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高三综合测试题文科含答案


安徽高中数学

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试卷类型:A

高三综合测试题

数学(文科)
2012.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.函数 y ?

1 的定义域为 x ?1
B. ? ??, ?1? C. ? ?1, ?? ? D. ? ?1, ?? ?

A. ? ??, ?1?

2.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ?2 B. ? 1 C.0 D.2

3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.1

? ?

?? ? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 ,则 ? 的值为 6? 2
C.4 D.8

B.2
?

4.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 3 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角三角形的 概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

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5.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积为 ...

4 3 A. 3
C.8

2 B. 4 3 D.12 2

2

2

2

2 侧(左)视图

正(主)视图

2

? x ? y ? 2≥0, ? 6.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2 7.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

2 俯视图 图1

C.3

D.4

?

?

m2 ? 6

在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增,则实数 m 的值为 C.2 或 3 D. ?2 或 ?3

A.3

B.2

8. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. a = ? ?3, 4 ? , b = ? 0, 2 ? , 若 则 a ? b 的值为 A. ?8 B. ?6 C. 6 D. 8

9.已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知圆 O : x2 ? y2 ? r 2 ,点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直 线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r 2 ? 0 ,那么 A. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 C. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若函数 f ? x ? ? ln x2 ? ax ?1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?



12.已知集合 A ? x 1 x≤3 , B ? x a≤x≤a ? 3 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为 ≤

?

?

?

?



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13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,?, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 第4个五角形数记作 a4 ? 22 , 若按此规律继续下去, a5 ? ?, 则 a3 ? 12 , , an ? 145 , n ? 若 则 .

1

5

12

22 图2 B C A O P D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

CP 1 ? ,则 CD 的长为 OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且 CD 3

cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , y ? t2 ? y ? 1? s ?


图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?
(2)若 f ?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?
频率 组距

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分 成六段: ?40,50 ? , ?50,60 ? ,?, ?90,100 ? 后得到如图 4 的 频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3) 若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率.
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a
0.025 0.020

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

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18. (本小题满分14分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC? 平面 ABC,PD ? AC 于点 D ,

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC的体积; (2)证明△ PBC为直角三角形. A

P

D
B
图5

C

19. (本小题满分14分)

已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 S n ,若 S5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ?x3 ? ax2 ? b ? a, b ? R ? . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

21. (本小题满分14分)

y2 ? 1 的左、右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、B 两点为顶点,离心率为 5 已知椭圆 x ? 4
2

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1;
2 2 (3)设 ?TAB 与 ?POB(其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S 2 ,且 PAgPB≤15 ,求 S1 ? S 2

uu uur r

的取值范围.

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2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应 的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题仅填对 1 个,则给 3 分. 11.0 12. ? 0,1? 13.35,10 14. 6 2 15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归 与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解: f ?

?? ?? ??? ? ? tan ? ? ? ?????????????????????????????1 分 ?3 4? ?9?
? ? ? tan 3 4 ????????????????????????????3 分 ? ? ? 1 ? tan tan 3 4 tan
? 3 ?1 ? ?2 ? 3 .???????????????????????????4 分 1? 3

(2)解法 1:因为 f ?

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ??????????????????????5 分 4 4? ? 3 4? ?
? tan ?? ? ? ? ????????????????????????6 分

? tan? ? 2 .????????????????????????7 分
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所以

sin ? ? 2 ,即 sin? ? 2cos? . cos ?

① ②

2 2 因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,

由①、②解得 cos2 ? ?

1 .??????????????????????????????9 分 5

2 所以 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ??????????????????????????????11 分

1 3 ? 2 ? ? 1 ? ? .???????????????????????????12 分 5 5
解法 2:因为 f ?

3? ? ? ?? ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ??????????????????????5 分 4 4? ? 3 4? ?
? tan ?? ? ? ? ????????????????????????6 分

? tan? ? 2 .????????????????????????7 分
2 2 所以 cos 2? ? cos ? ? sin ? ?????????????????????????????9 分

?

cos 2 ? ? sin 2 ? ????????????????????????????10 分 cos 2 ? ? sin 2 ?

1 ? tan 2 ? ? ??????????????????????????????11 分 1 ? tan 2 ?

?

1? 4 3 ? ? .?????????????????????????????12 分 1? 4 5

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运 算求解能力) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ? a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????????????????1 分 解得 a ? 0.03 .???????????????????????????????????2 分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.005 ? 0.01) ? 0.85 .????3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 640 ? 0.85 ? 544 人. ?????????????????????????5 分 (3)解:成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人,分别记为 A , B .????????6 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人,分别记为 C , D , E , F .???????7 分 若从数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件

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有: ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? , ? A, E ? , ? A, F ? , ? B, C ? , ? B, D ? , ? B, E ? , ? B, F ? , ? C , D ? ,

? C , E ? , ? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E , F ?

共 15 种.????????????????9 分

如果两名学生的数学成绩都在 ? 40,50 ? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成 绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 40,50 ? 分数段内, 另一个成绩在 ?90,100? 分数段内, 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有:

? A, B ? , ? C , D ? , ? C , E ? , ? C , F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E , F ? 共 7 种.????????11 分
所以所求概率为 P ? M ? ?

7 .????????????????????????????12 分 15

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 证明: 因为平面 PAC? 平面 ABC, 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PD ? 平面 PAC ,PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC.???????????????????????????????2 分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中,因为 AB ? BC , 所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 6 , AC ? 4 , 所以 BE ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?

2

? 22 ? 2 .?????????????????????4 分

所以△ ABC 的面积 S?ABC ? 因为 PD ? 2 ,

1 ????????????????????5 分 ? AC ? BE ? 2 2 . 2
1 4 2 1 .????????7 分 ? S?ABC ? PD ? ? 2 2 ? 2 ? 3 3 3

所以三棱锥 P ? ABC的体积 VP? ABC ?

(2)证法 1:因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形. 因为 PD ? 2 , CD ? 3 , 所以 PC ?

P

PD ? CD ? 2 ? 3 ? 13 .??????9 分
2 2 2 2

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中, 因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,
o

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? ?
2

2

A

E D B

? 12 ? 3 .????10 分

C

由(1)知 PD ? 平面 ABC,又 BD ? 平面 ABC, 所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 ?PDB ? 90 , PD ? 2 , BD ? 3 ,
o

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所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ? 22 ?

? 3?

2

? 7 .????????????????????12 分

在 ?PBC中,因为 BC ? 6 , PB ? 7 , PC ? 13 ,
2 2 2 所以 BC ? PB ? PC .??????????????????????????????13 分

所以 ?PBC为直角三角形.?????????????????????????????14 分 证法 2:连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 ?BED ? 90 , BE ? 2 , DE ? 1 ,
o

所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 .????8分

P

在△ BCD 中, CD ? 3 , BC ? 6 , BD ? 3 ,
2 2 2 所以 BC ? BD ? CD ,所以 BC ? BD .??????10分

由(1)知 PD ? 平面 ABC, 因为 BC ? 平面 ABC, 所以 BC ? PD . 因为 BD ? PD ? D ,

A

E D B

C

所以 BC ? 平面 PBD .???????????????????????????????12分 因为 PB ? 平面 PBD ,所以 BC ? PB . 所以 ?PBC为直角三角形.?????????????????????????????14分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概 括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列 ?an ? 是等差数列, 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d , Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d .????????????????????1 分 2

依题意,有 ?

?5a1 ? 10d ? 70, ? S5 ? 70, ? ? 即? ???????????????3 分 2 2 ?a7 ? a2 a22 . ?? a1 ? 6d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 21d ? . ? ?

解得 a1 ? 6 , d ? 4 .????????????????????????????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2( n ? N ) .???????????????????6 分
*
2 (2)证明:由(1)可得 S n ? 2n ? 4n .??????????????????????????7 分

所以

1?1 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? ? .???????????????????8 分 Sn 2n ? 4n 2n ? n ? 2? 4 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S2 S3 Sn?1 Sn
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所以 Tn ?

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1? 1 ? 1 ? 1 1? 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 3 ? 4 ? 2 4? 4? 3 1? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ? 4? 2 n? 1 n? 2 ?

1 ? ? ?? 5 ?

1 ? ? ? n4 ? ?

1 ? n? 1

1? 1 1 1? ? ? ? ? ? ?????9 分 ? 1 2 ? n 4 n? ? ?

3 1? 1 1? ? ? ? ? ? .???????????????????????????10 分 8 4? n ? 1 n ? 2 ?
因为 Tn ?

3 1? 1 1 ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ,所以 Tn ? .??????????????????11 分 8 4 ? n ?1 n ? 2 ? 8 1? 1 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以数列 ?Tn ? 是递增数列.????????????12 分 4 ? n ?1 n ? 3 ?

因为 Tn?1 ? Tn ? 所以 Tn ? T1 ?

1 .?????????????????????????????????13 分 6 1 3 所以 ? Tn ? . ??????????????????????????????????14 分 6 8
20. (本小题满分14分) (本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨 论的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:因为 f ( x) ? ?x3 ? ax2 ? b ,所以 f ?( x) ? ?3x ? 2ax ? ?3x ? x ?
2

? ?

2a ? ? .????????1 分 3 ?

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 没有单调递增区间;?????????????????2 分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

2a . 3

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得

? ?

2 ? a ? ;?????????????????????????3 分 3 ?

2a ? x?0. 3

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

?2 ? a, 0 ? .?????????????????????????4 分 ?3 ?

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 没有单调递增区间; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

2 ? a?; 3 ?

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ?

?2 ? a, 0 ? .??????????????5 分 ?3 ?

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(2) , (1) a ? ?3, 4? 时,f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0, 解:由 知,

? ?

2 ? ?2 ? 单调递减区间为 ? ??, 0 ? 和 ? a, ?? ? . a?, 3 ? ?3 ?
?????????????6 分

所以函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值 f ? 0? ? b ,????????????????????7 分 函数 f ( x ) 在 x ?

2a 处取得极大值 3

? 2a ? 4a f ? ?? ? b .??????????????????8 分 ? 3 ? 27
3

由于对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,

?f ? 所以 ? ?f ?
解得 ?

? 0 ? ? 0,

?b ? 0, ? 即 ? 4a 3 ??????????????????????????10 分 ? 2a ? ? 0. ? ? b ? 0. ? ? ? 27 ? 3 ?

4a 3 ? b ? 0 .????????????????????????????????11 分 27

因为对任意 a ? ?3, 4? , b ? ?

? 4a3 ? 4a 3 4 ? 33 恒成立,所以 b ? ? ? ? ?4 .??????13 分 ? ?? 27 27 ? 27 ?max

所以实数 b 的取值范围是 ? ?4,0 ? .??????????????????????????14 分

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:依题意可得 A( ?1, 0) , B (1, 0) .?????????????????????????1 分 设双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ?b ? 0? , b2

因为双曲线的离心率为 5 ,所以

1 ? b2 ? 5 ,即 b ? 2 . 1

所以双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. ??????????????????????????3 分 4

(2)证法 1:设点 P( x1, y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) ,直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) , 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) , ???????????????????????????4 分

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? y ? k ? x ? 1? , ? 联立方程组 ? ??????????????????????????????5 分 y2 x2 ? ? 1. ? ? 4
整理,得 4 ? k 2 x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 , 解得 x ? ?1 或 x ?

?

?

4 ? k2 4 ? k2 .所以 x2 ? .?????????????????????6 分 4 ? k2 4 ? k2

同理可得, x1 ?

4 ? k2 .???????????????????????????????7 分 4 ? k2

所以 x1 ? x2 ? 1.???????????????????????????????????8 分 证法 2:设点 P( x1, y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 k AP ?

y1 y2 , k AT ? .????????????????????????????4 分 x1 ? 1 x2 ? 1
y1 y y12 y22 .??????????????5 分 ? 2 ,即 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1? ? x2 ? 1?
2

因为 kAP ? kAT ,所以

y12 y2 2 2 ? 1 , x2 ? ? 1. 因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ? 4 4
即 y12 ? 4 x12 ?1 , y22 ? 4 1 ? x22 .?????????????????????????6 分 所以

?

?

?

?

4 ? x12 ? 1?

? x1 ? 1?

2

?

4 ?1 ? x22 ?

? x2 ? 1?

2

,即

x1 ? 1 1 ? x2 .????????????????????7 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1

所以 x1 ? x2 ? 1.???????????????????????????????????8 分 证法 3:设点 P( x1, y1 ) ,直线 AP 的方程为 y ?

y1 ( x ? 1) ,???????????????4 分 x1 ? 1

y ? y ? 1 ? x ? 1? , ? x1 ? 1 ? 联立方程组 ? ????????????????????????????5 分 2 ? x 2 ? y ? 1. ? ? 4
整理,得 ?4( x1 ?1)2 ? y12 ? x2 ? 2 y12 x ? y12 ? 4( x1 ?1)2 ? 0 , ? ? 解得 x ? ?1 或 x ?

4( x1 ? 1) 2 ? y12 .?????????????????????????6 分 4( x1 ? 1) 2 ? y12
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2 2 将 y1 ? 4 x1 ? 4 代入 x ?

4( x1 ? 1) 2 ? y12 1 1 ,得 x ? ,即 x2 ? . 2 2 4( x1 ? 1) ? y1 x1 x1

所以 x1 ? x2 ? 1.??????????????????????????????????8 分 (3)解:设点 P( x1, y1 ) 、 T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0 , yi ? 0 , i ? 1, 2 ) , 则 PA ? ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , PB ? ?1 ? x1 , ? y1 ? .
2 2 2 因为 PA ? PB ? 15 ,所以 ? ?1 ? x1 ??1 ? x1 ? ? y1 ? 15 ,即 x1 ? y1 ? 16 .??????????9 分

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

y12 ? 1 ,所以 x12 ? 4 x12 ? 4 ? 16 ,即 x12 ? 4 . 因为点 P 在双曲线上,则 x1 ? 4
2

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点,所以 1 ? x1 ? 2 .????????????????10 分

1 1 1 | AB || y2 |?| y2 | , S2 ? | OB || y1 |? | y1 | , 2 2 2 1 所以 S12 ? S2 2 ? y2 2 ? y12 ? ? 4 ? 4 x2 2 ? ? ? x12 ? 1? ? 5 ? x12 ? 4 x2 2 .???????????11 分 4
因为 S1 ? 由(2)知, x1 ? x2 ? 1,即 x2 ?
2 设 t ? x1 ,则 1 ? t ? 4 ,

1 . x1

S12 ? S22 ? 5 ? t ?
设 f ?t ? ? 5 ? t ?

4 . t

4 ? 2 ? t ?? 2 ? t ? 4 ,则 f ? ? t ? ? ?1 ? 2 ? , t t2 t

当 1 ? t ? 2 时, f ? ? t ? ? 0 ,当 2 ? t ? 4 时, f ? ? t ? ? 0 , 所以函数 f ? t ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, 4 ? 上单调递减. 因为 f ? 2 ? ? 1 , f ?1? ? f ? 4 ? ? 0 , 所以当 t ? 4 ,即 x1 ? 2 时, S1 ? S 2
2

?

2

?

min

? f ? 4 ? ? 0 .?????????????????12 分

当 t ? 2 ,即 x1 ?

2 时, ? S12 ? S2 2 ?

max

? f ? 2 ? ? 1 .??????????????????13 分

2 2 所以 S1 ? S 2 的取值范围为 ? 0,1? .??????????????????????????14 分

说明:由 S12 ? S22 ? 5 ? x12 ? 4x22 ? 5 ? 4x1x2 ? 1,得 S1 ? S2
2

?

?

?

2

?

max

? 1 ,给 1 分.

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