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平面向量数量积单元复习教案


2.4 平面向量数量积(教案)
教学目标 (1)知识目标[知识能否忆起]
一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角. 2.范围 向量夹角 θ 的范围是 0° ≤θ≤180° ,a 与 b 同向时,夹角 θ=0° ;a 与 b 反向时,夹角 θ =180° . 3.向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、平面向量数量积 1.已知两个非零向量 a 与 b,则数量|a||b|· cos θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b =|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定 0· a=0.当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b=0. 2.a· b 的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. (投影计算) 三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a.(单位向量的求解) 2.a⊥b?a· b=0.(类比共线等价条件) 3.a· a=|a|2,|a|= a· a.(用已知向量表示他向量并能用此求解他向量的模) a· b 4.cos θ= .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| 5.|a· b|≤|a||b|.(柯西不等式) 四、数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a. 2.分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. 3.对 λ∈R,λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb). 五、数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a· b=a1b1+a2b2. 2.a⊥b?a1b1+a2b2=0. (类比共线等价条件)
2 3.|a|= a2 1+a2.

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a1b1+a2b2 a· b 4.cos θ= = 2 2 2 .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| a1+a2 b2 1+b2

(2)能力目标
1.能够通过线性运算用已知向量表示他向量或构建坐标表示向量求解数量积, 判断向 量垂直、求解模、夹角。 2.能够利用平面向量数量积、垂直关系、模及其夹角等已知条件建立方程求解参数。 3.能用数量积性质研究几何命题。

(3)情感目标
学会运用数学思想:方程、数形结合构建意识解决问题

教学重点难点 重点:运用平面向量数量积的两种形式求解模、夹角以及垂直判断 难点:构建已知向量或者建立坐标解决三角、不等式等交汇点问题 教学过程 【基础达标检测】
1.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a B.|a· b|=|a|· |b| ) D.|a· b|≤|a|· |b| C.λ(a· b)=λa· b

解析:选 B |a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有 a 与 b 共线时,才有|a· b|=|a||b|,可知 B 是错误的. 2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,则 b 在 a 方向上的投影为( A.2 解析:选 D 3 B. 2 C.-2 3 D.- 2 )

3 |b|cos θ=3cos 120° =- . 2 )

3.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

解析:选 B ∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0,∴x=2. ∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 5+5= 10. 4.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b =__. 解析:a· b=2× 3× 答案:3 5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角 θ=________. 解析:∵a· (b-a)=a· b-a2=2,∴a· b=2+a2=3. a· b 3 1 π ∴cos θ= = = .∴向量 a 与 b 的夹角为 . |a|· |b| 1×6 2 3 π 答案: 3 3 =3. 2

【考点探究】 题型一:平面向量数量积的运算
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[例 1] (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 B.5 C.4 D.3

)

(2)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB · AC =________. [自主解答] (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30. 即 18+3x=30,解得 x=4. (2) 如图所示,∵ AB = AM + MB , →= AM - MB , AC = AM +MC― ∴ AB · ( AM - MB ) AC =( AM + MB )· = AM 2- MB 2=| AM |2-| MB |2=9-25=-16. [答案] (1)C (2) -16

【解题反思】平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量 a,b 的模及夹角 θ,利用公式 a· b=|a||b|· cos θ 求解; (2)已知向量 a,b 的坐标,利用数量积的坐标形式求解.

【自主探究】
1. (1)(2012· 天津高考)在△ABC 中, ∠A=90° , AB=1, AC=2.设点 P, Q 满足 AP =λ AB ,

CP =-2,则 λ=( AQ =(1-λ) AC ,λ∈R.若 BQ ·
1 A. 3 2 B. 3 4 C. 3

) D.2

解析: 选 B 由题意可知 BQ = AQ - AB =(1-λ) AC - AB ,CP = AP - AC = λ AB - AC ,且 AB · AC =0,故 BQ · CP =-(1-λ) AC 2-λ AB 2=-2.又| AB |=1, 2 | AC |=2,代入上式解得 λ= . 3 π (2)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1· b2= 3 ___. 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,
2 则 b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=3e1 -2e1· e2-8e2 2.

π 1 又因为 e1,e2 为单位向量,夹角为 ,所以 b1· b2=3-2× -8=3-1-8=-6. 3 2 答案:-6

题型二:两平面向量的夹角与垂直
[例 2] (1)已知|a|=1, |b|=2, a 与 b 的夹角为 120° , a+b+c=0, 则 a 与 c 的夹角为( A.150° B.90° C.60°
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)

D.30°

(2)(2011· 新课标全国卷)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. [自主解答] (1)∵a· b=1×2×cos 120° =-1,c=-a-b,∴a· c=a· (-a-b)=-a· a- a· b=-1+1=0,∴a⊥c. ∴a 与 c 的夹角为 90° . (2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即 ka2+ka· b-a· b-b2=0.∴k-1+ka· b-a· b=0. 即 k-1+kcos θ-cos θ=0(θ 为 a 与 b 的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又 a 与 b 不共线,∴cos θ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1

【解题反思】1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角 为直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求得 a· b 及|a|,|b|或得出它们的关系.

【自主探究】
2. (1) 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3 (2)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量 d 如图所示,则( ) 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? C.? ?3,9? 7 7? D.? ?-9,-3? )

A.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C.存在 λ<0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30° D.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 共线
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3 ? 解析:选 D 由图可知 d=4a+3b=4? ?a+4b?,故 D 正确;对于 A,由图知若向量 c 与 向量 d 垂直,则有 λ<0;对于 B,若 λ>0,则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60° ;对于 C,若 λ<0,则向量 c 与向量 d 夹角大于 30° .

题型三:平面向量的模
[例 3] 设向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 3,a· (a-b)=0,则|2a+b|=( A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 )

[自主解答] 由 a· (a-b)=0,可得 a· b=a2=1, 由|a-b|= 3,可得(a-b)2=3,即 a2-2a· b+b2=3,解得 b2=4. 故(2a+b)2=4a2+4a· b+b2=12,故|2a+b|=2 3. [答案] B 【解题反思】 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用, 要掌握此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a± b|2=(a± b)2=a2± 2a· b+b2; (3)若 a=(x,y)则|a|= x2+y2. 注意函数方程和整体代换意识。

【自主探究】
1? 3.已知向量 a=(sin x,1),b=? ?cos x,-2?. (1)当 a⊥b 时,求|a+b|的值; (2)求函数 f(x)=a· (b-a)的最小正周期. 解:(1)由已知得 a· b=0, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= a2+b2 = 1 3 sin2x+1+cos2x+ = . 4 2

1 (2)∵f(x)=a· b-a2=sin xcos x- -sin2x-1 2 1-cos 2x 3 π 1 2 2x+ ?-2, = sin 2x- - = sin? 4? ? 2 2 2 2 ∴函数 f(x)的最小正周期为 π.

题型四:平面向量数量积综合运用
[例 4].△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB =a, CA =b,a· b=0, |a|=1,|b|=2,则 AD =( 1 1 A. a- b 3 3 2 2 B. a- b 3 3 ) 3 3 C. a- b 5 5 4 4 D. a- b 5 5

解析:选 D 如图,∵a· b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90° ,
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∴AB= AC2+BC2= 5.又 CD⊥AB, 4 5 4 4 4 4 ∴AC2=AD· AB,∴AD= .∴ AD = AB = (a-b)= a- b. 5 5 5 5 5 【解题反思】向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知识的“交汇处”的命题 要求, 又加强了对双基覆盖面的考查, 特别是通过向量坐标表示的各种运算, 利用解决平行、 垂直、夹角和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题.

【自主探究】
4. (1)在△OAB(O 为原点)中,OA =(2cos α, 2sin α),OB =(5cos β, 5sin β), 若 OA · OB =-5,则△OAB 的面积 S=( A. 3 B. 3 2 ) C.5 3 5 3 D. 2

-5 解析 (1) : 选 D 设∠AOB=θ, 由| OA |=2, | OB |=5,OA · OB =-5,得 cos θ= 2×5 1 3 1 1 3 5 3 =- ,sin θ= ,所以 S= | OA |· | OB |sin θ= ×2×5× = . 2 2 2 2 2 2 (2)若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足( MB - MC )· ( MB + MC -2 MA )=0, 则△ABC 为( ) B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

A.直角三角形

(2)选 B 由( MB - MC )· ( MB + MC -2 MA )=0,可知 CB · ( AB + AC )=0,设

AD =0.所以 CB ⊥ AD .又 D 为 BC 的中 BC 的中点为 D,则 AB + AC =2 AD ,故 CB ·
点,故△ABC 为等腰三角形

【能力提升】
|PA|2+|PB|2 1.在直角三角形 ABC 中, 点 D 是斜边 AB 的中点, 点 P 为线段 CD 的中点, 则 ( ) |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10

→ → 2.在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在边 CD 上, 若AB· AF= 2, → → 则AE· BF的值是________.

3.在 ?ABC 中, ?BAC ? 120?, AB ? 2, AC ? 1, D 是边 BC 上一点,
DC ? 2 BD, 则 AD ? BC =_
4. OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , O 是 ?ABC 的 ( A.重心 B.垂心 C.内心 ); D.外心

5.已知 3x ? y ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最小值是__________ 【小结】构建已知向量或者建立坐标解决交汇点命题。
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