] S n =

( 2n ? 1) 2 ? 1 ,[巩固 2] an ? 3n ? 1 , ( 2n ? 1) 2

5、[巩固 1]C,[巩固 2] [巩固 2]

1 1 ;6、[巩固 1] D,[巩固 2] B,[迁移] B;7、[巩固 1] , 4 2

4 ,[巩固 3] -1 3


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