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2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案


2017 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案
一、填空题(本题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1.已知向量 AP ? 1, 3 , PB ? ? 3,1 ,则向量 AP 与 AB 的夹角等于

?

?

?

?



答案:

? 4


2.已知集合 A ? ?x | ? ax ? 1?? a ? x ? ? 0? ,且 a ? A,3 ? A ,则实数 a 的取值范围是
?1 1 ? 答案: ? , ? ? ? 2,3?. ?3 2 ?

3.已知复数 z ? cos
1 3 i. 答案: ? 2 2

?? 2? ,其中 i 是虚数单位,则 z 3 ? z 2 ? ? i sin 3 3



4.在平面直角坐标系 xOy 中, 设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 右焦点,P ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左, a2 b2

是双曲线右支上一点, M 是 PF2 的中点,且 OM ? PF2 ,3PF1 ? 4PF2 ,则双曲线的离心率为 . 答案:5. 5.定义区间 ? x1 , x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .若函数 y ? log2 x 的定义域为 ? a, b? ,值域为 ?0, 2? ,则区 间 ? a, b? 的长度的最大值与最小值的差为 答案:3. 6.若关于 x 的二次方程 mx2 ? ? 2m ? 1? x ? m ? 2 ? 0 ? m ? 0? 的两个互异的根都小于 1, 则实数 m 的取值范围是 . .

?3? 7 ? , ?? ? . 答案: ? ? 4 ? ? ?
7.若 tan 4 x ? 答案: 3. 8.棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 在空间坐标系 O - xyz 中运动,其中顶点 A 保持在 z 轴 上,顶点 B1 保持在平面 xOy 上,则 OC 长度的最小值是 答案: 6 ? 2. .
3 sin 4 x sin 2 x sin x sin x ,则 ? ? ? ? 3 cos8x cos 4x cos 4 x cos 2 x cos 2 x cos x cos x



9. 设 数 列 a1 , a2 , a3 , ? , a2 1满 足 : an?1 ? an ? 1? n ? 1,2,3,?,20? , a1 , a7 , a21 成 等 比 数 列 . 若
a1 ? 1, a21 ? 9 ,则满足条件的不同的数列的个数为



答案:15099. 10.对于某些正整数 n ,分数
n?2 不是既约分数,则 n 的最小值是 3n2 ? 7



答案: 17. 二、解答题: (本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.设数列 ?an ? 满足:① a1 ? 1 ,② an ? 0 ,③ an ? 求证: (1)数列 ?an ? 是递增数列;
n 1 (2)对如图任意正整数 n , an ? 1 ? ? . k ?1 k

nan ?12 , n ? N *. nan ?1 ? 1

证明: (1)因为 an ?1 ? an ? an ?1 ?

nan ?12 an ?1 ? , 且 an ? 0 , nan ?1 ? 1 nan ?1 ? 1

所以 an?1 ? an ? 0 .所以 an?1 ? an , n ? N * . 所以数列 ?an ? 是递增数列. (2)因为 an ?1 ? an ? 所以当 n ? 2 时,
an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a2 ? a1 ? ? a1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?1 n ?1 n ? 2 2 1 n 1 ?1? ? . k ?1 k ?
n 1 又 a1 ? 1 ? 1 ? 1, 所以对任意正整数 n , an ? 1 ? ? . k ?1 k

an ?1 a 1 ? n ?1 ? , nan ?1 ? 1 nan ?1 n

12.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? ,直线 l : x ? y ? 3a ? 0. 若椭圆 a 2 b2

3 ,原点 O 到直线 l 的距离为 3 2. 2 (1)求椭圆 E 与直线 l 的方程;

E 的离心率为

(2)若椭圆 E 上三点 P, A ? 0, b ? , B ? a,0? 到直线 l 的距离分别为 d1 , d2 , d3 , 求证: d1 , d2 , d3 可以是某三角形三条边的边长.

? 3a ? 3 2, ? ? 2 ? ?a ? 2, 3 ?c 解: (1)由题设条件得 ? ? ,从而 ? , 2 ?b ? 1. ?a ?b 2 ? c 2 ? a 2 , ? ? ?

故所求的椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1.直线 l : x ? y ? 6 ? 0. 4
2cos ? ? sin ? ? 6 2 ? 6 ? 5 sin ?? ? ? ? 2 , 其中 tan ? ? 2.

(2)设 P ? 2cos? ,sin ? ? ,则 d1 ? 所以
6 2 ? 10 6 2 ? 10 ? d1 ? . 2 2

又 d2 ?

0 ?1? 6 2

?

2?0?6 5 2 , d3 ? ? 2 2. 2 2

故 d 2 ? d1. 因为 d 2 ? d3 ?
d1 ? d 3 ? 5 2 9 2 6 2 ? 10 ?2 2 ? ? ? d1 , 2 2 2

6 2 ? 10 10 2 ? 10 5 2 ?2 2 ? ? ? d1 . 2 2 2

所以 d1 , d2 , d3 可以是某个三角形的三条边的边长. 13.如图,圆 O 是四边形 ABCD 的内切圆,切点分别为 P, Q, R, S , OA 与 PS 交于点 A1 , OB 与
PQ 交于点 B1 , OC 与 QR 交于点 C1 , OD 与 SR 交于点 D1 .

求证:四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形.

D D1 S

R C1

C Q

O B1 A1 B P

A
证明:连接 PR, QS .

D D1 S

R C1

C Q

O B1 A1 B P

A
因为圆 O 是四边形 ABCD 的内切圆,所以 OA 是 ?SAP 的平分线,且 AP ? AS . 在△ ASP 中,由三线合一,点 A1 是线段 PS 的中点.

同理点 B1 是线段 PQ 的中点,所以 A1 B1 // SQ . 同理 A1 D1 // B1C1 . 所以四边形 A1 B1C1 D1 是平行四边形. 14.求满足 x3 ? x ? y 7 ? y3 的所有素数 x 和 y. 解:满足题设条件的素数只有 x ? 5, y ? 2. 假设 y ? 5, 则

y 7 ? y3 ? 5 y 6 ? y3 ? y 6 ? 20 y5 ? y3 ? y 6 ? 6 y 5 ? 70 y 4 ? y 3 ? y 6 ? 6 y 5 ? 15 y 4 ? 20 y 3 ? 15 y 2 ? 6 y ? 1 ? ? y ? 1? .
6

所以, x3 ? x3 ? x ? y7 ? y3 ? ? y ? 1? , 即 x ? ? y ? 1? .
6 2

又因为 x | x3 ? x ? y 7 ? y3 ? y3 ? y ? 1?? y ? 1? y 2 ? 1 ,且 x 为素数, 而 y ? 1 ? y ? y ? 1 ? y2 ? 1 ? ? y ? 1? ? x, 从而 x \ | y3 ? y ? 1?? y ? 1? y 2 ? 1 ,
2

?

?

?

?

这与 x | y 7 ? y 3 矛盾. 所以 y ? 5. 因为 y 是素数,所以 y ? 2, 或 y ? 3. 当 y ? 2 时, x3 ? x ? 120 ,即 ? x ? 5? x2 ? 5x ? 24 ? 0, 所以 x ? 5. 当 y ? 3 时, x3 ? x ? 2160 ? 24 ? 33 ? 5. 所以 x ? 2, 或 x ? 3 ,或 x ? 5. 经检验, x ? 2 ,或 x ? 3 ,或 x ? 5 时, x3 ? x ? 24 ? 33 ? 5. 所以满足条件的素数只有 x ? 5, y ? 2.

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