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【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(二) Word版含解析


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章末过关检测卷(二)
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2015· 四川卷)向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( ) A.2 B.3 C.4 D.6

解析:因为 a∥b,所以 2×6-4x=0,解得 x=3. 答案:B → → → → → 2.(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于( → → → → A.BC B.AB C.AC D.AM → → → → → → 解析:原式=AB+BO+OM+MB+BC=AC. 答案:C 3.(2015· 课标全国Ⅱ卷)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a +b)· a=( ) )

A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:法一:因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 a2=2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1. 法二:因为 a=(1,-1),b=(-1,2), 所以 2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0). 从而(2a+b)· a=(1,0)· (1,-1)=1. 答案:C
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→ → → 4.设点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且AD=2AB-3BC, 则点 D 的坐标为( A.(2,16) C.(4,16) ) B.(-2,-16) D.(2,0)

→ → 解析:设 D(x,y),由题意可知AD=(x+1,y-2),AB=(3,1), → BC=(1,-4), → → 所以 2AB-3BC=2(3,1)-3(1,-4)=(3,14).
? ? ?x+1=3, ?x=2, ? 所以 所以? ? ? ?y-2=14. ?y=16.

答案:A → 2→ → → 5. 点 C 在线段 AB 上, 且AC= AB, 若AC=λBC, 则 λ 等于( 5 2 3 2 3 A. B. C.- D.- 3 2 3 2 → 2→ 2 → → 解析:因AC= AB= (AC-BC), 5 5 → → 3→ 2→ 2→ 所以 AC=- BC,即AC=- BC=λBC. 5 5 3 2 所以 λ=- . 3 答案:C 6.设非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量 a,b 的夹角为( A.150° ) B.120° C.60° D.30° )

解析:设向量 a,b 夹角为 θ,

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|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ, 1 则 cos θ=- . 2 又 θ∈[0°,180° ],所以 θ=120°. 答案:B 7.(2015· 陕西卷)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 ( ) A.|a· b|≤|a||b| C.(a+b)2=|a+b|2 B.|a-b|≤||a|-|b|| D.(a+b)· (a-b)=a2-b2

解析:根据 a· b=|a||b|cos θ,又 cos θ≤1,知|a· b|≤|a||b|,A 恒成 立.当向量 a 和 b 方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B 不恒成立.根 据|a+b|2=a2+2a· b+b2=(a+b)2, C 恒成立. 根据向量的运算性质得 (a+b)· (a-b)=a2-b2,D 恒成立. 答案:B → 8.(2015· 课标全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC= → 3CD,则( ) → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

→ 1→ 4→ A.AD=- AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3

→ → → → 1→ → 1 → → 4→ 1 解析: AD=AC + CD = AC + BC = AC + (AC- AB )= AC - 3 3 3 3 → AB. 答案:A 9.已知向量 a=(1,
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π 3),b=(3,m).若向量 a,b 的夹角为 , 6

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则实数 m=(

) D.- 3

A.2 3 B. 3 C.0

解析:因为 a=(1, 3),b=(3,m), 所以|a|=2,|b|= 9+m2,a· b=3+ 3m. π 又 a,b 的夹角为 , 6 所以 3+ 3m π 3 a· b =cos ,即 = . 2 |a|· |b| 6 2 2 9+m 9+m2,解得 m= 3.

所以 3+m= 答案:B

10.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|= 50,则|b|=( A.0 B.2 C.5 D.25 解析:因为 a=(2,1),则有|a|= 5,又 a· b=10, 又由|a+b|= 50, 所以|a|2+2a· b+|b|2=50, 5+2×10+|b|2=50,所以|b|=5. 答案:C

)

11. (2015· 安徽卷)△ABC 是边长为 2 的等边三角形, 已知向量 a, → → b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是( A.|b|=1 C.a· b=1 B.a⊥b → D.(4a+b)⊥BC )

→ → → 解析:在△ABC 中,由BC=AC-AB=2a+b-2a=b, 得|b|=2.又|a|=1, → 所以 a· b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)· BC=(4a+b)· b=
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4a· b+|b|2=4×(-1)+4=0. → 所以(4a+b)⊥BC. 答案:D 12.在△ABC 中,AB=BC=3,∠ABC=60°,AD 是边 BC 上 → → 的高,则AD·AC的值等于( A.- 9 9 27 B. C. D.9 4 4 4 )

解析:分别以 BC,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立如图所示的平 面直角坐标系,

根据已知条件可求得以下几点坐标: A?0,
? ? ?3 ? 3 3? ?,D(0,0),C? ,0?, ?2 ? 2 ?

→ ? 3 3? ?, 所以AD=?0,- 2 ? ? → ?3 → → 27 3 3? ?.所以AD·AC= . AC=? ,- 4 2 ? ?2 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答 案填在题中横线上) 13.(2015· 江苏卷)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+ nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为________. 解析:因为 ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),

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?2m+n=9, ? ? ?m=2, 所以 ? 所以 ? ?m-2n=-8. ?n=5. ? ?

所以 m-n=2-5=-3. 答案:-3 → → → 14.(2015· 北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN= → → → → NC.若MN=xAB+yAC, 则 x=____________; y=________________. → → → 2→ 解析:因为AM=2MC,所以AM= AC. 3 → → → 1 → → 因为BN=NC,所以AN= (AB+AC). 2 → → → 1 → → → 2→ 1→ 1→ 因为MN=AN-AM= (AB+AC)- AC= AB- AC,又MN= 2 3 2 6 → → 1 1 xAB+yAC,所以 x= ,y=- . 2 6 答案: 1 2 - 1 6

15.若两个向量 a 与 b 的夹角为 θ,则称向量“a×b”为“向量 积”,其长度|a×b|=|a||b|· sin θ,若已知|a|=1,|b|=5,a· b=-4, 则|a×b|=________. 4 解析:由|a|=1,|b|=5,a· b=-4 得 cos θ=- , 5 3 又 θ∈[0,π],所以 sin θ= . 5 3 由此可得|a×b|=1×5× =3. 5 答案:3 → → → → → 16.(2014· 湖北卷)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=
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→ 0,则|AB|=________. → → → 解析:因为OA=(1,-3),又|OA|= 10=|OB|, → → 又OA·OB=0,所以∠AOB=90°. → → 所以△AOB 是等腰直角三角形,且|AB|= 2|OA|=2 5. 答案:2 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)不共线向量 a,b 的夹角为小于 120°的 角,且|a|=1,|b|=2,已知向量 c=a+2b,求|c|的取值范围. 解: |c|2=|a+2b|2=|a|2+4a· b+4|b|2=17+8cos θ(其中 θ 为 a 与 b 的夹角). 因为 0°<θ<120°. 1 所以- <cos θ<1, 2 所以 13<|c|<5. 所以|c|的取值范围为( 13,5). 18.(本小题满分 12 分)如图所示,在△AOB 中,点 P 在直线 AB → → → → |PA| 上,且满足OP=2tPA+tOB(t∈R),求 的值. → |PB|

→ → → → → → → 解:PA=OA-OP,所以OP=2t(OA-OP)+tOB,

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→ → → 即(1+2t)OP=2tOA+tOB, → → 2t → t 得OP= OA+ OB. 1+2t 1+2t → → 而 P,A,B 三点共线,所以存在实数 λ 使得AP=λAB, → → → 即OP=(1-λ)OA+λOB, 由平面向量基本定理, 所以 2t t + =(1-λ)+λ=1,解得 t=1, 1+2t 1+2t

→ → → 所以OP=2PA+OB, → → → |PA| 1 则BP=2PA,故 = . → 2 |PB| → 19.(本小题满分 12 分)设 e1,e2 是正交单位向量,如果OA=2e1 → → +me2,OB=ne1-e2,OC=5e1-e2,若 A,B,C 三点在一条直线上, 且 m=2n,求 m,n 的值. 解:以 O 为原点,e1,e2 的方向分别为 x,y 轴的正方向,建立 平面直角坐标系 xOy, → → → 则OA=(2,m),OB=(n,-1),OC=(5,-1), → → 所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0). → → 又因为 A,B,C 三点在一条直线上,所以AC∥BC, 所 以 3×0 - ( - 1 - m)· (5 - n) = 0 , 与 m = 2n 构 成 方 程 组

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? ? ?mn-5m+n-5=0, ? 解得? 1 ? n=- ?m=2n, ?
2

m=-1,

? ?m=10, 或? ? ?n=5.

20.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3, -1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t. 解:(1)因为 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1), 所以 a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t). 所 以 |a + tb| =
? 4?2 49 5?t-5? + ≥ 5 ? ?

(-3+2t)2+(2+t)2 = 49 7 5 = , 5 5

5t2-8t+13 =

4 当且仅当 t= 时取等号, 5 即|a+t b|的最小值为 7 5 4 ,此时 t= . 5 5

(2)因为 a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t), 又 a-tb 与 c 共线,c=(3,-1), 所以(-3-2t)· (-1)-(2-t)· 3=0. 3 解之可得 t= . 5 → → → → → 21.(本小题满分 12 分)已知向量OA,OB,OC满足条件OA+OB → → → → +OC=0,|OA|=|OB|=|OC|=1.求证:△ABC 为正三角形. → → → 证明:因为OA+OB+OC=0, → → → 所以OA+OB=-OC.

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→ → → 所以(OA+OB)2=(-OC)2. → → → → → 所以|OA|2+|OB|2+2OA·OB=|OC|2. → → 1 所以OA·OB=- . 2 → → OA·OB 1 所以 cos∠AOB= =- . 2 → → |OA||OB| 所以∠AOB=120°. 同理∠AOC=120°,∠COB=120°. → → → 即OA,OB,OC中任意两个夹角为 120°. 故△ABC 为正三角形. → → 22.(本小题满分 12 分)在四边形 ABCD 中,AB=(6,1),BC= → → → (x,y),CD=(-2,-3),BC∥DA. (1)求 x 与 y 的关系式; → → (2)若AC⊥BD,求 x,y 的值以及四边形 ABCD 的面积. 解:在四边形 ABCD 中,如图所示.

→ → → → (1)因为AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2), → → 所以DA=-AD=(-x-4,2-y). → → → 又因为BC∥DA,BC=(x,y),
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所以 x(2-y)-(-x-4)y=0, 即 x+2y=0. → → → (2)由于AC=AB+BC=(x+6,y+1), → → → BD=BC+CD=(x-2,y-3). → → → → 因为AC⊥BD,所以AC·BD=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0, 所以 y2-2y-3=0,所以 y=3 或 y=-1. → → 当 y=3 时,x=-6,于是BC=(-6,3),AC=(0,4), → BD=(-8,0). → → 所以|AC|=4,|BD|=8. 1→ → 所以 S 四边形 ABCD= |AC||BD|=16. 2 → → 当 y=-1 时,x=2,于是有BC=(2,-1),AC=(8,0), → BD=(0,-4). → → 所以|AC|=8,|BD|=4,S 四边形 ABCD=16.
? ?x=-6, ? ?x=2, 综上可知? 或? ?y=3 ?y=-1, ? ?

四边形 ABCD 的面积为 16.

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