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第42讲:面与面(理)-苏深强


苏深强

2013 年高考备考第四十二讲

面与面(理) 一、基本知识体系: 1.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内有____________都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 2.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 3.面面平行的其他性质: (1)两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于________________________ (2)夹在两个平行平面间的平行线段________; (3)平行于同一平面的两个平面________. 4.二面角:一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.______________ 叫做二面角的棱.________________叫做二面角的面.二面角 α 的范围为________________. 5.平面与平面的垂直 ①定义:如果两个平面所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直. ②面面垂直的判定定理 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直. 6.平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内________于它们 ________的直线垂直于另一个平面. 7.两个重要结论: (1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在 ________________________________________________________________________. (2)已知平面 α⊥平面 β,a?α,a⊥β,那么__________(a 与 α 的位置关系). 二、典例剖析: 【例题 1】如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N.求证:N 为 AC 的中点.

【例题 2】如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,面对角线 AB1,BC1 上分别有两点 E、F,且 B1E=C1F.求证:EF∥平面 ABCD.

【例题 3】如图所示,B 为△ACD 所在平面外一点,M,N,G 分别为△ABC,△ABD,△BCD 的重 心.(1)求证平面 MNG∥平面 ACD;(2)求 S△MNG∶S△ADC.

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【例题 4】如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60° ,E 是 CD 的 中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB;(2)求二面角 A—BE—P 的大小.

【例题 5】如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上, A1D⊥B1C.求证:(1)EF∥平面 ABC;(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

【例题 6】如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB,∠ABC=60° ,∠BCA=90° ,点 D、 E 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥ 平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理由.

【例题 7】如图所示,P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,四边形 ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD;(2)求证:AD⊥PB.

【例题 8】 如图所示, 四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形, ∠BCD=120° 平面 PCD⊥平面 ABCD, , PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

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【例题 9】如图所示,在多面体 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角 形,已知 BD=2AD=8,AB=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD;(2)求 P 点到平面 ABCD 的距离.

三、巩固练习: 【练习题 1】α,β,γ 为三个不重合的平面,a,b,c 为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是 ___________ ? a∥c ? ??a∥b; ① ? b∥c? ④ α∥γ? ? ??α∥β; ? β∥γ?
? a∥γ ? ??a∥b; ? b∥γ? ? α∥c? ??α∥β; ? β∥c?

② ⑤

③ ⑥

α∥c? ? ??α∥a; ? a∥c ?

α∥γ? ? ??a∥α. ? a∥γ ?

【练习题 2】已知平面 α∥平面 β,P 是 α,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于点 A,C,过 点 P 的直线 n 与 α,β 分别交于点 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________ 【练习题 3】如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点, 是 BC 的中点, M 在四边形 EFGH 及其内部运动, M 满足________时, MN∥平面 B1BDD1 N 点 则 有

【练习题 4】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC 和 SC 的中点.求证:平面 EFG∥平面 BDD1B1

【练习题 5】 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD, AP=AB, 且 则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的度数是________ 【练习题 6】如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中互相垂直的平面有________对

【练习题 7】已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:____________ 【练习题 8】 .如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、DA 和 对角线 AC 的中点.求证:平面 BEF⊥平面 BGD

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【练习题 9】若 α⊥β,α∩β=l,点 P∈α,PD/∈l,则下列命题中正确的为________ ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内 【练习题 10】α、β、γ 是两两垂直的三个平面,它们交于点 O,空间一点 P 到 α、β、γ 的距离分别是 2 cm、3 cm、6 cm,则点 P 到 O 的距离为________ cm 【练习题 11】在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在________

【练习题 12】如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证:BC⊥AB

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