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2018版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时跟踪检测68理新人教A版2017052401106

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课时跟踪检测(六十八)
[高考基础题型得分练] 1.若离散型随机变量 X 的分布列为

X P
则 X 的数学期望 E(X)=( A.2 C. 1 2 )

0

1

a
2

a2
2

1 B.2 或 2 D.1

答案:C 解析:由分布列的性质,得 + =1,∴a=1. 2 2 1 1 1 故 E(X)= ×0+ ×1= . 2 2 2 2.已知离散型随机变量 X 的分布列为

a a2

X P
则 X 的数学期望 E(X)=( A. C. 3 2 1 2 )

1 3 5

2 3 10

3 1 10

B.2 D.3

答案:A 3 3 1 3 解析:E(X)=1× +2× +3× = . 5 10 10 2 3.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是 0.4,则此人三次上班途中 遇红灯的次数的期望为( A.0.4 C.0.4
3

) B.1.2 D.0.6

答案:B 解析:∵途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.4),

1

∴E(X)=3×0.4=1.2. 4.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( A.3×2 C.3×2 答案:C
? ?np=6, 解析:由题意知,? ?np -p ?
-2

)

B.2 D.2

-4

-10

-8

=3,

1 ? ?p= , 解得? 2 ? ?n=12.

1 ? 1?11 12 1 -10 ∴P(X=1)=C12× ×?1- ? = 12=3×2 . 2 ? 2? 2 5.某班有 14 名学生数学成绩优秀,如果从该班随机找出 5 名学生,其中数学成绩优秀

? 1? 的学生数 X~B?5, ?,则 E(2X+1)=( ? 4?
A. 5 4

) B. D. 5 2 7 2

C.3 答案:D 5 ? 1? 解析:因为 X~B?5, ?,所以 E(X)= , 4 4 ? ? 5 7 所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2× +1= . 4 2

6.罐中有 6 个红球、4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设

X 为取得红球的次数,则 X 的方差 D(X)的值为(
A. C. 12 5 8 5

) B. D. 24 25 2 6 5

答案:B 3 解析:因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 , 5

? 3? 连续摸 4 次(做 4 次试验),X 为取得红球(成功)的次数,则 X~B?4, ?, ? 5?
3 ? 3? 24 ∴D(X)=4× ×?1- ?= . 5 ? 5? 25 7.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体.经过搅 拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)等于( )
2

A. C.

126 125 168 125

B. D.

6 5 7 5

答案:B 解析:由题意知,X 可取 0,1,2,3, 3 27 则 P(X=0)= = , 125 125
3

P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=

9×6 54 = , 125 125 3×12 36 = , 125 125 8 . 125

54 36 8 6 故 E(X)= +2× +3× = . 125 125 125 5 8.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人 2 1 比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 , 3 3 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 E(ξ )为( A. C. 241 81 274 81 B. D. 266 81 670 243 )

答案:B 解析:依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6,

3

?2?2 ?1?2 5 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为? ? +? ? = . ?3? ?3? 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响. 5 4 5 20 从而有 P(ξ =2)= ,P(ξ =4)= × = , 9 9 9 81

P(ξ =6)=? ?2= , 9
5 20 16 266 故 E(ξ )=2× +4× +6× = . 9 81 81 81 9.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,根据统计,随机变量 ξ 的概率 分布列如下,则 ξ 的数学期望为________. 0 0.1 答案:1.7 解析:由概率分布列的性质,得 0.1+0.3+2a+a=1,解得 a=0.2, ∴ξ 的概率分布列为 ξ 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 1 0.3 2 2a 3

?4? ? ?

16 81

a

P

∴E(ξ )=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7. 10. 若随机变量服从正态分布 ξ ~N(2,1), 且 P(ξ >3)=0.158 7, 则 P(ξ >1)=________. 答案:0.841 3 解析:由题意可知,正态分布密度函数的图象关于直线 x=2 对称,得 P(ξ <1)=P(ξ >3) =0.158 7, ∴P(ξ >1)=1-P(ξ <1)=1-0.158 7=0.841 3. 11.已知随机变量 X~N(2,s ),若 P(X<a)=0.32,则 P(a≤X <4-a)=________. 答案:0.36 解析:由正态曲线的对称性,可得
2

P(a≤X <4-a)=1-2P(X<a)=0.36.
12.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记 10 分,没有击中记 0 分.某人每次击 2 中目标的概率为 ,则此人得分的均值与方差分别为________. 3 200 答案:20, 3 解析:记此人三次射击击中目标 X 次,得分为 Y 分,

4

? 2? 则 X~B?3, ?,Y=10X, ? 3?
2 ∴E(Y)=10E(X)=10×3× =20, 3

D(Y)=100D(X)=100×3× × =

2 3

1 200 . 3 3 [冲刺名校能力提升练]

1. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b, 不得分的概率为 c[a,

b,c∈(0,1)],已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为
( ) A. C. 1 48 1 12 B. D. 1 24 1 6

答案:D 解析:设投篮得分为随机变量 X,则 X 的分布列为

X P E(X)=3a+2b=2≥2 3a×2b,

3

2

0

a

b

c

1 1 1 所以 ab≤ ,当且仅当 3a=2b,即 a= ,b= 时等号成立. 6 3 2 1 所以 ab 的最大值为 . 6 2.设离散型随机变量 ξ 的可能取值为 1,2,3,4, P(ξ =k)=ak+b(k=1,2,3,4). 又 E(ξ ) =3,则 a+b=________. 答案: 1 10

解析:因为 P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4)=10a+4b=1, 又 E(ξ )=30a+10b=3, 1 1 解得 a= ,b=0,所以 a+b= . 10 10 3.为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了理科、文科两个学习兴趣小组,两 组的人数如下表所示. 组别 性别 男 理科 5 文科 1

5



3

3

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取 3 名同学进行测试. (1)求从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率; (2)记 ξ 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 ξ 的分布列和均值. 解:(1)两小组的总人数之比为 8∶4=2∶1,共抽取 3 人, 所以理科组抽取 2 人,文科组抽取 1 人. 从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有:1 名男同学、1 名女同学,2 名女同 学, C3C5+C3 9 所以所求概率 P= = . 2 C8 14 (2)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3, C3 C3 9 相应的概率分别是 P(ξ =0)= 2× 1= , C8 C4 112 C3C5 C3 C3 1 48 3 P(ξ =1)= 2 × 1+ 2× 1= = , C8 C4 C8 C4 112 7 C3C5 1 C5 C3 45 P(ξ =2)= 2 × 1+ 2× 1= , C8 C4 C8 C4 112
1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2

P(ξ =3)= 2× 1=
所以 ξ 的分布列为

C5 C8

2

1 C4

10 5 = . 112 56

ξ

0 9 112

1 3 7

2 45 112

3 5 56

P E(ξ )=0×

9 3 45 5 3 +1× +2× +3× = . 112 7 112 56 2

4.[2017·山东淄博模拟]某茶楼有四类茶饮,假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互 独立,且都是整数(单位:分钟).现统计该茶楼服务员以往为 100 位顾客准备泡茶工具所需 的时间 t,结果如表所示. 类别 顾客数(人) 时间 t(分钟/人) 铁观音 20 2 龙井 30 3 金骏眉 40 4 大红袍 10 6

注:服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (1)求服务员恰好在第 6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率; (2)用 X 表示至第 4 分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数,求 X 的分布列及均值. 解:(1)由题意知 t 的分布列如下:

6

t P

2 1 5

3 3 10

4 2 5

6 1 10

设 A 表示事件“服务员恰好在第 6 分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”,则事件 A 对 应两种情形: ①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 2 分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需 的时间为 3 分钟; ②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 3 分钟,且为第二位顾客准备泡茶工具所需 的时间为 2 分钟. 1 3 3 1 3 所以 P(A)=P(t=2)·P(t=3)+P(t=3)·P(t=2)= × + × = . 5 10 10 5 25 (2)X 的所有可能取值为 0,1,2,

X=0 对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过 4 分钟,
1 所以 P(X=0)=P(t>4)=P(t=6)= ; 10

X=1 对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 2 分钟且为第二位顾客准备泡茶工具
所需的时间超过 2 分钟,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 3 分钟,或为第一位顾 客准备泡茶工具所需的时间为 4 分钟, 1 4 3 2 43 所以 P(X=1)=P(t=2)·P(t>2)+P(t=3)+P(t=4)= × + + = ; 5 5 10 5 50

X=2 对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为 2 分钟,
1 1 1 所以 P(X=2)=P(t=2)·P(t=2)= × = . 5 5 25 所以 X 的分布列为

X P

0 1 10

1 43 50

2 1 25

1 43 1 47 所以 X 的均值 E(X)=0× +1× +2× = . 10 50 25 50 5.某电视台拟举行由选手报名参加的选秀节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选 的选手可以参加 A,B,C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通 过海选的人数超过预定正赛参赛的人数,则优先考虑参加海选测试项目数少的选手进入正 1 1 1 赛.甲选手通过 A,B,C 三个测试项目的概率分别为 , , ,且通过各个测试相互独立. 5 3 2 (1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海选的概率;若改 变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?请说明理由;

7

(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第二项能通过的概率 为 p2,第三项能通过的概率为 p3,设他通过海选(假设甲一定能通过海选)时参加测试的项目 数为 ξ ,求 ξ 的分布列和均值(用 p1,p2,p3 表示).

? 1? ? 1? ? 1? 4 解:(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为?1- ?×?1- ?×?1- ?= , ? 5? ? 3? ? 2? 15
4 11 故甲选手能通过海选的概率为 1- = . 15 15 若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响,

? 1? ? 1? ? 1? 4 因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为?1- ?×?1- ?×?1- ?= , ? 5? ? 3? ? 2? 15
11 即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为 . 15 (2)依题意,ξ 的所有可能取值为 1,2,3.

P(ξ =1)=p1, P(ξ =2)=(1-p1)p2, P(ξ =3)=(1-p1)(1-p2).
故 ξ 的分布列为 ξ 1 2 (1-p1)p2 3 (1-p1)(1-p2)

P

p1

E(ξ )=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)
=1+(2-p2)(1-p1).

8


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