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6-1高中数学核动力


第六章 不等式与推理证明

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第六章 不等式与推理证明

1.不等关系
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了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式
(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函

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数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,

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会设计求解的程序框图.
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第六章 不等式与推理证明

3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
(1)会从实际情景中抽象出二元一次不等式组.
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(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表
示二元一次不等式组. (3)会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决. 4.基本不等式

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(1)了解基本不等式的证明过程.
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

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第六章 不等式与推理证明

5.合情推理与演绎推理
(1)了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单 的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. (2)了解演绎推理的重要性 ,掌握演绎推理的基本模 式,并能运用它们进行一些简单推理. (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系和差异. 6.直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法, 了解分析法和综合法的思考过程、特点. (2)了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证 法的思考过程、特点.
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第六章 不等式与推理证明

7.(理)数学归纳法
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(1)了解数学归纳法的原理.
(2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

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第六章 不等式与推理证明

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第1节

不等式关系与不等式

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第六章 不等式与推理证明

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1.(2011·全国高考)下面四个条件中,使a>b成立的充 分而不必要的条件是( A.a>b+1 ) B.a>b-1

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C.a2>b2
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D.a3>b3
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第六章 不等式与推理证明

【解析】
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要求a>b成立的充分不必要条件,必须满足
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由选项能推出a>b,而由a>b推不出选项.在选项A中,a>b
+1能使a>b成立,而a>b时a>b+1不一定成立,故A正确; 在选项B中,a>b-1时a>b不一定成立,故B错误;在选项C 中,a2>b2时a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值, 故C错误;在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D也 错误. 【答案】 A

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第六章 不等式与推理证明

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1 2. (2011· 浙江高考)设 a, 为实数, b 则“0<ab<1”是“b< ” a 的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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第六章 不等式与推理证明

【解析】 ∵0<ab<1,∴a,b 同号,且 ab<1.
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1 1 ∴当 a>0,b>0 时,b< ;当 a<0,b<0 时,b> . a a 1 ∴“0<ab<1”是“b< ”的不充分条件. a 1 而取 b=-1,a=1,显然有 b< ,但不能推出 0<ab<1, a 1 ∴“0<ab<1”是“b< ”的不必要条件. a

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【答案】 D

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1 3.(2012· 新课标高考)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取 2 值范围是( ) 2 B. ,1 2 D.( 2,2)

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2 A.0, 2 C.(1, 2)

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【解析】 利用指数函数和对数函数的性质求解.
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1 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除答 2 案 C,D;
1 1 1 11 取 a= ,x= ,则有 42=2,log =1,显然 4x<logax 不 2 2 22

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成立,排除答案 A;故选 B.
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【答案】 B

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x2 4. (2010· 江苏高考)设 x, 为实数, y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y
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x3 ≤9,则 4的最大值是________. y
x2 1 y 1 1 y2 1 【解析】 ∵4≤ ≤9,∴ ≤ 2≤ ,∴ ≤ 4≤ . y 9 x 4 81 x 16 x3 1 1 2 又∵3≤xy ≤8,而 4= 4= , y y y2 xy2·4 3 x x

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1 1 x 2y 且 ≤xy ·4≤ ,∴2≤ 4≤27. 27 x 2 y
【答案】 27

2

3

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5.(2012· 四川高考)设 a,b 为正实数.现有下列命题:
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1 1 ①若 a -b =1,则 a-b<1;②若 - =1,则 a-b<1; b a
2 2

③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

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【解析】 ①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b 为正 实数,若 a-b≥1,则必有 a+b>1,不合题意,故①正确.
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1 1 a-b ②中, - = =1, 只需 a-b=ab 即可. 如取 a=2, b a ab 2 4 b= 满足上式,但 a-b= >1,故②错. 3 3
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③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,且|a
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-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|= |a-b|(a2+ab+b2)=1.若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必 有 a2+ab+b2>1,不合题意,故④正确.
【答案】 ①④

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1.同向不等式相加与相乘的条件可否一致?
提示:同向不等式相加,对两端字母无条件限制,而同 向不等式相乘必须两端字母为正,否则不一定成立. 2.不等式两端平方可否为任意实数? 提示:两端平方时,若为负时不等式不成立,故仍限制

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两端必须同时为正.

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某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车, 计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90

万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5
辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等 式. 【思路点拨】 把握关键点,不超过1000万元,且A、

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B两种车型分别至少5辆、6辆,则不等式关系不难表示,要

注意取值范围.

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【尝试解答】 设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、
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y 辆, ?40x+90y≤1000, ? ?x≥5, 则? ?y≥6, ?x,y∈N*, ?
【归纳提升】

?4x+9y≤100, ? ?x≥5, 即? ?y≥6, ?x,y∈N*. ?

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1.将实际的不等关系写成对应的不等式

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时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号 之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等

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关系.
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2.注意区分“不等关系”和“不等式”,不等关系强
调的是关系,可用“>”、“<”、“≥”、“≤”和“≠” 表示,不等式则是表现不等关系的式子,对于实际问题中的 不等关系可以从“不超过”、“至少”“至多”等关键词上 去把握,并考虑实际意义.

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已知 a,b∈R 且 a>b,则下列不等式中一定成立的是 ( ) a A. >1 b B.a2>b2

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1a 1b C.lg(a-b)>0 D. < 2 2 【思路点拨】 对于A、B可用特殊值法,对C、D可用
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对数函数及指数函数的性质判断.

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a 【尝试解答】 令 a=2,b=-1,则 a>b, =-2,故 b
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a >1 不成立,排除 A;令 a=1,b=-2,则 a2=1,b2=4, b 故 a2>b2 不成立,排除 B;当 a-b 在区间(0,1)内时,lg(a- 1x b)<0, 排除 C; f(x)= 在 R 上是减函数, ∵a>b, ∴f(a)<f(b). 2
【答案】 D

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第六章 不等式与推理证明

已知 a>0,b>0,求证:a a+b b≥a b+b a.
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【思路点拨】 作差后分解因式.

【尝试解答】 证明:因为(a a+b b)-(a b+b a) =a( a- b)+b( b- a) =( a- b)(a-b) =( a- b)2( a+ b)≥0.

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所以 a a+b b≥a b+b a.

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【归纳提升】 比较大小的方法
1.作差法
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其 一 般 步 骤 是 : (1) 作 差 ; (2) 变 形 ; (3) 定 号 ; (4) 结 论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方 法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数 时,也可以先平方再作差. 2.作商法 其一般步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大 小;(4)结论.但应注意作商法只用于两数同正或同负. 3.特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题, 也可以用特殊值法探路.
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(2013· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题: a b (1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中 d c 能成立的个数是( A.1 ) B.2 D.4 利用不等式的性质说明正误或举反例说

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C.3 【思路点拨】
明真假.

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第六章 不等式与推理证明

【尝试解答】 ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc,∴(1)错误.
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∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d,∴a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,∴(3)正确.

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∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确. 故选 C.
【答案】 C
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第六章 不等式与推理证明

已知 a、b、c、d 为实数,判断下列命题的真假:
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(1)若 ac2>bc2,则 a>b;(2)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; 1 1 b a (3)若 a<b<0,则 < ;(4)若 a<b<0,则 > ;(5)若 a>b a b a b >0,c>d>0,则
【思路点拨】

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a > d

b . c
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可利用不等式的性质判断一个命题为真

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命题,要说明一个命题为假,可通过举反例说明.





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第六章 不等式与推理证明

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【尝试解答】 (1)由 ac2>bc2,知 c≠0,c2>0,所以 a >b,所以为真命题.
?a<b ? (2)由? ?a<0 ?

?a

2

?a<b ? >ab,又? ?b<0 ?

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?ab>b2,所以 a2>ab

>b2,所以为真命题.
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1 1 (3)例如-3<-2<0,但- >- ,所以为假命题. 3 2

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第六章 不等式与推理证明

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?-a>-b>0 ? (4)因 a<b<0?? 1 1 ?0>a>b ? a < ,所以为假命题. b (5)∵a>b>0,c>d>0, a b ∴ac>bd>0,∴ > >0,∴ d c 命题.

?-a>-b>0 ? ?? 1 1 ?-b>-a>0 ?

b ? a

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a > d

b .∴(5)正确为真 c

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第六章 不等式与推理证明

【归纳提升】
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1.判断一个关于不等式的命题的真假
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时,先要把判断的命题与不等式的性质联系起来,还要考虑
其他数学知识,比如对数函数、指数函数的性质等. 2.特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,说 明一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不能用特殊值 法肯定一个命题正确,只能利用所学知识严密证明,在用不

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等式性质证明命题时,可适当使用一些不等式性质的推广命
题加以证明.

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第六章 不等式与推理证明

●考情全揭密●
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从近两年的高考试题来看,不等关系、不等式的性质及 应用等是高考的热点,题型既有选择题,又有填空题,难度

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为中低档;客观题突出对不等式性质的灵活运用,与不等式
有关的集合的运算,也是常考题型;主观题考查绝对值不等 式、不等式性质的应用,有时考查转化思想、数形结合思 想. 预测2014年高考仍将以不等关系、不等式性质及应用为
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主要考查点,重点考查逻辑推理能力.
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第六章 不等式与推理证明

●命题新动向●
不等式性质的应用
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不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系(充
分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向可乘 性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应注意 a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质,把握其逻辑关系, 才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.

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【易混易错】
式.

利用不等式的性质时,要注意性质中的

条件是否为充要条件,不能用充分不必要条件的性质解不等

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第六章 不等式与推理证明

(2012· 湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
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c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ B.①② )

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D.①②③ 1 1 【规范解答】 ∵a>b>1,∴ < .又 c<0, a b
c c ∴ > ,故①正确. a b 构造函数 y=xc.∵c<0,∴y=xc 在(0,+∞)上是减函数.
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又a>b>1,∴ac<bc,故②正确.
∵a>b>1,-c>0,∴a-c>b-c>1. ∵a>b>1,∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c), 即logb(a-c)>loga(b-c),故③正确. 【答案】 D

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第六章 不等式与推理证明

●针对训练● 已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是
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(

) A.a2<b2 1 1 C. 2< 2 ab a b B.a2b<ab2 b a D. < a b

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【解析】 由 a<b<0 得 a2>b2,知 A 不成立; 由 a<b,若 ab<0 则 a2b>ab2,知 B 不成立;
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b a 1 若 a=1,b=2,则 =2, = , a b 2 b a 此时 > ,所以 D 不成立; a b
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第六章 不等式与推理证明

事实上,对于 C,
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1 1 a-b ∵ 2- 2 = 2 2 <0, ab a b a b 1 1 ∴ 2< 2 成立. ab a b
【答案】 C

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