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20.2 矩形的判定教案


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20.2 矩形的判定
预习导航学案 激活思维 1.请你画一个矩形,并画出它们的对角线.观察图形,你能说出它有哪些性质吗?试一试. 2.__________________叫做矩形. 3.矩形的对边________;四个角都是___________;对角线___________。 4.____________________的平行四边形是矩形. 对角线_____________的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是________________形 信息鼠标 1.(略) 2.有一个内角是直角的平行四边形 3.相等 直角 相等 相等 矩 互动研学教练 教材研学 一、矩形的性质回顾 1.矩形的性质 (1)矩形具有平行四边形的一切性质; (2)矩形对角线相等; (3)矩形的四个角都是直角; (4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.对称轴有两条,分别是每组对边中点连 线所在的直线;对称中心是两对角线的交点. 2.矩形性质的图形说明 如图 20—2—1,在矩形 ABCD 中,

4.有一个角是直角

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从边上看: AB∥CD,AB=CD;AD∥BC,AD=BC. 从对角线上看: AC=BD 且 OA=OB=OC=OD。 从角上看: ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 老师:根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质? 小弘:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.如:在 Rt△ABC 中,O 是斜边 AC 的中点,则 AC=2OB. 二、矩形的判定 如图 20-2-2

1.利用定义判别

?? 矩形 平行四边形 ?????
有一个内角为直角

2.利用对角线判别 对角线相等的平行四边形是矩形; 对角线平分且相等的四边形是矩形. 即:①在平行四边形 ABCD 中, 若 AC=BD,则平行四边形 ABCD 是矩形; ②在四边形 ABCD 中,若 AC=BD,且 OA=OC、OB=OD, 则四边形 ABCD 是矩形. 3.利用角判别 四个角是直角的四边形是矩形.即:在四边形 ABCD 中,若∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 则四边形 ABCD 是矩形.实际证明中,只要证明出三个角为直角即可. 三、矩形的应用 (1)用以证明线段相等或平分或倍数关系; (2)直角三角形两锐角互余;
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(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (4)直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半; (5)证明两条直线垂直. 四、探究活动 如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的 这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形” .如图 20 一 2—3①,矩形 ABEF 即为△ABC 的“友好矩形” ,显然,当△ABC 是钝角三角形时,其 “友好矩形”只有一个. 问题:仿着上述叙述,画出直角三角形的“友好矩形” ,并比较这些矩形面积的大小.

分析:考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形,当以两条直角边为边作矩形时,这 两个矩形重合,即为一个,所以直角三角形的“友好矩形”有两个. 探究:如图 20 一 2—3②,若△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,在图 20—2—3②中画出 △ABC 的所有“友好矩形” ,此时共有 2 个矩形,如图 20—2—4 中的 BCAD、ABEF;易知, 矩形 BCAD、ABEF 的面积等于△ABC 面积的 2 倍,∴△ABC 的“友好矩形”的面积相等. 结论:直角三角形有两个“友好矩形” ,且这两个矩形的面积相等.

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点石成金 例 1.如图 20—2—5 所示,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AE ⊥BD 于 E,则: (1)图中与∠BAE 相等的角有__________; (2)若∠AOB=60°,则 AB:BD=_________。图中△DOC 是___________三角形(按边 分) .

解析:这是一道直接考查矩形特征的例题,在解答时,我们应充分考虑矩形的特征及与之 相关的知识,例如在寻找与∠BAE 相等的角时,看清∠BAE 的形成,即为过 A 作 AE⊥BD 所形成,则∠BAE+∠EAD=90°,而∠ADB+∠EAD=90°,故∠BAE=∠ADB.又因为∠ ADB=∠DBC= ∠DAC,由此找与∠BAE 相等的角就不难了;至于在第(2)问求 AB:BD 的方法,可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论. 答案(1)∠ADB,∠DBC,∠ACB,∠DAC (2)1:2 等边 名师点金:找角时一定要找全,不能漏掉. 例 2. 如图 20—2—6 所示, 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC、 BD 相交于点 O, 已知 AC=6 om, ∠BOC=120°.求: (1) ∠ACB 的度数; (2)求 AB、BC 的长度.

分析:本题是对矩形性质的考查(1) 要求∠ACB 的度数,而已知∠BOC=120°, △BOC 中,由矩形的性质,知 OB=OC,从

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而∠OBC=∠ACB.由此可求出∠ACB. (2)在 Rt△ACB 中,对角线 AC=6cm,第(1)问已求出∠ACB=30°,因此 AB 即可求出.然后 利用勾股定理求出 BC 的长. 解: (1)在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 互相平分且相等,于是 OB=OC,所以∠OBC =∠ACB,故 ∠ACB =

1 (180°一 120°)=30°. 2 1 AC=3cm,BC= AC2 ? AB2 ? 62 ? 32 ? 3 3 (cm) 2

(2)矩形 ABCD 中,∠ABC=90°,又∠ACB=30°,因此 30°角所对直角边 AB 等于斜 边 AC 的一半,即 AB=

名师点金:矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决. 例 3.已知□ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 O,△ABO 是等边三角形,AB=4 cm,求这 个平行四边形的面积(图 20 一 2—7.)

分析: (1)先判定□ABCD 为矩形。 (2)求出 Rt△ABC 的 直角边 BC 的长。 (3)计算 S=AB·BC 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形。∴△ABO≌△DCO 又∵△ABO 是等边三角形 ∴△DCO 也是等边三角形,即 AO=BO=CO=DO ∴AC=BD ∴ □ABCD 为矩形。 在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=90° ∴BC= 3 AB,即 BC=4 3 cm S ABCD=AB·AC=16 3 cm2 名师点金:本题首先判定平行四边形是矩形,再利用矩形的面积公式来计算. 例 4. (1)利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形” . (2)若△ABC 为 锐角三角形,且 BC< AC<AB,在图 20 一 2—8 中画出△ABC 的所有“友好矩形” ,指出其 中周长最小的矩形并加以证明.

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分析:用类比联想的方法先构造出每一种情况下三角形的“友好矩形” ,根据矩形的边和面 积与其三角形的边和面积之间的关系,寻找其周长与面积.

解:(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件: 三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边 上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” . (2)此时共有 3 个“友好矩形” , 如图 20—2—9 中矩形 BCDE,CAFG 及 ABHK,其中矩形 ABHK 的周长最小.证明如下: 易知,这三个矩形的面积相等,令其为 s.设矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK 的周长分别 为 L1、L2、L3,△ABC 的边长 BC=a,CA=b,AB=c,则 L1= L2=

2S +2a a

2S 2S +2b,L3= +2c。 b c

∴ L1 ? L2 ? ?

? 2S ? ? 2S ? 2S (b ? a) ? 2a ? ? ? ? 2b ? ? ? 2(a ? b) ab ? a ? ? b ? ? S ? ? 1? =2(a-b) ? ab ?

= 2(a ? b)?

而 a>b,∴L1-L2>0,即 L1>L2。同理可得 L2>L3 ∴L3 的周长最小,即矩形 ABHK 的周长最小。 名师点金:在阅读理解的基础上,先画出图形,确定好每一种情形,利于进一步求解。

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