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华澜高中2017高三数学一轮复习---三角函数、平面向量综合题九类型含答案解析

三角函数与平面向量综合题的九种类型 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π .若向量→ p =(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ q= C-3B 2 (sinA-cosA,1+sinA)是共线向量.(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)求函数 y=2sin B+cos 的最大值. 2

题型四:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例 4】(2010 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

? ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) a ? (tan(? ? ), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求 的值. 4 cos ? ? sin ?

? 练习:设函数 f(x)=→ a ·→ b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2.(Ⅰ) 2 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值. 3? 【例 2】已知向量→ a =(3sinα ,cosα ),→ b =(2sinα ,5sinα -4cosα ),α ∈( ,2π ),且→ a ⊥→ b. 2 α ? (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 cos( + )的值. 2 3

题型五:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 ? 【例 5】 (浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ?), x ? R (其中 0 ? ? ?

?
2

)的图像与 y 轴交于点

(0,1) 。 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的 题型三. 【例 3】 三角函数与平面向量的模的综合 2 已知向量→ a =(cosα ,sinα ),→ b =(cosβ ,sinβ ),|→ a -→ b |= 5.(Ⅰ)求 cos(α -β ) 5 夹角。

???? ?

????

5 ? ? 的值;(Ⅱ)若- <β <0<α < ,且 sinβ =- ,求 sinα 的值. 2 2 13

1

题型六:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 6】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 .

题型九:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题

【例 9】 (湖北卷)设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ?

?

?

? ? ?

??? ? ??? ? 5 (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ? ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

3 成立的 x 的取值集. 2

【专题训练】 一、选择题 题型七:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 7】 (陕西卷)f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (m,cos 2 x) , 且函数 y ? f ( x) b ? (1 ? sin 2x,1) ,x ? R , 的图象经过点 ( 1.已知→ a =(cos40?,sin40?),→ b =(cos20?,sin20?),则→ a ·→ b =( )A.1B. 3 2 1 2 C. D. 2 2 )

? ?

?

?

π π π 2.将函数 y=2sin2x- 的图象按向量( , )平移后得到图象对应的解析式是 ( 2 2 2 A.2cos2x B.-2cos2x C.2sin2x D.-2sin2x ( D.任意三角形

?
4

, 2) .(Ⅰ)求实数 m 的值;? (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

→ → → → → → 3.已知△ABC 中,AB= a ,AC= b ,若 a · b <0,则△ABC 是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 3 1 4.设→ a =( ,sin?),→ b =(cos?, ),且→ a ∥→ b ,则锐角?为( 2 3



)A.30?B.45?C.60?D.75? )

3? 5.已知→ a =(sinθ , 1+cosθ ),→ b =(1, 1-cosθ ),其中 θ ∈(π , ),则一定有 ( 2 A.→ a ∥→ b B.→ a ⊥→ b C.→ a 与→ b 夹角为 45°D.|→ a |=|→ b|

π 6.已知向量→ a =(6,-4),→ b =(0,2),→ c =→ a +?→ b ,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上,实数?= 12 5 A. 2 题型八:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 ?x π? ? ? ? 【例 8】 (湖北卷)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为 ?3 6? ? 4 ? (
?x ?? )A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ? x π? B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π ? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

3 B. 2

5 C.- 2

3 D.- 2

→ → → 7.设 0≤θ ≤2π 时,已知两个向量OP1=(cosθ ,sinθ ),OP2=(2+sinθ ,2-cosθ ),则向量P1P2长 度的最大值是 B. 3 C.3 2 D.2 3 → → → → 8.若向量 a =(cos?,sin?), b =(cos?,sin?),则 a 与 b 一定满足 A.→ a 与→ b 的夹角等于?-? B.→ a ⊥→ b C.→ a ∥→ b D.(→ a +→ b )⊥(→ a -→ b) A. 2 ( ( ) )

2

9.已知向量→ a =(cos25?,sin25?),→ b =(sin20?,cos20?),若 t 是实数,且→ u =→ a +t→ b ,则|→ u |的 最小值为( )A. 2 B.1 C. 2 2 1 D. 2

17.已知→ a =(cosx+sinx,sinx),→ b =(cosx-sinx,2cosx), (Ⅰ)求证:向量→ a 与向量→ b 不可能 ? ? 平行; (Ⅱ)若 f(x)=→ a ·→ b ,且 x∈[- , ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. 4 4

→+?(→ 10.O 是平面上一定点,A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 P 满足:→ OP=OA AB+→ AC), ?∈(0,+∞),则直线 AP 一定通过△ABC 的( 二、填空题 )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

1 11.已知向量→ m =(sin?,2cos?),→ n =( 3,- ).若→ m ∥→ n ,则 sin2?的值为____________. 2 12.已知在△OAB(O 为原点)中,→ OA=(2cos?,2sin?),→ OB=(5cos?,5sin?),若→ OA·→ OB=-5,则 S
△AOB

的值为_____________.

3π → → → → → → 13.已知向量 m =(1,1)向量 n 与向量 m 夹角为 ,且 m · n =-1.则向量 n =__________. 4 三、解答题 14.已知向量→ m =(sinA,cosA),→ n =( 3,-1),→ m ·→ n =1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.

18. 设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) , 其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) c ? (? cos x,sin x), x ? R . (Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后 得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的 d .

? ? ?

?

?

?

?

?

→ 15. 在△ABC 中, A、 B、 C 所对边的长分别为 a、 b、 c, 已知向量→ m =(1, 2sinA), n =(sinA, 1+cosA), ? 满足→ m ∥→ n ,b+c= 3a.(Ⅰ)求 A 的大小;(Ⅱ)求 sin(B+ )的值. 6

19.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?

?

?

?
2

?? ?

?
2



(Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.

?

?

?

?

16.△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,→ m =(2b-c,a),→ n =(cosA,-cosC),且→ m ⊥→ n. ? 2 (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)当 y=2sin B+sin(2B+ )取最大值时,求角 B 的大小. 6

3

又 a ? b ? cos ? ? tan(? ? 【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型 【例 1】 【解】 (Ⅰ)∵→ p 、→ q 共线,∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA), 3 3 ? 2 则 sin A= ,又 A 为锐角,所以 sinA= ,则 A= . 4 2 3 ? (π - -B)-3B 3 C-3B 1 ? 2 2 2 (Ⅱ) y=2sin B+cos =2sin B+cos =2sin B+cos( -2B)=1-cos2B+ cos2B 2 2 3 2 + = 3 sin2B 2 由于 0 ? ? ?

? ?

?
4

) ? 2 ,故 cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

?
4

,所以

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2? ) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

?

1 ? tan ? 2 cos 2 ? ? sin 2? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) ? ? 2 cos ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ? ? sin ?

? cos ? ? tan(? ?

?
4

) ? m?2.

? ? ? 练习解: (Ⅰ)f(x)=→ a ·→ b =m(1+sinx)+cosx,由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m= 2 2 2 1. ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1,当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1 4 4 - 2. 5、 【解答】 (I)因为函数图像过点 (0,1) ,所以 2sin ? ? 1, 即 sin ? ? 因为 0 ? ? ?

3 1 ? ? ? ? 5? ? ? sin2B- cos2B+1=sin(2B- )+1.∵B∈(0, ),∴2B- ∈(- , ),∴2B- = ,解得 B 2 2 6 2 6 6 6 6 2 ? = , 3 ymax=2. 2、 【解】 (Ⅰ)∵→ a ⊥→ b ,∴→ a ·→ b =0.而→ a =(3sinα ,cosα ) ,→ b =(2sinα , 5sinα -4cosα ),
2 2 2 故→ a ·→ b =6sin α +5sinα cosα -4cos α =0. 由于 cosα ≠0,∴6tan α +5tanα -4=0.解之, 4 1 3? 1 4 得 tanα =- ,或 tanα = .∵α ∈( ,2π ) ,tanα <0,故 tanα = (舍去) .∴tanα =- . 3 2 2 2 3 3? α 3? 4 α 1 α (Ⅱ)∵α ∈( ,2π ) ,∴ ∈( ,π ) .由 tanα =- ,求得 tan =- ,tan =2(舍去) .∴ 2 2 4 3 2 2 2

?
2

,所以 ? ?

?
6

1 . 2

.

(II)由函数 y ? 2sin(? x ? 所以 PM ? (?

?

α 5 α 2 5 α α α 2 5 1 5 3 ? ? ? sin = , cos =- ,∴ cos( + ) = cos cos - sin sin =- × - × =- 2 5 2 5 2 3 2 3 2 3 5 2 5 2 2 5+ 15 10 3、 【解】 2 4 2 2 (Ⅰ)∵|→ a -→ b | = 5 ,∴ → a -2→ a ·→ b +→ b = ,将向量 → a = (cosα ,sinα ) , → b= 5 5

???? 1 1 , 2), PN ? ( , ?2), 从而 2 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 15 15 PM ? PN ? ??? ? ? ,故 ? PM , PN ?? arccos . cos ? PM , PN ?? ???? 17 | PM | ? | PN | 17

???? ?

1 1 5 ) 及其图像,得 M (? , 0), P( , ?2), N ( , 0), 6 6 3 6

4 3 2 2 (cosβ ,sinβ )代入上式得 1 -2(cosα cosβ +sinα sinβ )+1 = ,∴cos(α -β )= . 5 5 3 4 ? ? (Ⅱ)∵- <β <0<α < ,∴0<α -β <π ,由 cos(α -β )=- ,得 sin(α -β )= ,又 sinβ 2 2 5 5 5 12 =- ,∴cosβ = , 13 13 33 ∴sinα =sin[(α -β )+β ]=sin(α -β )cosβ +cos(α -β )sinβ = . 65 4、【解答】因为 ? 为 f ( x) ? cos(2 x ?

sin C 1 ? 3 7 ,又? sin 2 C ? cos2 C ? 1 ,解得: cos C ? ? , cos C 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角,? cos C ? . 8 ??? ? ??? ? 5 5 2 2 (2)? CB ? CA ? ,? ab cos C ? ,? ab ? 20 ,又? a ? b ? 9 ,? a ? 2ab ? b ? 81 , 2 2
6、【解答】(1)? tan C ? 3 7 ,?

? a 2 ? b2 ? 41,

?
8

? ? ) 的最小正周期,故 ? ? ? .因为 a ? b ? m ,
4

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ,? c ? 6 .

7、【解答】(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x 由已知 f ( ) ? m(1 ? sin

? ?

?

?
2

4

) ? cos

?
2

? 2,

3 1 4.B 【解析】由平行的充要条件得 × -sin?cos?=0,sin2?=1,2?=90?,?=45?. 2 3 3? 5.B 【解析】→ a ·→ b =sinθ +|sinθ |,∵θ ∈(π , ),∴|sinθ |=-sinθ ,∴→ a ·→ b =0,∴ 2 → a ⊥→ b. 6.A π 5 ? → c =→ a +?→ b =(6,-4+2?),代入 y=sin x 得,-4+2?=sin =1,解得?= . 12 2 2

得 m ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴当 sin(2 x ? 由 sin(2 x ?

?
4

)

?
4

) ? ?1 时, y ? f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,

?

3? ? ? ) ? ?1 ,得 x 值的集合为 ? x | x ? k? ? ,k ?Z?. 4 8 ? ?

→ 2 2 7.C 【解析】|P1P2|= (2+sinθ -cosθ ) +(2-cosθ -sinθ ) = 10-8cosθ ≤3 2. 8.D 【解析】→ a +→ b =(cos?+cos?,sin?+sin?),→ a -→ b =(cos?+cos?,sin?-sin?),∴(→ a+ 2 2 2 2 → → → → → → → b )·( a - b )=cos ?-cos ?+sin ?-sin ?=0,∴( a + b )⊥( a - b ).
2 2 2 2 2 2 9.C 【解析】|→ u | =|→ a | +t |→ b | +2t→ a ·→ b =1+t +2t(sin20?cos25?+cos20?sin25?)=t + 2

? ? ? ?x π ? ? ?x ?? 8、 【解答】∵ a ? ? ? , ?2 ? ,∴平移后的解析式为 y ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? 2 cos ? ? ? ? 2 ,选 A . 4 3 6 12 ? ? ? ? ?3 4?

9、 【解答】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? a ? (a ? b ) ? a ? a ? a ? b ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? cos x
2 2 2

? ? ?

? ?

? ?

1 1 3 2 ? ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 4 2? 3 2 ?? ∴ f ( x) 的最大值为 ? ,最小正周期是 2 2 2 3 3 2 ? 3 (Ⅱ)要使 f ( x ) ? 成立,当且仅当 ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 4 2 ? ? 3? ? ,k ?Z , 即 sin(2 x ? ) ? 0 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 4 8 8 3 ? 3? ? ? 即 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集合是 ? x | k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z ?. 2 8 8 ? ?

t+1=(t+

2 2 1 → 2 1 2 ) + ,| u |min= ,∴|→ u |min= . 2 2 2 2

→+?(→ →,所以AP →与AD → 10.C 【解析】设 BC 的中点为 D,则→ AB+→ AC=2→ AD,又由→ OP=OA AB+→ AC),→ AP=2?AD 共线,即有直线 AP 与直线 AD 重合,即直线 AP 一定通过△ABC 的重心. 二、填空题 11.- 8 3 49 1 2sin?cos? 【解析】由→ m ∥→ n ,得- sin?=2 3cos?,∴tan?=-4 3,∴sin2?= 2 2 = 2 sin ?+cos ?

2tan? 8 3 =- . 2 tan ?+1 49 12. 5 3 2 【解析】→ OA·→ OB=-5?10cos?co?s+10sin?sin?=-5?10cos(?-?)=-5?cos(?-?)

【专题训练】参考答案 一、选择题 3 1.B 解析:由数量积的坐标表示知→ a ·→ b =cos40?sin20?+sin40?cos20?=sin60?= . 2 π π π ? 2.D 【解析】y=2sin2x- →y=2sin2(x+ )- + ,即 y=-2sin2x. 2 2 2 2 → → → → AB·AC a·b 3.A 【解析】因为 cos∠BAC= = <0,∴∠BAC 为钝角. → → → → |AB|·|AC| | a |·| b |
5

1 3 1 3 5 3 =- ,∴sin∠AOB= ,又|→ OA|=2,|→ OB|=5,∴S△AOB= ×2×5× = . 2 2 2 2 2 → → → → → 13.(-1,0)或(0,-1) 【解析】设 n =(x,y),由 m · n =-1,有 x+y=-1 ①,由 m 与 n 夹 ? x=﹣1 ? 3π 3π → → → → → 2 2 角为 ,有 m · n =| m |·| n |cos ,∴| n |=1,则 x +y =1 ②,由①②解得? 或? 4 4 ? y=0 ? x=0 → → ∴即 n =(-1,0)或 n =(0,-1) . y=-1 三、解答题 ? ? 1 14. 【解】(Ⅰ)由题意得→ m ·→ n = 3sinA-cosA=1,2sin(A- )=1,sin(A- )= , 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A- = ,A= . 6 6 3 1 1 2 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cosA= ,所以 f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin x+2sinx=-2(sinx- ) + , 2 2 2

1 3 因为 x∈R,所以 sinx∈[-1,1],因此,当 sinx= 时,f(x)有最大值 . 2 2 3 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是[-3, ]. 2 1 2 2 15. 【解】(Ⅰ)由→ m ∥→ n ,得 2sin A-1-cosA=0,即 2cos A+cosA-1=0,∴cosA= 或 cosA=-1. 2 ? ∵A 是△ABC 内角,cosA=-1 舍去,∴A= . 3 3 (Ⅱ)∵b+c= 3a,由正弦定理,sinB+sinC= 3sinA= , 2 2? 2? 3 ∵B+C= ,sinB+sin( -B)= , 3 3 2 3 3 3 3 ? ∴ cosB+ sinB= ,即 sin(B+ )= . 2 2 2 6 2 16. 【解】(Ⅰ)由→ m ⊥→ n ,得→ m ·→ n =0,从而(2b-c)cosA-acosC=0, 由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0 ∴2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0, 1 ? ∵A、B∈(0,π ),∴sinB≠0,cosA= ,故 A= . 2 3 ? ? ? 2 (Ⅱ)y=2sin B+2sin(2B+ )=(1-cos2B)+sin2Bcos +cos2Bsin 6 6 6 3 1 ? =1+ sin2B- cos2B=1+sin(2B- ). 2 2 6 2? ? ? 7? 由(Ⅰ)得,0<B< ,- <2B- < , 3 6 6 6 ? ? ? ∴当 2B- = ,即 B= 时,y 取最大值 2. 6 2 3 17. 【解】 (Ⅰ)假设→ a ∥→ b ,则 2cosx(cosx+sinx)-sinx(cosx-sinx)=0, 1+cos2x 1 1-cos2x 2 2 ∴2cos x+sinxcosx+sin x=0,2· + sin2x+ =0, 2 2 2 即 sin2x+cos2x=-3, ? ? ∴ 2(sin2x+ )=-3,与| 2(sin2x+ )|≤ 2矛盾, 4 4 故向量→ a 与向量→ b 不可能平行. (Ⅱ)∵f(x)=→ a ·→ b =(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+sinx·2cosx =cos x-sin x+2sinxcosx=cos2x+sin2x = 2( 2 2 ? cos2x+ sin2x)= 2(sin2x+ ), 2 2 4
6
2 2

? ? ? ? 3? ? ? ? ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)有最大值 2; 4 4 4 4 4 4 2 8 ? ? ? 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)有最小值-1. 4 4 4 18.解:(Ⅰ)由题意得, f ( x) ? a ? (b ? c ) ? (sin x, ? cos x) ? (sin x ? cos x,sin x ? 3cos x)

? ? ?

? sin 2 x ? 2sin x cos x ? 3cos 2 ? 2 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ?

f ( x) 的最大值为 2 ? 2 ,最小正周期是
(Ⅱ)由 sin(2 x ?

2? ?? . 2

3? ), 4

所以,

3? 3? k? 3? ) ? 0 得 2x ? ? k? ,即 x ? ? ,k ?Z , 4 4 2 8

于是 d ? (

?

? k? 3? k? 3? 2 ? , ?2) , d ? ( ? ) ? 4, k ? Z . 2 8 2 8
?
?

因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k ? 1 ,此时 d ? ( ?

?
8

, ?2) 即为所求.

19.解:(Ⅰ)若 a ? b ,则 sin ? ? cos ? ? 0 ,由此得: tan ? ? ?1, ( ? 所以, ? ? ?

?

?

?
2

?? ?

?
2

),

?
4



(Ⅱ)由 a ? (sin ? ,1), b ? (1,cos? ), 得:

?

?

? ? a ? b ? (sin ? ? 1)2 ? (1 ? cos ? )2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? )

? 3 ? 2 2 sin(? ? ) 4 ? ? ? ? ? ? 当 sin(? ? ) ? 1 时, a ? b 取得最大值,即当 ? ? 时, a ? b 的最大值为 2 ? 1 . 4 4

?


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