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第二章


第二章
? ? ?

幂函数、指数函数、对数函数
第一节 第二节 第三节 第四节 函数 幂函数 指数函数 对数函数

?

第一节
一、映射





定义1 设 A, B 为两非空集合,如果 A 中的每一个元素 x,按 照某种对应法则 f ,集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之对应, 则称这种对应法则 f 为从 A 到 B 的一个映射.记作: A ? B.

注意,与映射相连的前后两个集合 A 与 B 所处的地位是不 相同的. A 中的每一个元素 x 都有 B 中惟一元素 y 与之对应, y 称 为 x 的象,x 称为 y 的原象. A 中的每个元素只有一个象,反过来, B 中的每一元素,它在 A 中可能有原象,也可能无原象;有原象时,原象 也不一定惟一.

如图 2-1(a)、(b)、(c)、(d)所示中的 f , g 是映射,而 F,G 不是映射.

A
张林 刘云 王新

f

B
工人 学生 教师

A
1

B g
5

2
3 4
(b) 映射g

10
20 30

(a) 映射f

A a b c d

F

B
1 2 3 4

A
1 2 3 4

G

B
3 6 9 12

(c) 映射F

(d) 映射G

定义 2

设 f : A ? B ,为一映射.

(1) 如果对 B 中的每一元素 y,按照 f , A 中至少有一元素 x 与之对 应,则称 f 为满射; (2) 如果 A 中任意两个不同的元素 x1, x2 , 其象 y1, y2 也不同, 则称 f 为 单射.

定义3 若 f : A ? B 既是单射又是满射,则称 f 为 A 到 B 的一一映射. 例 3 设某班全体同学构成的集合为 A,学生考试成绩的集合 为 B ? ? y|0? y ?100?,每经过一次考试,都能建立从 A 到 B 的一种映射.
试问(1)该映射是满射吗? (2)该映射是单射吗? 因一个班只有有限个学生 , 他们的成绩不可能取遍 ?0, 100?

内的数,所以不是满射,又在考试中,也可能出现不同的学生,有不 同的成绩;但也可能出现两个或几个学生有相同成绩的情况 ,所 以该映射不一定是单射.

二、函数的概念
在初中我们已学过函数的概念,现在我们从集合对应的 观点出发来描述函数的定义.

定义4 设 D 是一个非空集,如果对于任一 x? D ,按照某种 对应关系,变量 y 都有惟一确定的值与之对应,那么 y 就称为定 义在数集 D 上的 x 的函数. x 称为自变量,数集 D 称为函数的定 义域,和 x 的值对应的 y 值称为函数值,函数值的全体构成的集 合称为函数的值域,一般用 M 表示.

(函数的实质是什么?函数的关键是什么?函数由哪三部 分组成,你知道吗?)

y 是 x 的函数,记作 y ? f (x) ,其中“ f ”是一个符号, 表示变量 x 与 y 之间的对应关系.
注明: (1) 由定义4知,函数就是从数集D到数集M的一种映射 (!映射是一种特殊的对应,一一映射是一种特殊的映射.)

(2)在同一个问题中 ,讨论几个不同的函数关系时 ,可用 几种不同的函数记号 , 如 F (x),G(x), g(x),?(x), ?分别表示它 们.
(3)当自变量 x 在定义域 D 内任取一个值 x0 时,函数 y ? f (x)

对应的函数值记作: f (x0), f (x) x?x 或y x?x . 0 0

例 4 设 f (x) ? x2 ?3x ?1,求 f (?2), f (0), f (t ?1) .



f (?2) ? (?2)2 ?3?(?2) ?1?11; f (0) ? (0)2 ?3?0?1?1 f (t ?1) ? (t ?1)2 ?3?(t ?1) ?1? t 2 ?t ?1

由函数的定义知道,当函数的定义域和对应关系确定后, 这个函数就完全确定.因此,常把函数的定义域和对应关系称做函 数的确定性两个因素.如果两个函数的定义域和对应关系完全相 同,那么就认为这两个函数相同.
例如 , y= x与y= 3 x3 , 易知它们二者的定义域和对应关系相同 , 故二者为相同的函数 ; 再如, y ? x与y= x2 ,二者尽管定义域相同,但 对应关系不同,因 y= x2 = x 不恒等于 x ,故二者是不同的函数;再如

y ?1与y ? x x ,二者的定义域明显不同,故不是相同的函数.

三、函数的定义域
在研究函数时,首先应考虑它的定义域.确定函数的定义域 常从两个方面考虑. (1)根据具体的实际意义来确定. (2)根据函数关系式来确定,定义域是使这个式子有意 义的自变量取值的集合,常考虑以下几情形. ①多项式函数的定义域为实数集R; ②分式函数的定义域是使分母不等于零的所有实数的集合; ③偶次根式函数的定义域是使被开方式不小于零的所有实 数的集合; ④如果函数的关系式是由几部分构成的,那么它们的定义域 是使各个部分都有意义的实数集的交集. 函数的定义域常用不等式、集合或区间表示.

例 5 求下列各函数的定义域. 2 2 x 2 (1) y ? 2x ?3; (2) y ? ?1 ; (3) y ? 1 ? 1? x2 x?1 x

解: (1)因对任意实数 x ,函数 y ? 2x2 ?3 都有意义,所以其定义域
为 ? ??,?? ? ;

(2)因函数关系式为分式,要使之有意义,须使分母 x ?1? 0 , 即 x ? ?1,所以该函数的定义域为 ? ??,?1? ? ?1,?? ? ;
(3) 由 题 意 , 须 使 x ? 0且1? x2 ? 0, 于 是 该 函 数 的 定 义 域 为 ??1,0? ? 0,1? . ? ?

四、函数的图像
从函数图像上可以直观地揭示函数的性质和特征,因此正 确描绘和了解函数的图像,是研究函数必须具备的素质.

我们知道 ,一次函数 y ? kx ?b(k ? 0) 的图像是直线 ; 二次函数

y ? ax2 ?bx ? c(a ? 0) 的图像是抛物线 ; 反比例函数 y ? k (k ? 0) 的图 x 像是双曲线.它们都是用描点法作出的.
对于一般的函数 y ? f (x) ,也可用描点法作出它们的图像,方 法是:先在定义域内给出 x 一些值,求对应的函数值 y ,然后以每一 对 ? x, y ? 的值为坐标,在平面直角坐标系内定出对应的点,最后把这 些点依次用光滑曲线连接起来即得函数 y ? f (x) 的图像.

例6 作出下列函数的图像. (1) y ? x ?1; (2) y ??2x, x???2,?1,0,1? ;(3) y ? x ; (4) y ? x?1 . 解 (1) y ? x ?1 , 定 义 域 为 x?? ??,?? ? , 它 的 图 像 是 过

(0, ?1),(1,0)两点的直线,如图 2-2 所示;
{( ?2,4),( ?1,2),(0,0),(1, ?2)},如图 2-3 所示;
y

2 x, x? (2) 函 数 y ? ? 其图像是四个点的集合 ? ?2 , ?1,?0,,1
y ? x ?1

? ?2,4? ? ?1,2?

y
4 3 2 1 1 2 3
x

1

O x

?1 ?2

2

3

x

?2 ?1 O ?1 ?2

?1,?2?

图2 ? 2 函数y= x ?1 的图像

2 ? 3 函数y= ?2 x, x ???2,?1,0,1?的图像

0,?? ? ;描点(0,0),(1,1),(4,2),用光 (3)函数 y ? x ,定义域为 x?? ?
滑曲线连接诸点即得图像,如图 2-4 所示;
y

(4)函数 y ? x?1 ,定义域为 ? ??,?? ? , 些函数可化为
? x?1, ? x?1 ? ? ? ?1-x,

2 1

y?

x

O

1

2

3

4

x

y?

x?1 x<1

图2 ? 4 函数y= x的图像
y

当 x ?1时, y ? x ?1是如图 2-5 中的射线 BC(含 B 点);

A

3
2 1

C
B
1 2

当x ?1时, y ?1? x是如图2 ? 5中的 射线BA(不含B点),因此已知函数的 图像是如图2 ? 5所示的折线.

?1 O

?1

3

x

图2 ? 5 函数y= x ?1 的图像

五、反函数
在函数的定义中有两个变量,一个是自变量,一个是自 变量的函数.在实际问题中,究竟把哪一个作为自变量,是根 据实际需要决定的.
例如,设某种商品1000kg ,销售单元 2 元/ kg ,于是,销售收入 y(元)与销售量 x ( kg )之间的函数关系为 y=2 x , x 为自变量,定义

0,1000? 0,2000? 域为 ? ;变量 y 为函数,值域为 ? . ? ? ? ?

根据 y=2 x ,对于销售收入 y 的每一个值 y?? ,有惟一 0,2000? ? ?

0,1000? 确定的销售量 x?? 与 y 对应,于是确定着一个以 y 为自变 ? ? 量、x 为函数变量的函数,其对应关系从 y=2 x 中可求得:x ? y , 2 0,2000? 0,1000? 此函数的定义域为 y?? ,值域为 x?? ;很明显,这 ? ? ? ? 是同一实际问题的两种相反的对应关系,习惯上称 x ? y 是y ? 2x 2 的反函数.一般地,定义如下.

定义 设函数 y ? f (x) , 定义域 D , 值域为 M , 如果对于任一

y?M ,都可由关系式 y ? f (x) 确定惟一的 x(x?D) 值与之对应,那么
就确定了一个以 y 为自变量的函数 x ??( y) ,我们把它称为函数

y ? f (x) 的反函数.记作 x ? f 1( y) ,它的定义域为 M ,值域为 D .

例如,函数 y ? 3x ?1的反函数可解得 x ? 1 ( y ?1) .但习惯上, 3 常以 x 作为函数自变量, y 表示函数,为此,更换反函数关系 式 x ? f ?1( y) 中的 x 、 y 字母,可写成 y ? f ?1(x) ,如 y ? 3x ?1的反 函数可记作 y ? 1 ( x ?1) . 3

今后,如无特殊说明,所求反函数表达式均指改写后的表 达式.[为什么x=f-1 ? y ?可以记为y ? f ?1 ? x ??]

例 7 求下列函数的反函数. (1) y ?1? x3, x?R ; (2) y ? x?1, x? R, 且x ? ?1. x?1

解 (1)因为 y ?1? x3 ,所以可解得, x ? 3 y ?1 ,所求反函数 为: y ? 3 x?1, x?R ;

(2) 因 为 y ? x ?1 , 所 以 可 解 得 , x ? 1? y , 所 求 反 函 数 x ?1 1? y 为: y ? 1? x , x? R, 且x ? ?1. 1? x

最后顺便指出 :

(1)不是每个函数在其定义域内都有反

函数,只有当函数的反对应关系单值时,才有反函数,如函数 y ? x2 , 定义域 ? ??, ??? .由关系式求得反对应关系为 x ?? y ,很明显它不 是单值的 ,所以 y ? x2 在定义域内无反函数 ; 若假定 x?? 0,?? ? ,反对 应为 x ? y 是单值对应,此时有反函数 y ? x .

(2) 通过讨论我们会发现,互为反函数的两函数的图像关于 直线 y= x 对称.如函数 y=3 x +2 与其反函数 y ? 1 ( x ? 2) 的图像如图 3 2-6 所示,它们关于直线 y= x 对称.

y y ? 3x ? 2
y? x
2 1 ?1 ?1

y?

1 3

? x ?2?

O

1

2

x

图2-6

y ? 3x ? 2 及其反函数的图像

今后,我们可以利用互为反函数的函数图像间的关系 ,由 函数 y ? f (x) 的图像作出其反函数 y ? f ?1(x) .


思考题:



1.什么是映射?函数的实质是什么? 答 案 2.在什么条件下两个函数相同? 答 案 3.互为反函数的两个函数关于什么图像对称? 答 案

课堂练习题:
1.判断对或错.
(1) f ? x ? ? x 3是R到R的映射. (2) y ? 2 ? x ? R ? 不是函数. (√ ) ( ? )

(3) 函数y ? x 2在定义域内没有反函数. (√ ) 1 ? ) (4) 函数y ? 的定义域是 ? 9,9 . ( ? ? 9 ? x2 单击左键显示答案

x2 ? 4 2.设f ? x ? ? , 求f ? 0 ? , f ? a ? x?2

? a ? ?2 ? .

答 案 答 案

3.写出下列函数的反函数.
(2) y ? x ? 1, ? x ? 0 ? ; (3) y ? 2 x ? 5, ? x ? R ? .
x 4.求函数f ? x ? ? ? x ? 1的定义域. x ?1

(1) y ? x 2 , ? x ? 0 ? ;

答 案

第二节
一、幂函数的定义




?


?

我们已经学过函数 y ? x, y ? x2, y ? x?1 ? 即y ? 1 ? , 对于这种底数 x? ? 是变量、指数是常量的函数,给出如下定义. 定义 函数 y ? xa 叫做幂函数,其中 x 是自变量,指数 a 为常量,
它可以是任何实数.(? y ? x0, y ? xx 是否为幂函数) 1 2 ? 1 例如,函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x 2 , y ? x 2 , y ? x ? 3 等都是幂函数.

本书只讨论 a 为有理数的幂函数 y ? xa 的情况. 幂函数 y ? xa 的定义域随指数 a 的值而定,例如, y ? x3 的定义 域是 ? ??,?? ? ; y ? x 的定义域为 ? ??,0?
?2

?0,??? ; y ? x

1 2

的定义域是

?0,?? ?

?; y ? x

?

1 2

的定义域是 ? 0,??? 等.

二、幂函数的图像和性质
幂函数 y ? xa 的图像和性质与指数 a 的值有着密切的关系 . 下面分别就 a >0 和 a <0 两种情形,讨论几个常见幂函数的图像和 性质,进而归纳出一般结论.

1. 当 a ? 0 时,幂函数情形 先讨论 y ? x, y ? x2, y ? x3以及y ? x 的图像和性质.
1 2

我 们 知 道 , y= x 的 图 像 是 一 条 过 原 点 的 直 线 [ 图 2-7( a )]; y ? x2 的图像是顶点在原点、开口向上的抛物线 [ 图 2-7(b)];用描点法可作出函数 y ? x3和y ? x 的图像[图 2-7(c)、 图 2-7(d)].
1 2

由图2-7可以看出这四个幂函数有下列性质.
(1) 图像都通过原点和(1,1)点;
(2) 在区间 ? 0,??? 内,曲线从左到右逐渐上升,即函数 y 的 值随 x 值的增大而增大,这时,我们称函数在区间 ? 0,??? 内单调 增加; y ? x2 在图像关于 (3) y ? x和y ? x3 的图像关于坐标原点对称;

y 轴对称; y ? x 的图像既不关于原点对称,也不关于 y 轴对称.

1 2

y
2 1 ?2 ?1 ?1

y? x

y
2 1

y?x

2

O 1

2

x

?2 ?1 ?1

O 1

2

x

(a)
y
2 1 ?2 ?1 ?1

y? x

3

(b)
y
2 1
1

y ? x2

O 1

2

x

?2 ?1 ?1

O 1

2

x

(c)

(d)

图2 ? 7 a>0时几种幂函数图像

对 a ? 0 时的幂函数 y ? xa 作图可知,这类幂函数都具有下 列性质. (1) 图像都过原点和点(1,1); (2) 函数 y 在区间 ? 0,??? 内的值随 x 值的增大而增大

(单调递增). 1 ? 2. 当 a ? 0 时,幂函数情形 先讨论幂函数 y ? x?1, y ? x?2, y ? x 2 的图像和性质.
我们知道,幂函数 y ? x?1就是反比例函数 y ? 1 ,它的图像是 x 图 2-8( a )中的曲线;用描点法可以分别作出 y ? x?2和y ? x 的图 像[图 2-8(b)、图 2-8(c)].
? 1 2

y
2 1 ?2 ?1 ?1

y

y

y? x

?1

2 1

y? x

?2

2 1

y? x

?2

O 1

2

x

?2 ?1 ?1

O 1

2

x

O 1
?1

2

3

4

x

(a)

(b )

(c)

图2 ? 8 a ? 0时几种幂函数图像

由图2-8可以得出这三个幂函数有下列性质.
(1) 图像都通过(1,1); (2) 在区间 ? 0, ?? ?内,曲线从左到右逐渐下降 ,即函数 值随 x 值的增大而减少 , 这时我们称函数在区间

? 0, ?? ?内单调减少;
(3) y ? x?1 的图像关于原点对称 ; y ? x?2 的图像关于 y 轴对称 ; y ? x 的图像既不关于原点对称 ,也不关 于 y 轴对称.
? 1 2

一般而言, a ? 0 时的幂函数 y ? xa 具有下列性质.

(1) 图像都通过 ?1,1? 点; (2) 函数在区间 ? 0,??? 内的值随 x 值的增大而减少 (单 调减少).

另外,我们把图像关于原点对称的函数称为奇函数;图像关 于y轴对称的函数称为偶函数;图像既不关于原点对称,又不关于 y轴对称的函数称为非奇非偶函数.
因此,由上面讨论可知,幂函数 y ? x, y ? x3, y ? x?1 都是奇函数; 而幂函数 y ? x2 , y ? x?2 都是偶函数;函数 y ? x y ? x 都是非奇非 偶函数.
1 2, ? 1 2

例 1 比较下列各组中两个值的大小.
6 ; (2) 0.61.3与0.71.3; (3) 3.5 与5.3 ; (1) 1.5 与1. (4) 0.18?0.3与0.15?0.3 .

6 可看作幂函数 y ? x 在 1.5 与 1.6 (1) 因为1.5 与1.
3 5 3 5

3 5

3 5

?

2 3

?

2 3

3 5

处的函数值,且 3 ? 0,1.5 ?1.6 , 5 所以 由幂函数性质知:1.5 < 1. 6;
3 5 3 5

(2) 因为 0.61.3与0.71.3可看作幂函数 y ? x1.3 在 0.6 与 0.7 处的函数值,且1.3 ? 0,0.6 ? 0.7 , 所以 由幂函数性质知: 0.61.3 ? 0.71.3 ;

(3) 因为 3.5 与5.3 可看作幂函数 y ? x 在 3.5 与 5.3 处的函数值,且 ? 2 ? 0,3.5 ? 5.3 , 3 所以 由幂函数的性质知: 3.5 > 5.3 ;
(4) 因为 0.18?0.3与0.15?0.3 可看作幂函数 y ? x?0.3 在 0.18 与 0.15 处的函数值,且 ?0.3? 0,0.18 ? 0.15, 所以 由幂函数的性质可知: 0.18?0.3< 0.15?0.3 .
? 2 3 ? 2 3

?

2 3

?

2 3

?

2 3

例 2 求下列函数的定义域. (1) y ? (3x ? 2) ? (2 ?3x) ;
1 2 1 ? 3

(2) y ? ? ? x?1 ? . 2 ? ?
? ?

?

1 2

解 (1) 令
1 2

? 3x?2?0 ? 2 x ? ? ? 2 ? 3 ? ? x ? ? ? 2 3 ? 2?3x?0 ? x? 3 ? ? ?
? 1 3

,由此得,函数

( 2 , ??) ; y ? ( 3x ? 2 ) ? ( ? 2 x3 ) 的定义域为 3
(2) 令 ? x ?1 ? 0 ? x ?1? 0 ? x ? ?1,由此得, 2 函数 y ? ? ? x?1 ? 的定义域为 ? ??,?1? . 2 ? ?
? ?
? 1 2

思考题:
1.什么叫幂函数 ?
2 3




答 案 答 案 答 案
(2) 0.18-1.3 与 0.15-1.3.

2. y ? x 的图像过 ? 0, 0 ? , ?1,1, ? 两点, 在区间? 0, ?? ?内单调性 怎样 ?函数 y ? x ?0.8 的图像必过哪个点 ?

3.不求值比较大小.
(1) 3.5 与 5.3 ;
2 3 2 3

课堂练习题:
1.求下列函数定义域.
(1) y ? x ;
1 3

答 案

(2) y ? x ?2 ;
1 2 1 2

(3) y ? x .
答 案

?

1 2

2.解不等式. ? x ? 1? ? ? 2 ? x ? .

第三节
一、指数函数的定义
定义

指数函数

函数 y ? a x ( a ? 0, 且a ? 1, 常数 ) 叫做 指数函数 , 它的定

义域是实数集 R.

指数函数与幂函数二者相比较知,它们都是幂运算确定 的函数,但是,幂函数中,底数为变量,指数为常量;而在 指数函数中,底数为常量,指数为变量.(!区分“指数函 数”与“幂函数”的区别,并回忆指数运算.)
?1? x x 如 , 函数 y ? 2 , y ? 10 ,y ? ? ? 均为指数函数 , 它们的定 ?2?
义域都是 ? ??,?? ? .
x

二、指数函数的图像和性质
首先 ,让我们在同一直角坐标系内 ,用描点法作出下列函数 的图像:
?1? (2) y ? ? ? ; (3) y ? 10 x ?2? 列表给出一些对应点(表 2-1、表 2-2):
x

(1) y ? 2 x ;

表2-1 函数值对应
?2 ?1

x
(1) y ? 2
x

… …
x

?3

0 1 1

1 2

2 4

3 8

… … …

1 8


1 4


1 2


?1? (2) y = ? ? ?2?



1 2

1 4

1 8

表2-2 函数值对应
x

x

?1

1 ? 2
0.32

0
1

1 4
1.8

1 2
3.2

3 4
5.6

1
10




(3) y = 10



0.1

根据上面描点,画出它们的图像如图2-9所示.
由图2-9知,这三个函数图像有下面特点. ? 1 ? y?? ? ? 10 ? x (1)图像都在 x 轴上方; ?1? y ?? ? (2)图像都通过点(0,1); ?2?
(3)当 a >1 时,曲线从左向右 逐渐上升;当 0< a <1 时,曲线从左 向右逐渐下降; (4)当 a >1 时,曲线右端向上 无限伸展 , 左端无限逼近 x 轴 , 但 永远不相交 ; 当 0< a <1 时 , 曲线 左端向上无限伸展 , 右端无限逼 近 x 轴,但永不相交.
X

y
10 9

y ? 10

x

8
7 6 5
4

y?2

x

3
2 1

?3 ? 2 ?1 O

1

2

3

x

图2-9 几种指数函数的图像

用类似方法可推出 , 所有指数函数 y ? a x 分别在 a >1 和 0< a <1 时的图像形状、性质见表 2-3.

表2-3 指数函数
a >1
y

y ? ax
x

的图像与性质
0 < a <1
x

y?a

? a>1?

?0<a<1?

y?a

y





1

1
x

O

O

x

(1) y > 0 (2) 当x = 0时,y = 1; 当x > 0时,y > 1; 当x < 0时,0 < y < 1
(3) 函数在 - ?,+? 内单调增加

(1) y > 0 (2) 当x = 0时,y = 1; 当x > 0时,0 < y < 1; 当x < 0时,y > 1
(3) 函数在 - ?,+? 内单调减少





?

?

?

?

(4) 当x ? + ?时,y ? +?; 当x ? -?时, y ? 0

(4) 当x ? +?时,y ? 0; 当x ? - ?时, y ? +?

例1 比较下列各组里两个幂的大小.
(1)
3 与3 ;
1 2 1 3

1 2

1 3

(2)

0.4

?1.2

与0.4

?0.2

.

解 (1) 因为 3 与3 可看作指数函数 y ? 3x 分别在 x ? 1 与x ? 1
处 的 函 数 值 ; 又 因 为 y ? 3x 在 ??, ??
1 ? 1,所以32> 33 ; 2 3
1 1

?

?内单调递增,且

2

3

(2)

因 为 0.4

?1.2

与0.4

?0.2

x 可看作 y ? 0.4 分 别 在 x = ? 1.2 与

x = ? 0.2 处的函数值 , 又因为 y ? 0.4 x 为 ? ??,?? ? 内单调递减 , 且

-1.2<-0.2,所以 0.4 > 0.4

?1.2

?0.2

.

例2

判断下面两个数,哪个大于 1?哪个小于 1?
2 3

(1) 10 ;

(2) 10 .

?

2 3

2 2 x 这两个数可看作指数函数 y = 10 分别在 和 ? 处的函数 解 3 3 值,由指数函数y = a x ? a ? 1?的性质知,10 ? 1, 0 ? 10 ? 1.
? 2 3 2 3

例3

判断下列各式中 x 的正负. (2) 2 x ? 0.2.

(1) 2 x ? 1.2 ;



(1) 因为 2x ? 1.2 ? 1,所以 x >0;

(2) 因为 2 x ? 0.2 ? 1,所以

x <0.

例4

2 2 2 x ? 1 x 和y ? a ? 5 ,求使 y1 ? y2 的 x 的值. 设函数 y ? a

1

解 要使 y1 ? y2 ,即 a

2 x ?1
2

?a

x ?5
2

2

.

(1)若 a >1,则有 2 x2 ? 1 ? x2 ? 5 ,所以 x 2 ? 4, 所以 ? 2 ? x ? 2 ;
x 2 ? 4, 所以x> 2或x< - 2 . (2) 若0 < a < 1,则有2x 2 ? 1 ? x 2 ? 5, 所以x 2 ? 4, 所以x ? 2 或x < -2.
例5
x2 ? 5 x ? 5 解不等式 0.09 2 2 ?

27 . 1000
2

解 原 不 等 式 可 化 为 : 0.3

2 x ?5 x ? 5

? 0.33 , 由 性 质 (3),

得: 2 x 2 ? 5 x ? 5 ? 3,即: 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ,所以 1 ? x ? 2 . 2 ? 1 ? ? 即原不等式的解集为 ? x | ? x ? 2 ? ?. 2 ? ? ? ?

例6 求下列函数的定义域. (1) y ?
1 ? 2x ;

(2) y ?

1 . x ?1? ? 2 ? ?4 ? ?

解 (1) 令1 ? 2 x ? 0, 即2 x ? 1, 于是 , 由性质 (3), 有 x ? 0 , 因此 ,
函数的定义域为 ? ??,0? ; ?
?1? ?1? ?1? (2) 令 ? ? ? 4 ? 0, 即 ? ? ? ? ? , 于是 , x < ? 2, 因此函数 ?2? ?2? ?2?
x x ?2

的定义域为 ? ??,?2? .


思考题:



1.指数函数y ? a x , ? a ? 0且a ? 1?的值为什么永为正数 ? 答 案 2.画出指数增长型函数图像草图,并指出与y轴交点坐标 ?
答 案

当x ? 0时,函数值范围 ?

课堂练习题:
1.不求值比较大小.
(1) 0.97 -0.35 和 0.97 ?0.53 ; (2) 1.32.7 和1.33.1 ;
x x

答 案
(3) 2.50.2 和0.952.7.

2.判断x值的正负. (1) 9.9 ? 9;
答 案

?1? (2) ? ? ? 3?1. ?6?
3 x ?7

3.求定义域 : y ? 3x ? 1.
答 案

?3? 4.解方程:? ? ?7? 答 案

?7? ?? ? ?3?

3? 7 x

.

第四节
一、对数的定义及运算

对数函数

1.对数的定义 我们知道 23 ? 8 ,现在提出相反的问题,2 的多少次幂等于 8?如何表示这种逆运算?我们采用一个新 的式子: log2 8 ?3表示,这里的 2 称为底数,8 称为真数,3 称为 以 2 为底 8 的对数.一般地,定义如下.
定义 若 a b ? N ( a ? 0, 且a ? 1, 常数),则称 b 为以 a 为底 N 的对 数 , 记为 log N ? b , 这里 a 称为 底数 ( 简称底 ),N 称为 真数 , 记号
a

“log”是对数运算符号.

注明

由对数定义知 , 若 a b ? N ? log N ? b , 反过
a

来,若 log N ? b ? a b ? N ,即 a b ? N
a

? log

a

N ? b.

2.对数的性质 根据指数运算与对数运算的关系,由指 数函数的性质,可得对数的下列性质.
(1)负数和零没有对数.

因任意 b ? R, 有ab ? 0 ? a ? 0, 且a ? 1? ,故 a b ? N ,必有 N>0, 于是对数运算“ log N ”中,真数 N 必定是正数.
a

(2)底的对数等于 1.

因 a1 ? a(a ? 0, 且a ? 1), 故 log a a ? 1. . (3)1 的对数等于零. 因 a 0 ? 1(a ? 0, 且a ? 1), 故 log a 1 ? 0.
(4) a loga N ? N (a ? 0, 且a ? 1, N ? 0).

因若 ab ? N ? b ? log a N ? a loga N ? N

例 1 求下列各式的值. (1) log 5 25;
(2) log10 1; (3)2
1?log2 5

;

(4)2

log2 2?log2 5

解 (1) 令 log5 25=N,则 5N ? 25 ? 52 ,故 N=2,即 log5 25 ? 2.
(2) log101? 0 [性质(3)].
1?log2 5 log2 5

(3) 因 为 2
2
1?log2 5

? 21 ? 2

, 由 性 质 (4), 2

log2 5

? 5. 所 以

? 2 ? 5 ? 10.
log2 2?log25 log2 2 2 ? ? 2 [性质(4)]. 2log25 5

(4) 2

3. 对数的运算法则 根据指数运算法则,我们可推得对 数运算有下列法则. a >0 且 a ?1.

法则 1 loga MN ? loga M ?loga N (M,N>0).
证明 令 loga M ? p,loga N ? q, 则
M ? a p , N ? a q ? MN ? a p a q ? a p ? q ,

故 p ? q ? loga MN ,即

loga MN ? loga M ?loga N .

注明 (1)法则1可叙述为:两个正数积的对数等于同底数 的这两个正数的对数之和; (2)法则1可推广到有限个正数的 乘积的情形.

法则 2 loga M ? loga M ?loga N (M , N ? 0), N 证明方法同法则1,不再证明. 该法则可叙述为:两个正数商的对数,等于同一底数的被 除数的对数减去除数的数.
法则 3 loga M n ? nloga M (M ? 0) . 证明 令 loga M ? p ? M ? a p ? M n ? (a p )n ? a pn ? np ? loga M n, 即 loga M n ? nloga M .
该法则可叙述为:一个正数的幂的对数.等于同一底数的幂 的对数乘以幂指数.
n 1 lo 法则 4 l o g g M? ( 0). a M ?n aM 证明方法同法则3,不证. 该法则可叙述为:一个正数的算术根的对数,等于被开方数 的对数除以根指数.

例 2 计算下列各式的值. (1)log10 5 100; (2)log2(47 ?25);

(3)2log20 2 ? 1 log20 25. 2 1 1 2 5 2 解 (1) log10 100 ? log10 100 ? log10 10 ? ; 5 5 5 (2) log 2 (47 ? 25 ) ? log 2 (214 ? 25 ) ? log 2 219 ? 19;

1 1 2 (3) 2log20 2 ? log20 25 ? log20 2 ? log20 252 2 ? log20 4?log20 5? log20(4?5) ?1..

例 3 用 loga x,loga y,loga z 表示下列各式 (1) loga x2 y3 ; (2) loga xy . z2

解 (1) loga x2 y3 ? 2loga x ?3loga y;
2 (2) loga xy ? log a xy ? loga z ? loga x ? loga y ? 2loga z. 2 z

4.常用对数、自然对数、对数的换底公式 熟 lg10=1,lg1=0. )

我们规定,以

10 为底的对数为常数对数, 简记为 lgN,例如 log10 5写成 lg5(!背

以无理数 e 为底的对数称为自然对数,其中 e=2.7182818?, 自然对数简记作 lnN,例如, loge 2 简记为 ln2.(!背熟 lne=1,ln1=0.)

在对数计算中,常常需要通过改换对数的底数,把已知的对 数变为常用对数或自然数的形式.那么如何进行换底呢?让我们 看下面的分析: 若 b ? loga N ?ab ? N ? 两 边 取 以 c 为 底 的 对 数 ,

得: logc ab ? logc N (c ? 0且c ?1) ? b ? logc N , 因此有: logc a log N loga N ? c log a c 称此式为对数的换底公式.

例 4 把下列对数分别用常用对数和自然对数表示. (1) log2 5; (2) log710.

解 (1) log2 5 ? lg5; log2 5 ? ln5. ln 2 lg2 (2) log710 ? lg10 ? 1 ; log710 ? ln10. ln7 lg7 lg7
例 5 求 log4 5?log5 6?log6 7?log7 8的值.
3 lg5 lg6 lg7 lg8 lg8 lg2 解 原式= ? ? ? ? ? 2?3 lg4 lg5 lg6 lg7 lg4 lg2 2.

og36 45 的值. 例 6 已知 log18 9 ? a,log18 5 ? b,求l

解 log36 45 ? log18 45 ? log18 5?log18 9 log18 36 log1818?log18 2

b?a a?b ? ? ? . 18 1 ? 1 ? log18 9 2 ? a 1 ? log18 9

b?a

二、对数函数的定义
由对数运算的定义知 ,对数运算是指数运算的逆运算 , 因 此,我们可以通过指数函数 y ? ax (a ? 0且a ?1) 的反函数 y ? loga x 给出对数函数的定义.
定义
且 a ? 1,常数 ) 称为 对数函数 , 它的 函数 y ? loga x (a ? 0

定义域为 ? 0,??? .

例如 , y ? log2 x, y ? log1 x, y ? lg x, y ? ln x 都是对数函数 , 它们分
2

?1? 别是 y ? 2 x , y ? ? ? , y ? 10 x , y ? e x 的反函数. ?2?
x

三、对数函数的图像和性质
y

y?a

x

? a>1?
y= x
y ? log a ? a>1?
x

y

y= x
y?a ?0<a<1?
1
x

1

O

x

1

O

1

y ? log a ?0<a<1?

x

x

图2 ? 10 a > 1时, y ? a 与y ? log a 的图像
x

x

图2-11 0 < a < 1时,y ? a 与y ? log a 的图像
x

x

对数函数的图像可用描点法或利用互为反函数的图像间 的关系作出.

由图 2-10 中,利用 y ? ax (a ?1) 的图像作出函数 y ? log a x(a ? 1) 的 图 像 ; 在 图 2-11 中 , 利 用 y ? ax (0 ? a ?1) 的 图 像 作 出

y ? loga x(0? a ?1)的图像.

由图2-10和图2-11可以看出,对数函数的图像有下面的特点. (1) 图像都在y轴右方;
(2) 图像都在点?1,0 ?;
(3) 当a > 1时,曲线单调递增;当0 < a < 1时,曲线单调减少;

(4) 当a > 1时,曲线右端向上无限伸展,左端向下无限伸 展并逼近y轴,但与y轴不相交;当0 < a < 1时,曲线右端向下无 限伸展,左端向上无限伸展逼近y轴,而与y轴不相交.

一般地,对数函数 y ? loga x 的图像和性质见表 2-4.
表2-4 对数函数 y = log a x 的图像与性质
a >1
y y

0 < a <1





y ? log a ? a>1?
O

x

y = log a x ? 0<a<1?

1

x

O

1

x

(1) x > 0

(1) x > 0





(2) 当x = 1时,y = 0; 当x > 1时,y > 0; 当0 < x < 1时,y < 0
(3) 在 0,+? 内单调递增

?

?

(2) 当x = 1时,y = 0; 当x > 1时,y ? 0; 当0 < x < 1时,y ? 0
(3) 在 0,+? 内单调递减

?

?

(4) 当x ? + ?,y ? + ?; x ? 0时,y ? - ?

(4) 当x ? + ?,y ? ??; x ? 0时,y ? ??

例 7 比较下列各组里两个数的大小. (1) log2 3与log2 5 ; (2) log 1 3与log 1 5 .
2 2

解 (1) 因为 log2 3与log2 5 可看作函数 y ? log2 x 分别在 x =3 与 x =5
时的函数值,所以由函数 y ? loga x(a ?1) 的性质知, log2 3< log2 5;

(2) 同理,根据函数 y ? loga x(0 ? a ?1)的性质,可知: log 1 3> log 1 5 .
2 2

例 8 下列对数中,哪些是正的?哪些是负的?哪些等于零? (1) log2 4 ; (2) log21; (3) log 1 2; (4) log 1 3 . 4 3 2 2

解 分别根据函数 y ? loga x 在 a >1 和 0< a <1 时的性质知:
(1) log2 4 ? 0; (2) log21? 0; (3) log 1 2 ? 0; (4) log 1 3 ? 0. 3 4 2 2

例 9

解不等式1? lg x ? lg(7 ? x).

解 首先由对数的定义域知,不等式中 x 的范围应满足:

又 1? lg x ? lg(7 ? x) 可 化 为 : lg x(7 ? x) ?1 , 所 以 , 由 对 数 函 数 ( a >1)的性质.得: x(7 ? x) ?10,即: x2 ?7x ?10 ? 0, 解之,得 x <2 或 x >5.
综合对数的存在条件,可得原不等式的解集为:

? x?0 ? ?7 ? x ? 0

即 0? x ?7

? x|0?x?2? ? x|5?x?7?.
(!求解不等式时,对数函数的定义域不可忘记.)

例 10

求下列函数的定义域. (2) y ? logx?2(x ? 2).

(1) y ? loga(2x ?1);

解 (1) 因为 2 x -1>0,所以 x ? 1 , 即,函数 y ? loga(2x ?1) 的定义域 2
为 ?? 1 ,?? ??; ?2 ?
? ?

(2)

? x? 2?0 ? x??2 ? ? ? 因为 ? x?2?0 ,即 ? ? x?2 .所以有 x >2 ? x?2?1 ? x?3 ? ? ? ?

且 x ? 3.

即函数 logx?2(x ? 2) 的定义域为 (2,3) (3,??) .


思考题:


x

?1? 1.对数函数与指数函数互为反函数吗?若是,你能将 ? ? ?5? 1 答 案 ? 写成对数形式吗? 25 2.写出下列等式中的未知数. 答 案 1 (1) log8 x ? ?2; (2) log a ? ?3. 125 y 3.什么叫对数函数 ? y ? lg x;

y ? ln x; y ? log 0.5 x是什么函数 ? 底数分别是什么数?
答 案
O
x

4.指出右图表示什么函数? 底数范围?增减性?和 x 轴交点坐标 ? 答



课堂练习题:
1.不求值比较大小.
答 案
3 3

(1) log 5 0.9和 log 5 1.2; (2) log 2 2.5和 log 2 3.2; (3) log 2 1.8和1;

8 7 (4) log 3 和0. (5) log 0.9 和0. 9 8 1 (1) log ? ?; (2) log 1 81 ? ?; 2.计算. 2 4 9

(3) lg 0.1 ? ?;

(4) ln ? ?;

1 e

(5) ? ? ?2?

?? log0.5 ? ? cos ? 4? ? ?1?

? ?.

答 案 答 案

3.用log a x, log a y, log a m表示,log a
4.求 log 3 8 log16 81 ? ?.

x? y ? ?. 6 m

答 案

参 考 答



思考题解答:
1.设 A, B 为两非空集合, 如果A中的每一个元素 x, 按照某种 对应法则 f , 集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应则称这种 对应法则 f 为从 A 到 B的一个映射, 记作f : A ? B, 函数的实质是 由非空集合到另一非空集合的映射.

返 回

思考题解答:
2.如果两个函数的定义域和对应关系完全相同,那么就认 为这两个函数相同.

返 回

思考题解答:
3.互为反数的两个函数的图像关于直线 y ? x 对称.

返 回

课堂练习题解答:
2.(1) f ? 0 ? ? 2; a2 ? 4 (2) f ? a ? ? . a?2

返 回

课堂练习题解答:
3.(1) y ? x2 的反函数 : y ? x , ? x ? 0? .
(2) y ? x ? 1 的反函数 : y ? ? x ? 1? , ? x ? 1? .
2

(3) y ? 2 x ? 5 的反函数 : y ?

x?5 , ? x ? R ?. 2 返 回

课堂练习题解答:
?x ?1 ? 0 ?x ? 1 4. ? ?? ?x ?1 ? 0 ?x ? 1
?原函数定义域是 : ? ?1,1?

?1, ?? ? .
返 回

思考题解答:
1.形如y ? x a , ? a ? R ?的函数叫幂函数.

返 回

思考题解答:
2.这类y ? x 的函数图像都过 ? 0, 0 ? , ?1,1? 两点, 在 ? 0, ?? ? 内单调递增, y ? x ?0.8 这类函数图像都过 ?1,1? 点.
返 回
2 3

思考题解答:
3. (1) 3.5 > 5.3 ;
2 3 2 3

(2) 0.18-1.3 < 0.15-1.3.

返 回

课堂练习题解答:
1.(1)y ? x 改写成 y ? 3 x , 所以 y 的定义域为: R.
1 (2) y ? x 改写成 y ? 2 , 所以 y 的定义域:? ??, 0 ? ? 0, ?? ? . x 1 ? 1 2 (3) y ? x 改写成 y ? , 所以 y 的定义域:? 0, ?? ? . x 返 回
?2

1 3

课堂练习题解答:
?x ?1 ? 0 ?x ? 1 2. ? 又为单调递增函数. ? ?2 ? x ? 0 ? x ? 2
3 ? x ?1 ? 2 ? x 即 x ? . 2
? 3 ? ? 原不等式解集是 : ? x | ? x ? 2 ? . ? 2 ?

返 回

思考题解答:
1. y ? a x 中,a ? 0 且 a ? 1, x ? R, 所以 y ? a x ? 0.

返 回

思考题解答:
2.与 y 轴交点 ? 0,1? ,当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1.
y

O

x

返 回

课堂练习题解答:
1. (1) 0.97 -0.35 < 0.97 -0.53 ; (3) (2) 1.3 2.7 < 1.33.1 ;

2.50.2 >2.50 ? 1, 而0.952.7 ? 0.950 ? 1.

? 2.50.2 ? 0.952.7.

返 回

课堂练习题解答:
2. (1) x ? 0; (2) x ? 0.

返 回

课堂练习题解答:
3. 3x ?1 ? 0, 3x ? 30 , x ? 0.
?原函数定义域:?0,+? ? .
返 回

课堂练习题解答:
?3? 4. ? ? ?7?
3 x ?7

?3? ?? ? ?7?

3? 7 x

,? 3x ? 7 ? 3 ? 7 x,? 方程的解为x ? 1.

返 回

思考题解答:
1 1 ?1? 1.互为反函数 ? ? ? , 其对数形式是: log 1 ? x. ? 5 ? 25 5 25
x

返 回

思考题解答:
1 2.(1) 写成指数式: 8 ? x, 即 x ? . 64
-2

(2) 写成指数式: a ?3 ? 5?3 , 即 a ? 5.

返 回

思考题解答:
3.形如 y ? log a x 的函数 ? a ? 0, 且a ? 1? 叫对数函数, y ? lg x, y ? ln x, log 0.5 x 分别叫常用对数,自然对数, 一般对数, 底数分别 为10,e, 0.5.

返 回

思考题解答:
4.它表示底数为 ? 0,1? 范围在区间? 0,+? ?的单调递减函数图 像, 和 x 轴交点 ?1,0 ? . 它表示底 0 ? a ? 1 的对数函数 y ? log a x, 该函数在 ? 0, ?? ? 内递减, 和 x 轴交点 ?1,0 ? .
y

O

x

返 回

思考题解答:
1. (1) log 5 0.9 < log 5 1.2; (2) log 2 2.5 > log 2 3.2;
3 3

(3) log 2 1.8 < 1;

8 (4) log 3 < 0. 9

7 (5) log 0.9 > 0. 8

返 回

思考题解答:
2.(1) log 2 1 ? ?2 ; 4 (2) log 1 81 ? ?2 ;
9

(3) lg 0.1 ? ?1 ;

(4) ln ? ?1 ;

1 e

(5) ? ? ?2?

?? log0.5 ? ? cos ? 4? ? ?1?

?

2 . 2

返 回

课堂练习题解答:
1 1 3.原式= log a x ? log a y ? 6 log a m, 2 2

? x, y, m 为正?

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课堂练习题解答:
lg 23 lg 34 3 ? 4 4.原式= ? ? 3. 4 lg 3 lg 2 4

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