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成才之路·人教A版数学选修2-3 2.3.3

选修 2-3

第二章

2.3

2.3.3

一、选择题 1.已知随机变量 X 的分布列是 X P 则 E(X)和 D(X)分别等于( A.1 和 0 C.2 和 2 [答案] D [解析] E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2, D(X)=(2-1)2×0.4+(2-2)2×0.2+(2-3)2×0.4=0.8. 2.已知随机变量 X 的分布列为 X P 且 η=2X+3,且 E(η)等于( 3 A. 5 21 C. 5 [答案] C 17 7 1 3 [解析] ∵E(X)=0× +1× +2× = , 5 15 15 5 21 ∴E(η)=E(2X+3)=2E(X)+3= . 5 3.某人从家乘车到单位,途中有 3 个交通岗.假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的,且概率都是 0.4,则此人上班途中遇红灯次数的均值为( A.0.4 C.0.43 [答案] B [解析] ∵途中遇红灯的次数 X 服从二项分布,即 X~B(3,0.4),∴E(X)=3×0.4=1.2. 4.已知 X 的分布列为 X -1 0 1 B.1.2 D.0.6 ) ) 6 B. 5 12 D. 5 0 7 15 1 7 15 2 1 15 ) B.1 和 1.8 D.2 和 0.8 1 0.4 2 0.2 3 0.4

P 若 η=2X+2,则 D(η)的值为( 1 A.- 3 10 C. 9 [答案] D )

1 2

1 3

1 6

5 B. 9 20 D. 9

1?2 1 ? 1?2 1 ? 1? 1 1 1 1 [解析] E(X)=-1× +0× +1× =- ,D(X)=? ?-1+3? ×2+?0+3? ×3+?1+3? 2 3 6 3
2

1 5 × = , 6 9 ∴D(η)=D(2X+2)=4D(X)= 4×5 20 = . 9 9

5.(2013· 景德镇市高二期末)随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),且 E(X)=300,D(X) =200,则 P 等于( 2 A. 3 C.1 [答案] D [解析] ∵X~B(n,p),E(X)=300,D(X)=200,
? ?np=300, ∴? ?np?1-p?=200, ?

) B.0 1 D. 3

1 ∴p= . 3 6.(2013· 山西模拟)某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条 出示给 A 组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小 组内同学甲猜对成语的概率是 0.4,同学乙猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不 对得 0 分,则这两个同学各猜 1 次,得分之和 X(单位:分)的数学期望为( A.0.9 C.1.2 [答案] A [解析] X 的取值为 0、1、2, P(X=0)=(1-0.4)(1-0.5)=0.3, P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5, P(X=2)=0.4×0.5=0.2, ∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. B.0.8 D.1.1 )

二、填空题 7.牧场的 10 头牛,因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知该病的发病率为 0.02,设 发病牛的头数为 X,则 D(X)等于________. [答案] 0.196 [解析] 由题意知,随机变量服从二项分布,所以 D(X)=npq=10×0.02×(1-0.02)= 0.196. 8. 某次考试中, 第一大题由 12 个选择题组成, 每题选对得 5 分, 不选或选错得 0 分. 小 王选对每题的概率为 0.8,则其第一大题得分的均值为________. [答案] 48 [解析] 设小王选对个数为 X,得分为 η=5X, 则 X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6, E(η)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48. 三、解答题 9.(2014· 豫东、豫北十所名校联考)为了解当前国内青少年网瘾的状况,探索青少年网 瘾的成因,中国青少年网络协会调查了 26 个省会城市的青少年上网情况,并在已调查的青 少年中随机挑选了 100 名青少年的上网时间作参考, 得到如下的统计表格, 平均每天上网时 间超过了 2 个小时可视为“网瘾”患者. 时间(单位:小时) 人数 [0,1] 52 (1,2] 23 (2,3] 10 (3,4] 5 (4,5] 4 (5,6] 4 (6,12] 2

(1)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况,则在中国随机挑选 3 名青少年, 求至少有一人是“网瘾”患者的概率; (2)以该 100 名青少年来估计中国青少年的上网情况,则在中国随机挑选 4 名青少年, 记 X 为“网瘾”患者的人数,求 X 的分布列和数学期望. [解析] (1)由题意得,该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者. 设 Ai(0≤i≤3)表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者”, “至少有一人是 网瘾患者”记为事件 A, 75 37 则 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=1-P(A0)=1-( )3= . 100 64 (2)X 的可能取值为 0、1、2、3、4, 3 81 P(X=0)=( )4= , 4 256 3 3 1 27 P(X=1)=C1 , 4( ) ( )= 4 4 64 3 2 1 2 27 P(X=2)=C2 , 4( ) ( ) = 4 4 128

3 13 3 P(X=3)=C3 , 4( )( ) = 4 4 64 14 1 P(X=4)=C4 . 4( ) = 4 256 X 的分布列为 X P 0 81 256 1 27 64 2 27 128 3 3 64 4 1 256

81 27 27 3 1 则 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =1. 256 64 128 64 256 10.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数 Y X<300 0 300≤X<700 2 700≤X<900 6 X≥900 10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300、700、900 的概率分别为 0.3、 0.7、0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. [分析] (1)利用概率的加法公式及对立事件求分布列, 再求均值与方差. (2)利用条件概 率公式求解. [解析] (1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为: Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2 ×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6. 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= P?300≤x<900? 0.6 6 = = . 0.7 7 P?X≥300?

6 故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7 [点评] 本题考查随机变量的分布列与均值、方差、条件概率等知识,考查抽象概括能

力与计算能力.

一、选择题 11.已知 X 服从二项分布 B(n,p),且 E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,则二项分布 的参数 n、p 的值为( A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3 [答案] B [解析] 由 E(3X+2)=3E(X)+2, D(3X+2)=9D(X), 及 X~ B(n, p)时, E(X)=np, D(X) =np(1-p)可知
? ? ?3np+2=9.2, ?n=6, ? ∴? ?9np?1-p?=12.96, ? ? ?p=0.4.

) B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1

12.已知某班有 6 个值日小组,每个值日小组中有 6 名同学,并且每个小组中男生的人 数相等, 现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛, 若抽出的 6 人中至少有 1 名男生的 728 概率为 ,则该班有男生( 729 A.24 C.12 [答案] A 728 [解析] 设每个小组抽一名同学为男同学的概率为 p,则由已知 1-(1-p)6= ,即(1 729 1 2 2 -p)6= ,解得 p= ,所以每个小组有 6× =4 名男生,全班共有 24 名男生. 729 3 3 13.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3 张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是( A.7.8 C.16 [答案] A C3 7 8 [解析] X 的取值为 6、9、12,P(X=6)= 3 = , C10 15
1 2 C2 7 C1 1 8C2 8C2 P(X=9)= 3 = ,P(X=12)= 3 = . C10 15 C10 15

)人.(

) B.18 D.6

)

B.8 D.15.6

7 7 1 E(X)=6× +9× +12× =7.8. 15 15 15 二、填空题 14.在一次商业活动中,某人获利 300 元的概率为 0.6,亏损 100 元的概率为 0.4,此人

在这样的一次商业活动中获利的均值是________. [答案] 140 [解析] 设此人获利为随机变量 X,则 X 的取值是 300,-100,其概率分布列为: X P 300 0.6 -100 0.4

所以 E(X)=300×0.6+(-100)×0.4=140. 15.若 X 的分布列如下表: X P 1 ? 则 D? ?4X?=________. [答案] 5 64 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4

1 5 [解析] E(X)= (1+2+3+4)= , 4 2

? 5?2 ? 5?2 ? 5?2 ? 5?2? D(X)=? ??1-2? +?2-2? +?3-2? +?4-2? ?
1 5 × = , 4 4 1 ? 1 5 ∴D? ?4X?=16D(X)=64. 三、解答题 16.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n= 1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ 表示所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列、均值和方差; (2)若 η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a、b 的值. [解析] (1)ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5

1 1 1 3 1 ∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× 2 20 10 20 5 =1.5. 1 1 1 3 1 D(ξ)=(0-1.5)2× +(1-1.5)2× +(2-1.5)2× +(3-1.5)2× +(4-1.5)2× 2 20 10 20 5 =2.75. (2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,即 a=± 2.又 E(η)=aE(ξ)+b,所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2;

当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4,
? ? ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? 即为所求. ?b=-2, ?b=4. ? ?

17. 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位: 吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水 量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. [分析] (1)由频率和为 1,列式求出 x 的值;(2)从图中知用水为 3 至 4 吨的概率为 0.1, 又本抽样为有放回抽样,故 X~B(3,0.1),其中 X=0,1,2,3. [解析] (1)依题意及频率分布直方图知,(0.02+0.1+x+0.37+0.39)×1=1,解得 x= 0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1).
3 因此 P(X=0)=C0 3×0.9 =0.729, 2 P(X=1)=C1 3×0.1×0.9 =0.243, 2 P(X=2)=C2 3×0.1 ×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 3×0.1 =0.001.

故随机变量 X 的分布列为

X P

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

X 的数学期望为 E(X)=3×0.1=0.3. [点评] 本题通过频率分布直方图,将统计知识与概率结合起来.考查了二项分布,离 散型随机变量的分布列与数学期望(均值).


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