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讲课用线面垂直、面面垂直的性质定理


2.3.4平面与平面垂直的性质
乌苏一中 王燕

温故知新
面面垂直的判定方法: 1、定义法: 找二面角的平面角 2、判定定理: 要证两平面垂直,只要在其中一个平面 内找到另一个平面的一条垂线。

说明该平面角是直角。

(线面垂直?面面垂直)

知识探究:

思考1:如果平面α 与平面β 互相垂直, 直线l在平面α 内,那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能?
α l α l α l β β β

平行

相交

线在面内

知识探究:

思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直,在黑板上是否存在直线与地面垂直? 若存在,怎样画线?
α

β

平面与平面垂直的性质定理:

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a

符号语言:

l
α A

? a?l ? 作用: 面面垂直?线面垂直

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ? a ?? a?? ?

何时用:已知面面垂直时. 关键:在一个平面内作(找)出垂直于交线的直线.

例1:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明:∵ AB是⊙O的直径, C是圆周上不同于A,B的任意一 点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC,平面 PAC∩平面ABC=AC,BC ? 平 A 面ABC ∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC P

C

O

? 平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC

练1:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ?平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

例2 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 判断a与? 位置关系
并证明。

证明:设

?

? ?l
b

α

a // ?
a

在α内作直线b⊥l
β ? ?? ? ? ? ? ? l? ? ?b?? ? b ?? ? 又a ? ? ? ? a // b ? ? ?

l

线面垂直 性质

b?l

? ?

面面垂直性质

b ? ? ? ? a // ? ? a ???

即学即练
? 3《金版》48页

第3题

课堂小结

从已知想性质,从求证想判定 1、证题原则: 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行

注意辅助线的作用

空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直

作业: 把直角三角板ABC的直角边BC放置桌面, 另一条直角边AC与桌面所在的平面 ? 垂直,a是 ? 内一条直线,若斜边AB与a垂直,则BC是否与 a垂直? 课本p73 A组2,5 B组4


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