当前位置:首页 >> 数学 >> 2013-2014学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷

2013-2014学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷


2013-2014 学年广东省汕头市金山中学高一(上) 期末数学试卷

菁优网

www.jyeoo.com

2013-2014 学年广东省汕头市金山中学高一(上) 期末数学试卷
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2013?四川)设集合 A={x|x+2=0},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩ B=( ) A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 2. (5 分)设 log2a<log2b<0,则( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

C.a>b>1

D.b>a>1

3. (5 分)已知 A.

, B.

,向量 C.

与 垂直,则实数 λ 的值为( D.



4. (5 分)函数 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ 的值是( A .0 B. C.

) D.π

5. (5 分) (2008?山东)函数 A. B. C.

的图象是(

) D.

6. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是( ) A. B. C.(1,2) (0, ) ( ,1)

x

D.(2,3)

7. (5 分)在△ ABC 中,若 0<tanA?tanB<1,那么 tanC 的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能为 0

D.可正可负

8. (5 分)在△ ABC 中,



.若点 D 满足

,则

=(



A.

B.

C.

D.

9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[1,3]时,f(x)=2﹣|x﹣2|,则(



?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,对任意 x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称函数 f(x)为 F ﹣函数.给出下列函数: ① f(x)=x ; ②
x 2



③ f(x)=2 ; ④ f(x)=sin2x. 其中是 F﹣函数的序号为( ) ② ③ A .① B.①

④ C .②

④ D.③

二、填空题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)请把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. (5 分)已知 ,则 的值为 _________ .

12. (5 分)已知函数

,则 f(f(﹣1) )的值等于 _________ .

13. (5 分)已知 、 均为单位向量,它们的夹角为

,那么

等于 _________ .

14. (5 分)函数

为减函数的区间是 _________ .

15. (5 分)若函数 f(x)=

,若 f(a)<0,则实数 a 的取值范围是 _________



16. (5 分) (2013?上海)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ ≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 _________ .

+7.若 f(x)

三、解答题(本大题共有 5 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (14 分)设函数 (1)求 (2)若 的值; ,求函数 f(x)的最大值. .

18. (14 分)已知函数 (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)若 ,且 ,试求 sinα 的值.

,其部分图象如图所示.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

19. (14 分)为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经 验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就 增加 3 辆.设每辆自行车的日租金 x(元) (3≤x≤20,x∈N ) ,用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租 自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 20. (14 分)设函数 ,f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}
2 2 *

(1)证明:函数 g(x)在(0,1]单调递增; (2)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β﹣α) ; (3)给定常数 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 21. (14 分)设 a 为非负实数,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a. (Ⅰ )当 a=2 时,求函数的单调区间; (Ⅱ )讨论函数 y=f(x)的零点个数,并求出零点.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

2013-2014 学年广东省汕头市金山中学高一(上) 期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2013?四川)设集合 A={x|x+2=0},集合 B={x|x ﹣4=0},则 A∩ B=( ) A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.? 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 分别求出两集合中方程的解,确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集. 解:由 A 中的方程 x+2=0,解得 x=﹣2,即 A={﹣2};
菁优网版权所有

由 B 中的方程 x ﹣4=0,解得 x=2 或﹣2,即 B={﹣2,2}, 则 A∩ B={﹣2}. 故选 A 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)设 log2a<log2b<0,则( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

2

C.a>b>1

D.b>a>1

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 转化思想. 分析: 本题中不等式里的代数式是对数型的,故要讨论 y=log2x 的单调性,利用对数函数的单调性来比较两个参数 的大小,确定它们的存在范围. x 解答: 解:考察函数 y=log2 ,是一个增函数,
菁优网版权所有

∵ log2a<log2b<0=log21 ∴ 0<a<b<1 故选 B 点评: 本题的考点是对数函数的单调性与特殊点,考查利用对数函数单调性比较真数的大小,属于基本知识应用 题.

3. (5 分)已知 A.

, B.

,向量 C.

与 垂直,则实数 λ 的值为( D.



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量 与 垂直,利用数量积的关系建立方程即可求解实数 λ 的值.
菁优网版权所有

解答:

解:∵ ∴

, =(﹣3λ﹣1,2λ) ,



?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com ∵ ∴ ( 与 垂直, )? =0,

即﹣(﹣3λ﹣1)=0, ∴ λ= ,

故选:D. 点评: 本题主要考查向量垂直与数量积之间的关系,要求熟练掌握向量的数量积的坐标公式,考查学生的计算能 力. 4. (5 分)函数 y=sin(2x+φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ 的值是( A .0 B. C. ) D.π

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的奇偶性. 计算题;三角函数的图像与性质. 根据函数 y=sin(2x+φ)的图象特征,若它是偶函数,只需要 x=0 时,函数能取得最值. 解:函数 y=sin(2x+φ)是 R 上的偶函数,就是 x=0 时函数取得最值, 所以 f(0)=±1 即 sinφ=±1
菁优网版权所有

所以 φ=kπ+

(k∈Z) , ,符合 0≤φ≤π

当且仅当取 k=0 时,得 φ=

故选 C 点评: 本题考查了正弦型函数的奇偶性,正弦函数的最值,是基础题.

5. (5 分) (2008?山东)函数 A. B. C.

的图象是(

) D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 利用函数 项.从而得以解决. 解答: 解:∵ cos(﹣x)=cosx, ∴

菁优网版权所有

的奇偶性可排除一些选项,利用函数的有界性可排除一些个选

是偶函数,

可排除 B、D, 由 cosx≤1?lncosx≤0 排除 C, 故选 A. 点评: 本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 6. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是( ) A. B. C.(1,2) (0, ) ( ,1)
x

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f( )=
菁优网版权所有

﹣ >0,再根据函数零点的判定定理可得函数 f(x)

=e +x﹣2 的零点所在的区间. 解答: 解:由于函数 f(x)=e +x﹣2,且 f(0)=1﹣2=﹣1<0,f( )= 可得函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是(0, ) , 故选 A. 点评: 本题主要考查函数零点的判定定理的应用,求函数的值,属于基础题. 7. (5 分)在△ ABC 中,若 0<tanA?tanB<1,那么 tanC 的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能为 0
x x

x

﹣ >0,

D.可正可负

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据 tanA?tanB>0 且 A、B 为三角形的内角,得到 tanA、tanB 都是正数.由 tanA?tanB<1,利用两角和的 正切公式证出 tan(A+B)>0.最后根据三角形内角和定理与诱导公式,证出 tanC=﹣tan(A+B)<0,可 得答案. 解答: 解:∵ tanA?tanB>0, ∴ tanA 与 tanB 的符号相同, 结合 A、B 为三角形的内角,可得 tanA>0 且 tanB>0. 又∵ tanA?tanB<1
菁优网版权所有

∴ tan(A+B)=

>0,

∵ A+B+C=π, ∴ tanC=﹣tan(π﹣C)=﹣tan(A+B)<0, 即 tanC 的值恒小于 0. 故选:B 点评: 本题已知△ ABC 的角 A、B 的正弦之积为小于 1 的正数,判断 tanC 的正数.着重考查了三角形内角和定理、 诱导公式、两角和的正切公式等知识,属于中档题.

8. (5 分)在△ ABC 中,



.若点 D 满足

,则

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意先求出 , 解答: 解:在△ ABC 中, ∴ = 又 ∴ = ∴ = + ﹣ ,

,再求出 ,

. ;如图;

= ﹣ ,

= ( ﹣ ) ; = + ( ﹣ )= + ;

故选:C.

点评: 本题考查了平面向量的基本应用问题,解题时应结合图形标出向量,从而解答问题. 9. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2) ,当 x∈[1,3]时,f(x)=2﹣|x﹣2|,则( A. B. C. D. )

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的周期性;函数单调性的性质. 函数的性质及应用. 根据函数的周期性和对称轴,即可得到结论. 解:由 f(x)=f(x+2) ,∴ 函数 f(x)的周期为 2. 当 x∈[1,3]时,f(x)=2﹣|x﹣2|,则函数 f(x)关于 x=2 对称.
菁优网版权所有

A.f(sin B.f(sin C.f(cos D.f(tan 故选:B.

)=f( )=f(

) ,f(sin ) ,f(cos

)=f( ) ,此时.f(sin

)<f(sin

) ,A 错误. )<f(cos ) ,∴ B 正确.

)=f(﹣ )=f( ) ,此时 f(sin )=f( ) ,∴ f(cos )>f(cos )>f(tan

)=f( ) ,f(cos )=f( ) ,f(tan

) ,∴ C 错误. )∴ D 错误.

)=f(1) ,∴ f(tan

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用,利用数形结合得到函数的单调性和对称性是解决本题的关键, 要求熟练掌握常见三角函数的三角值. 10. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,对任意 x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则称函数 f(x)为 F ﹣函数.给出下列函数: ① f(x)=x ; ②
x 2



③ f(x)=2 ; ④ f(x)=sin2x. 其中是 F﹣函数的序号为( ) ② ③ A .① B.① 考点: 专题: 分析: 解答:

④ C .②

④ D.③

函数恒成立问题. 计算题;新定义. 本题是一个新定义的题目,故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证,选出正确的即可.
菁优网版权所有

解:对于① ,f(x)=x ,当 x≠0 时,|f(x)|≤m|x|,即|x|≤m,显然不成立,故其不是 F﹣函数. 对于② f(x)=
x

2

,|f(x)|=

≤1×|x|,故函数 f(x)为 F﹣函数.

对于③ f(x)=2 ,|f(x)|<m|x|,显然不成立,故其不是 F 函数. 对于 ④ f(x)=sin2x,由于|f(x)|=|sin2x|≤|2x|=2|x|,故函数 f(x)为 F﹣函数. 故正确序号为 ② ④ , 故选:C. 点评: 本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则,是函数知识的给定应用题,综合性较强, 做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明. 二、填空题(本大题 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)请把答案填写在答题卡相应的位置上. 11. (5 分)已知 ,则 的值为 ﹣ .

考点: 诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵ sinα= ,
菁优网版权所有

∴ cos(

+α)=﹣sinα=﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

12. (5 分)已知函数

,则 f(f(﹣1) )的值等于 0 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的表达式直接代入即可求值.
菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 解答: 解:由分段函数可知,f(﹣1)=π,f(π)=0, 即 f(f(﹣1) )=f(π)=0, 故答案为:0. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用分段函数直接代入即可,注意自变量的取值范围.

13. (5 分)已知 、 均为单位向量,它们的夹角为

,那么

等于 1 .

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据 = = 解答: 解: = =

菁优网版权所有

,再利用两个向量的数量积的定义计算求得结果. = =1,

故答案为:1. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量得模,属于基础题. ]

14. (5 分)函数

为减函数的区间是

[





考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据正弦函数的单调区间的公式, 解关于 x 的不等式, 得到函数
菁优网版权所有

在 R 上的单调减区间

为[ 解答:

+kπ, +2kπ≤ +kπ≤x≤

+kπ](k∈Z) ,再取 k=0 即可得到函数在[0,π]上的单调减区间. ≤ +2kπ(k∈Z) ,

解:令 可得 ∴ 函数

+kπ(k∈Z) , 在 R 上的单调减区间为[ , ], , ]. +kπ, +kπ](k∈Z) .

取整数 k=0,得到减区间为[ ∴ 函数 故答案为:[ , ]

在[0,π]上的单调减区间为[

点评: 本题给出正弦型三角函数, 求函数在[0, π]上的单调减区间, 着重考查了正弦函数的单调性及其应用的知识, 属于基础题.

15. (5 分)若函数 f(x)=

,若 f(a)<0,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣1)∪ (0,

1) . 考点: 指、对数不等式的解法;其他不等式的解法.

菁优网版权所有

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用 f(x)= ,依题意,分 a>0 与 a<0 讨论,利用对数函数的单调性质即可求得

实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵ f(x)= ,

∴ 当 a>0 时,f(a)<0?log2a<0, 解得:0<a<1; 当 a<0 时,f(a)<0?

<0=



∴ ﹣x>1, 解得:x<﹣1. ∴ 实数 a 的取值范围是: (﹣∞,﹣1)∪ (0,1) . 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪ (0,1) . 点评: 本题考查对数不等式的解法,着重考查对数函数的单调性质,属于中档题.

16. (5 分) (2013?上海)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=9x+ ≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 . .

+7.若 f(x)

考点: 函数奇偶性的性质;基本不等式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先利用 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数求出 x≥0 时函数的解析式,将 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立转化为函 数的最小值≥a+1,利用基本不等式求出 f(x)的最小值,解不等式求出 a 的范围. 解答: 解:因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以当 x=0 时,f(x)=0;
菁优网版权所有

当 x>0 时,则﹣x<0,所以 f(﹣x)=﹣9x﹣ 因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(x)=9x+ ﹣7;

+7

因为 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立, 所以当 x=0 时,0≥a+1 成立, 所以 a≤﹣1; 当 x>0 时,9x+ 只需要 9x+ ﹣7≥a+1 成立,

﹣7 的最小值≥a+1,

因为 9x+

﹣7≥2

=6|a|﹣7,

所以 6|a|﹣7≥a+1,

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 解得 所以 故答案为 . . ,

. 点评: 本题考查函数解析式的求法;考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值;利用基本不等式求函数的最值. 三、解答题(本大题共有 5 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (14 分)设函数 (1)求 (2)若 的值; ,求函数 f(x)的最大值. .

考点: 二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)根据辅助角公式与两角和的正弦公式,化简得 f(x)=
菁优网版权所有

,将 x=

代入即可算出

的值; (2)由 得 ∈ ,利用正弦函数的性质得到当 即 时,

有最大值 1,由此可得函数 f(x)的最大值. 解答: 解: (1) = ∴ (2)由(1)得 f(x)= ∵ ∴ 当 即 时, ,可得 时, 有最大值 1, =2×1+1=3. , = =2sinπ+1=1; , = .

由此可得:函数 f(x)有最大值为

点评: 本题将一个三角函数式化简,求特殊的函数值并求函数的最大值.着重考查了三角恒等变换公式、正弦函 数的图象与性质等知识,属于中档题.

18. (14 分)已知函数 (1)求函数 y=f(x)的表达式;

,其部分图象如图所示.

?2010-2014 菁优网

菁优网
(2)若

www.jyeoo.com ,且 ,试求 sinα 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据函数的最大值,可得 A=1.算出周期 T=4( )=2π,可得 ω=
菁优网版权所有

=1.再将

代入得到关于 ? 的等式,结合 (2)由(1)得 配角:α=(α+ )﹣

解出

,即可得出函数 y=f(x)的表达式; ,再进行

,利用同角三角函数的关系算出 ,根据两角差的正弦公式加以计算,可得 sinα 的值.

解答: 解: (1)由图象,可得函数的最大值为 A=1, 最小正周期 T=4( )=2π,可得 ω= =1.

由此可得 f(x)=sin(x+? ) ,将 可得 ∵ ∴ <?< ,可得 , ,

代入,



,解得

因此,函数 y=f(x)的表达式是 (2)由 ∵ ∴ 由此可得: = . ,得 ,可得 , , = .



点评: 本题给出三角函数的图象,求函数的解析式,并依此求 sinα 的值.着重考查了由三角函数的部分图象确定 其解析式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识,属于中档题. 19. (14 分)为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经 验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就
?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com * 增加 3 辆.设每辆自行车的日租金 x(元) (3≤x≤20,x∈N ) ,用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租 自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 考点: 函数模型的选择与应用;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 x≤6 时,y=50x﹣115,令 50x﹣115>0,可得 3≤x≤6,且 x∈N.当 6<x≤20 时,y=[50﹣3(x﹣6)]x
菁优网版权所有

﹣115=﹣3x +68x﹣115. (2)分类讨论:当 x≤6 时,利用一次函数的单调性可得其最大值;当 6<x≤20 时,利用二次函数的单调性 可得其最大值.
* 解答: 解: (1)当 3≤x≤6,x∈N 时,y=50x﹣115…(3 分) * 当 6<x≤20,x∈N 时,y=[50﹣3(x﹣6)]x﹣115…(6 分)

2

故 (2)对于 f(x)=50x﹣115(3≤x≤6) , ∵ f(x)在[3,6]递增, ∴ 当 x=6 时,ymax=185(元) 对于 ∵ f(x)在
*

…(7 分)

…(9 分) ,

递增,在

递减,

又 x∈N ,且 f(11)>f(12)…(12 分) ∴ 当 x=11 时,ymax=270(元) …(13 分) ∵ 270>185, ∴ 当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多.…(14 分) 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查一次函数的单调性、二次函数的单调性、分段函数的意义、分 类讨论等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 20. (14 分)设函数 ,f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}
2 2

(1)证明:函数 g(x)在(0,1]单调递增; (2)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β﹣α) ; (3)给定常数 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)用单调性定义证明函数 g(x)在(0,1]的单调性; (2)求出 f(x)>0 的解集,即得区间 I 长度; (3)由 g(x)在[1,+∞)上的单调性,求出区间 I 的表达式 g(a)在[1﹣k,1+k]上的最小值即可. 解答: 解: (1)证明:∵ 函数 ,
菁优网版权所有

任取 x1,x2∈(0,1],且 x1<x2; ∴ ∵ 0<x1<x2≤1,
?2010-2014 菁优网



菁优网

www.jyeoo.com ∴ x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0, , ;

∴ g(x1)﹣g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2) , ∴ 函数 g(x)在(0,1]单调递增. (2)∵ f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0, 且区间 I={x|f(x)>0}, ∴ f(x)=x[a﹣(1+a )x]>0, ∴ ,即区间 I 长度为 .
2 2 2

(3)由(1)知,



当 1≤x1<x2 时,x1﹣x2<0,1﹣x1x2<0, ∴ g(x1)﹣g(x2)>0,即 g(x1)>g(x2) ; ∴ g(x)在[1,+∞)上单调递减, 由(2)知,I=g(a)=





,又∵ k∈(0,1) ,0<1﹣k<1,1<1+k<2,

∴ 函数 g(a)在[1﹣k,1]上单调递增,g(a)在[1,1+k]上单调递减; ∴ 当 1﹣k≤a≤1+k 时,I 长度的最小值必在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,



,又 g(1+k)>0,

∴ g(1﹣k)<g(1+k) ; ∴ 当 a=1﹣k 时,I 取最小值 g(1﹣k)= .

点评: 本题考查了函数的单调性与最值问题,以及函数与不等式的综合应用问题,是综合性题目. 21. (14 分)设 a 为非负实数,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a. (Ⅰ )当 a=2 时,求函数的单调区间; (Ⅱ )讨论函数 y=f(x)的零点个数,并求出零点. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理;分段函数的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)先讨论去绝对值,写成分段函数,然后分别当 x≥2 时与当 x<2 时的单调区间; (II)讨论 a 的正负,利用二次函数的单调性以及函数的极小值与 0 进行比较,进行分别判定函数 y=f(x) 的零点个数. 解答: 2 解: (Ⅰ )当 a=2 时, ,① 当 x≥2 时,f(x)=x ﹣2x﹣2=(x
菁优网版权所有

﹣1) ﹣3, ∴ f(x)在(2,+∞)上单调递增; 2 2 ② 当 x<2 时,f(x)=﹣x +2x﹣2=﹣(x﹣1) ﹣1, ∴ f(x)在(1,2)上单调递减,在(﹣∞,1)上单调递增; 综上所述,f(x)的单调递增区间是(﹣∞,1)和(2,+∞) ,单调递减区间是(1,2) .
?2010-2014 菁优网

2

菁优网

www.jyeoo.com (Ⅱ ) (1)当 a=0 时,f(x)=x|x|,函数 y=f(x)的零点为 x0=0; (2)当 a>0 时, ,

故当 x≥a 时,

,二次函数对称轴



∴ f(x)在(a,+∞)上单调递增,f(a)<0; 当 x<a 时, ∴ f(x)在 ∴ f(x)的极大值为 1°当 上单调递减,在 ,二次函数对称轴 上单调递增; , ,

,即 0<a<4 时,函数 f(x)与 x 轴只有唯一交点,即唯一零点,

由 x ﹣ax﹣a=0 解之得函数 y=f(x)的零点为 2°当

2



(舍去) ;

,即 a=4 时,函数 f(x)与 x 轴有两个交点,即两个零点,分别为 x1=2 和

; 3°当 ,即 a>4 时,函数 f(x)与 x 轴有三个交点,即有三个零点,

由﹣x +ax﹣a=0 解得,

2



∴ 函数 y=f(x)的零点为 综上可得,当 a=0 时,函数的零点为 0;





当 0<a<4 时,函数有一个零点,且零点为 当 a=4 时,有两个零点 2 和 当 a>4 时,函数有三个零点 ; 和





点评: 本题主要考查了函数的单调性,以及函数零点问题,同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力,属于中 档题.

?2010-2014 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;ywg2058;wfy814;邢新丽;sllwyn;742048;maths;xintrl;yhx01248; wdnah;wyz123;caoqz;minqi5(排名不分先后)
菁优网 2014 年 7 月 24 日

?2010-2014 菁优网


更多相关文档:

2013-2014学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷.doc

2013-2014学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。高中数学习题 2013-2014 学年广东省汕头市金山中学高一(上) 期末数学试卷 菁优...

...学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷含答....doc

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷含答案 - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个小题,...

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末数学....doc

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末试题 Word版含...

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一下学期期末考试....doc

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一下学期期末考试-数学_高一数学_数学_高中教育_教育专区。汕头高一数学综合测试 2013-2014 学年度第二学期高一期末考试数学试题...

...学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷(解....doc

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷(解析版) - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个小题...

[精品]2014-2015年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期....pdf

[精品]2014-2015年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷带答案PDF - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个...

2014-2015年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷....doc

2014-2015年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷与答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、...

2014-2015年广东省汕头市金山中学高一上学期数学期末试....doc

2014-2015年广东省汕头市金山中学高一上学期数学期末试卷和解析 - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个小题,每...

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试....doc

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一(上)数学期末试卷和 解析 - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个小题,...

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学....doc

2014-2015学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试卷和解析 - 2014-2015 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题有 12 个小题,...

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末数学....doc

广东省汕头市金山中学2013-2014学年高一上学期期末数学试题 Word版含答案 - 高一期末考试数学试题 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)在每...

...学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷及答....doc

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷及答案 - 2015-2016 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共 12 小题,...

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期期末考试....doc

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案 - 汕头市金山中学 2014--2015 学年度第一学期高一年级期终考 试 数 学 命题人:张...

...广东省汕头市濠江区金山中学高一(上)期末数学试卷及....doc

2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高一(上)期末数学试卷及答案 - 2016-2017 学年广东省汕头市濠江区金山中学高一(上)期末数 学试卷 一、选择题(本大题...

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学....doc

广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷 (Word版_数学_高中教育_教育专区。广东省汕头市金山中学 2014-2015 学年高一上学期月考数学试卷一、...

...2017年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学试卷及....pdf

2016-2017年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学试卷及参考答案_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题...

2015-2016年广东省汕头市金山中学高一下学期期末数学试....doc

2015-2016年广东省汕头市金山中学高一下学期期末数学试卷及答案 - 2015-2016 学年广东省汕头市金山中学高一()期末数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每...

广东省汕头市金山中学2014年高一上学期期末考试英语试....doc

广东省汕头市金山中学2014年高一上学期期末考试英语试卷及答案_英语_高中教育_教育专区。汕头金中 2014~2015 学年度上学期高一期末考试 英语科试卷试卷分选择题和...

2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷和解析答案.doc

2016年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷和解析答案 - 2016 年广东省汕头市金山中学高一入学数学试卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) ...

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末考试....doc

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末考试 数学Word版含答案_高中教育_教育专区。2017-2018学年高一学期期末考试试题Word版含答案 ...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com