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2.1.2求曲线的方程(二)_图文

2.1曲线和方程 —— 2.1.2求曲线的方程(二) 沿河民族中学:阚 辉 复习: 求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐 标,及相关点的坐标; 二、(限)找条件,由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程. 以上步骤用一句话概括就是:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . .. 练习: 1、已知A(-a,0),B(a,0) (a ? R ) 若动点M与两定点A,B构 成直角三角形,求直角顶点M的轨迹方程。 ? 2、在 ?ABC 中,已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ?ABC 的面积 等于3,求顶点C的轨迹方程。 3、(江苏,06)已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点,满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 。则动点P(x,y)的 轨迹方程为 。 例 1.△ABC 的顶点 B、 C 的坐标分别为(0,0)、 (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程. x ? x1 ? ? ? 2 由中点坐标公式可知 ? ?y ? y 1 ? ? 2 解:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 ) y ( x, y ) B ∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 ? 4)2 ? y12 ? 9 化简整理得 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 0 2 2 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x ? 8) ? y ? 36 . ? y ? 0? 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 思考2 ? D ? ? ? x C M A ? 例2、已知 ?ABC 中,A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y ? 3x ? 1上移动,求 ?ABC 的重心轨迹方程。 例3、已知G是 ?ABC 的重心,A(0,-1),B(0,1),在x轴上 有一点M满足 MA ? MC , GM ? ? AB(? ? R). 求点C的 轨迹方程。 2 2 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆 两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 ? x2 ? ? ? x1 ? y1 ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ① x? ? ? 且? 2 2 2 则? M x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 ② ? y ? y ? 2 2 2 2 2 ?y ? 1 由①─②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 2 B ? ?C l ?6( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 0 y y1 ? y2 ∵ kOM ? k AB 即 ? (易知 x1 ? x2 ) x x1 ? x2 ∴化简得 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 y y ∴ 2x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0 x x x ∴所求轨迹方程为 x2 ? y2 ? 3x ? 2 y ? 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程) 点差法 2 2 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆 两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:设 M ( x, y ) A 2 2 设 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 的 圆 心 M 为 C,则 C 的坐标为(3,2). C B 3 ∴OC 的中点O? 的坐标为( ,1) 2 且 OC ? 13 y 0 ? O? ?? l x ∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM ∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O? 上. 返回 3 2 13 2 ? ( x ? ) ? ( y ? 1) ? ∵圆 O 的方程为 2 4 (下面同法一) 妙! 2 2 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆 两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 则? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 设直线 l 的方程为 y ? kx M B ? y ? kx 由方程组 ? 2 2 ? x ? y ? 6 x ? 4 y ? 10 ? 0 0 2 2 消去 y 得 (1 ? k ) x ? (6 ? 4k ) x ? 9 ? 0 6 ? 4k 9 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2 1? k 1? k 2 3 ? 2k ? x? ? 2 2 ? 1? k 2 k 消去参数 得 x ? y ? 3x ? 2 y ? 0 ∴? ? y ? k ? 3 ? 2k ? 1? k 2 ? ? ?C A l x 返回 作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上移动时,它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) 2 2 2 2 (A) ( x ? 3) ? y ? 4 (B) ( x ? 3) ? y ? 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x ? 3) ? 4 y ? 1 (D) ( x ? ) ? y ? 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x ? 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2 x2 y 2

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