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高中2015年自主招生数学考试含答案


2015 年自主招生考试
一、选择题(每小题 6 分,共 30 分。每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其中有且只有一个 选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得 0 分)

3 ?1? 1、下列图中阴影部分面积与算式 ? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是??????【 4 ?2?

2



2、下列命题中正确的个数有???????????????????????【 】 ① 实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121 的平方根是 ±11;④在实数范围内, 非负数一定是正数;⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票,女儿按 半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标 价相同,那么??????????????????????????【 】 A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关

4、如图,∠ACB=60○,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右 滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为【 】

A、2π B、π C、 2 3 D 、4 5、平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多有 m 个,最少有 n 个,则 m ? n 等于?????????????????????????????【 】 A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时, 则经过 小时,两人相遇。 2、若化简 1 ? x ? x 2 ? 8 x ? 16 的结果为 2x ? 5 ,则 x 的取值范围是 。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩, 90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生 是 。 笔试 甲 乙 丙 90 88 90 实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90

4、已知点 A 是一次函数 y ? x 的图像与反比例函数 y ?

2 的图像在第一象限内的交点,点 B 在 x 轴的 x


负半轴上,且 OA ? OB ( O 为坐标原点) ,则 ?AOB 的面积为
1

5、如果多项式 x2 ? px ? 12 可以分解成两个一次因式的积,那么整数 p 的值是 6、如右图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂 线 PQ,Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP= x ( 0 ? x ? 1 ) ,△ BPQ 与△CPR 的面积之和为 y , 把 y 表示为 x 的函数是 。 7、已知 x1,x2 为方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两实根,
2



则 x13 ? 14 x2 ? 55 ?



8、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道,如果将其中只有 1 人解出的题 叫做难题,2 人解出的题叫做中档题,3 人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。 三、解答题(本大题 6 小题,共 72 分) 1、 (10 分)在 ?ABC中, AB ? AC , ?A ? 45? 。 AC 的垂直平分线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E 两点,连结 CD ,如果 AD ? 1 ,求: tan ?BCD的值。 2、 (12 分)某公司为了扩大经营,决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中 每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所需的资金不能超 过 34 万元。 甲 价格(万元/台) 每台日产量(个) 7 100 乙 5 60

⑴ 按该公司的要求,可以有几种购买方案? ⑵ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,为了节约资金,应选择哪种购买方案? 3、 (12 分)如图所示,已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AF ? 2 , BF ? 1 。为了合理利用 这块钢板.将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP,使点 P 在 AB 上,且要求面积最大,求钢板 的最大利用率。

4、 ( 12 分 ) 如 图 所 示 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? CB , 对 角 线 AC 与 BD 交 于

O , ?ACD ? 60? , 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点。 求证:△ PQS 是等边三角形。 5、 (12 分)如右图,直线 OB 是一次函数 y ? 2 x 的图像,点 A 的坐标是(0,2) ,点 C 在直线 OB
上且△ACO 为等腰三角形,求 C 点坐标。 6、 (14 分)已知关于 x 的方程 (m ? 1) x ? 3(3m ? 1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根(m 是整数) 。
2 2

△ABC 的三边 a、b、c 满足 c ? 2 3 , m ? a m ? 8a ? 0 , m ? b m ? 8b ? 0 。
2 2 2 2

求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积。

数学试题参考答案
2

一、1、B,2、B,3、B,4、C,5、B

3 (3x 2 ? 4 x ? 2) 7、7 8、20 8 三 1、有已知可得 ?ADE 和?CDE 均为等腰直角三角形,计算得 BD ? 2 ? 1,在直角三角形 BCD 中, BD tan ?BCD ? ? 2 ? 1。 CD
二、1、2 2、 1 ? x ? 4 3、甲、乙 4、 2 5、 ?7, ?8, ?13 6、 2、 (1)设购买 x 台甲机器,则 7 x ? 5(6 ? x) ? 34 ,所以 x ? 2 。即 x 取 0、1、2 三个值,有三种购买方 案:①不购买甲机器,购 6 台乙机器;②购买 1 台甲机器,5 台乙机器;③购买 2 台甲机器,购 4 台乙机 器。 ( 2 )按方案①,所需资金 6 ? 5 ? 30 (万元) ,日产量为 6 ? 60 ? 360 (个) ;按方案②,所需资金 1 ? 7 ? 5 ? 5 ? 32(万元) , 日产量为 1 ? 100 ? 5 ? 60 ? 400(个) ; 按方案③, 所需资金为 2 ? 7 ? 5 ? 4 ? 34 (万元) ,日产量为 2 ? 100 ? 4 ? 60 ? 440 (个) 。所以,选择方案②。 3、如图所示,为了表达矩形 MDNP 的面积,设 DN=x,PN=y,则面积 S=xy, ① 因为点 P 在 AB 上,由△APQ∽△ABF 得

4? y 1 ? ,即 x ? 10 ? 2 y . 2 ? (4 ? x) 2
代入①,得 S ? (10 ? 2 y) y ? ?2 y 2 ? 10y , 即 S ? ?2( y ? ) ?
2

E M

A P

Q

F B

5 2

25 . 2

D

N

C

因为 3≤y≤4,而 y=

5 5 不在自变量的取值范围内,所以 y= 不是最值点, 2 2

当 y=3 时,S=12;当 y=4 时,S=8.故面积的最大值是 S=12. 此时,钢板的最大利用率是 80%。 4、连 CS。 ∵ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°,∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是 OD 的中点,∴CS⊥DO. 1 在 Rt△BSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线,∴SQ= BC. 2 同理 BP⊥AC. 1 在 Rt△BPC 中,PQ= BC. 2 1 1 又 SP 是△OAD 的中位线,∴SP= AD= BC. 2 2 ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形. 5、若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 A 为顶点,则 AO=AC1=2.
8 8 16 设 C1( x, 2 x ) ,则得 x 2 ? (2 x ? 2)2 ? 22 ,解得 x ? ,得 C1( , ) 5 5 5

若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 O 为顶点,则 OC2=OC3=OA=2.

3

设 C2( x ' , 2 x ' ) ,则得 x'2 ? (2 x' )2 ? 22 ,解得 x ' ? 又由点 C3 与点 C2 关于原点对称,得 C3( ?

4 2 4 .得 C2( 5, 5) 5 5 5

2 4 5, ? 5) 5 5

1 1 若此等腰三角形以 OA 为底边,则 C4 的纵坐标为 1,从而其横坐标为 ,得 C4( ,1 ). 2 2 所以,满足题意的点 C 有 4 个,坐标分别为: 1 8 16 2 4 2 4 ( , ) , ( , ( ? 5, ? 5 ) ,C4( ,1 ) 5, 5) 2 5 5 5 5 5 5

6、 (1)方程有两个实数根,则 m ? 1 ? 0 ,解方程得
2

x1 ?

?m ? 1 ? 1, 2,3,6, 6 3 , x2 ? .由题意,得 ? m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 1,3,

即?

?m ? 0,1,2,5, ?m ? 2,4.

故m ? 2. (2)把 m ? 2 代入两等式,化简得 a ? 4a ? 2 ? 0 , b ? 4b ? 2 ? 0 ,
2 2

当 a ? b 时, a ? b ? 2 ? 2 .
2 当 a ? b 时, a 、 b 是方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,而△>0,由韦达定理得,

a ? b ? 4 >0, ab ? 2 >0,则 a >0、 b >0.
① a ? b , c ? 2 3 时,由于 a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 16? 4? 12? c 2 故△ABC 为直角三角形,且∠C=90° ,S△ABC=

1 ab ? 1 . 2

② a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) ? 2 3 ,故不能构成三角形,不合题意,舍去. ③ a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) > 2 3 ,故能构成三角形.
1 S△ABC= ? 2 3 ? (2 ? 2)2 ? ( 3)2 ? 9 ? 12 2 2

综上,△ABC 的面积为 1 或 9 ? 12 2 .

4


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