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数学思维方法期末知识要点

1、数学思维是人们在 数学活动

中的思维

2、数学思维的特征是: 高度抽象性 ,形式化的严谨性 , 表现方式的多样性 3、逻辑思维的基本规律有:同一律 , 矛盾律 ,排中律 ,充足理由律 数学推理

数学逻辑思维的基本形式包括: 数学概念 4、合情推理体现在:类比推理

, 数学判断 , 两方面

,归纳推理

5、数学中的想象分为 无意想象 ,有意想象 学习必不可少的方式。 6、创造性思维的主要标志是 创见性 , 7、化归法分为 变形法

,再造想象是在 老师

的引导下的数学

新颖性 ,

,分割法, 映射法

8、分割法的特点是: 化大为小 , 化繁为简 9、逐次渐近法分为: 对数学问题解法的逐次渐进方法 ,对数学问题本身的逐次渐进方法 10、代数中的代入法 是属于化归法中的 换元法

关系映射反演法


11、代数中的解方程的移项是属于化归法中的 同解变形

12、数学非逻辑思维包括:形象思维,直觉思维,灵感思维,想象 13、合情推理是指:合乎情理的推理,按自己主观愿望认为是正确的方法进行推理,去解 决问题的推理方法。 14、分析法包括 元分析法,追溯型分析法,构造型分析法,前进型分析法,混合型分析法 15、代数解决问题的关键思想是 16、解一个题得到错误的结论,或者是题目已知错误,或者是解题者做错。以此为前提试作 出推理判断是 相容选言推理 18、非逻辑思维在小学数学教育中的重要性

非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、想象思维、灵感思维。 形象思维的重要性: (1)形象思维使人们对数学的概念或理论有一种直观形 象的理解,从而有助于学习和运用数学。 (2)形象思维可以获得抽象思维所不能 取得的成果,形象思维可以帮助人们在数学思维时,有所突破、有所创新。 直觉思维的重要性:选择和创新。 想象思维的重要性: (1)利用想象解决数学问题;(2)利用想象发展创造性思 维。

19、小学数学教学中,数学方法和数学思维哪个应当得到更大的重视。

(数学思维、方法;关系;小学数学教学的特点;小学生思维特点及层次;综合;谈 自己的看法) 20、递推法与递归法各是什么?有什么区别。 递推法——(用前一个推后一个)初等数学常用的方法,先尝试找到解决问题方法的某种规 律或法则,利用这种规律或法则逐渐推导下去,直到正确答案。 递归法(几个推一个)把未知对象排成一个序列,先求得一个未知对象的结果,然后利用已获 得的第一个对象的结果, 求得第二个对象的结果, 依次进行下去, 求得全部未知对象的结果, 从而得到问题的解决。特点 :整个过程中,每一个求的对象都可以利用前面已知对象的结 果来解决。

21、数学非逻辑思维都有哪些?分别归纳说明它们的特点和作用是什么?

形象思维:以直观形象和表象来思考问题的思维。 特点:不以概念为单元进行思维,以直观形象来进行思维的。 作用:理解成果、创造成果两方面:有助于学习数学和运用数学 ;可以帮助人们在数学思维时有所突破和创新。 (书上:使人们对数学的概 念理论有一种直观形象的理解,从而有助于学习和运用数学;形象思维可以 获得抽象思维不能取得的成果,可以帮助人们在数学思维时,有所突破、创 新) 直觉思维:是一种对事物、问题、现象的直接观察领悟式的思维。 特点:是一种迅速的识别、敏锐的洞察和直接的理解。越过中间环节直接达 到结论的一种非逻辑思维。 (特征:非逻辑性、直接性、模糊性) 作用:选择作用(选择解决问题的方向,向着所解决问题的方向选择) 、创 新作用(洞察、猜测、启发提供创新的方法和思路) 灵感思维:是一种特殊的思维方式,它一般是指人们对某一问题百思不得其 解,绞尽脑汁仍无答案时,却因受某种偶然因素的启发产生顿悟,刹那间闪 现出解决问题的方式与方法。 特点:要有媒介诱导、是显意识和潜意识。特征:长期思维的突发性,模糊 性与突逝性) 想象:是人在客观事物的影响下,在言语的调节下,把头脑中已有的表象经 过结合和改造而产生新表象的心理过程。 数学想象: 是对数学知识的再造和创新。 数学想象的特征:形象特征、概括性与直觉性特征、整体性特征
数学想象的作用:解决数学问题、完成创造性思维

想象思维的作用: (1) 利用想象解决数学问题; (2)利用想象发展创造性思维。

22、简述数学逻辑思维的过程。

23、观察和实验在中小学数学学习的作用是什么? 观察与实验的作用, A、能够培养学生学习数学的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣 及信心。 (如何做,P93)B、使数学教学回到数学的本原—实践。 C 、有利于素质教育中 学生数学素质的提高。 观察与实验在数学中的运用 分两层:1、运用观察和实验来解决和验证数学理论。 2、运用观察和实验来解决具体的数 学问题。用于教学:在中小学就是要让学生学会运用观察和实验来解决具体的数学习题。

24、什么是合情推理?简述其特点和意义是什么? 合情推理:(按自己的主观愿望认为是正确的方法进行推理去解决问题的推理方法),数学问 题探索中的一种非逻辑演绎的、合乎情理的、似真的推理过程。是一种创造性的思维过程。 特点:思维主动(主观)性:主动性是指不受束缚,自己认为合理就按这个方向去思考。情 感性: 指按照自己认为真的方向进行探索。 试错性: 是指推理是一个学习、 论证的试错过程, 不断的错并不断的纠正。 意义:1、搞数学工作必须学会合情推理2、数学学习必须尝试自己学到的推理方式,合情 推理就是一个必须学会运用的思维方式。3、创新的过程需要使用合情推理

25、化归法中变形法在解题时的特征各是什么?分别说明; 220 页 恒等变形、同解、等价参数变形等

26、简述 RMI 方法在解题时的模式特点。用实例简要说明 换元法、坐标法、函数法、待定系数法 243 页

27、用一个解题的实例说明数学解题的一般程序。 数学解题的一般程序 118 页 (1)弄清问题(已知、未知,要解决问题的目标) (2)分析和制定解题步骤(知识内在联系、概念间的联系、条件间的联系;从问题出发找 出解题的步骤) (3)完成解题计划并检验(按设计的解题步骤解决问题,并进行结论检验)

(4)解题后的研究: (进行条件和结论的变化,推广,联想等) ;有没有别的解法

28、什么是简单化原理,数学解题为什么追求简单化? 简单化原理:指一个理论体系中,构成理论的基础原理和基本观念总是比较简单的。解决问 题的简单化过程也是一个逐次渐近的过程。 原因:1) 、简单的问题容易解决,简单的解答容易理解和掌握(2)数学是一种理性的思维 构造,本身舍弃了原有事物的许多属性,只赋予一种符号语言的逻辑构特征,是简单化原理 的体现(3) 、数学知识的发展是一个由简到繁的过程,每一个分枝都可以找出基本的定理和 方法,这些基本的定理和方法就是一个这个分枝里面最简单的内容。 ( 4) 、数学在解决复杂 的问题时,总是按照逐次渐近的方法,把它分割、化归为简单的问题,从而有步骤地一步步 求得问题的解决。 (在解决小问题时是化简,大问题是分割成若干小问题,直到每一个小问 题是简单的容易解决时为止)

29、 分析法都有哪些种类?试举一到二种说明分析法的主要特点; 证题术中分析法的特点和 过程是什么? 种类:元分析法、追溯型分析法、构造型分析法、前进型分析法、混合型分析法

30、用自己经历的教学内容,设计一个应用数学非逻辑(或者数学猜想)思维培养学生创造性 思维的教学的片段。 并说明体现非逻辑思维的部分及其作用。

31、简述概率论的思想和方法;

(1)在随机现象中,一个事件是否发生是不确定的 (2)不确定性可以经过统计计算出大小 (3)可能性大的时间在一次试验中发生的可能性就大,反之亦然。 (4)小概率原理:大概率事件经常发生,但并不是一定会发生;小概率事件几 乎不可能发生,但不是不会发生。这就是小概率原理。

32、简述公理化方法的作用及构造公理化体系的程序。 作用:1、可以帮助一门学科由经验知识阶段迅速上升到理性结构阶段。2、可以进一步推动 科学理论的发展。3、应用于自然科学 4、推动了结构主义无能运动;结构主义想用公理化

的方法概括全部数学分枝,但是不能概括数论的技巧和描述概率统计现象。 5、有利于训练 人的逻辑推理能力。 程序:1.要积累大量的经验、数据和资料,对这些经验资料进行分析归纳,使之系统化, 最后上升为理论. 2. 从原有的资料、 数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理。 3. 由 基本概念和公理出发,经过演绎推理,将一门数学展开成一个严格的理论系统.也就是说, 对系统中的每一概念予以定义, 而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概 念; 对其它每一命题都给予证明, 而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真 实的定理.因此,一门数学的演绎系统就是这门数学的基本概念、公理和定理所构成的逻辑 的链条.

33、分别写出分析法与综合法的解题思维过程(作业类型) 34、某解题过程包含了哪些数学方法,请分析指出来,并在相应位置注明 35、简要列举几个小学解题用到的常用数学方法,并进行简要说明。

常用数学方法:化归的方法、变换的方法、反证法、数形结合的方法、合情推理的方法、
类比的方法、归纳的方法、抽样调查的方法、运筹的方法、数学猜想 化归法概念:转化、归结,指把待解决的问题归结到已经解决的或者比较容易解决的问题中 从而求得原问题解决的一种方法。化归的根本特征是:在解决一个问题时,人们不

是直接寻求问题的答案, 而是去寻觅一些熟悉的结果,设法将面临的问题转化为 一规范的问题,以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决.包括:变形法,
分割法和映射三种。化归法的形式:转化,熟化;化难为易;化一般为特殊。

【例1】 解方程:3x+2=8x-1. 分析: (1)确定目标:3x+2=8x-1 ?? (2)寻找差异:右边多“8x”项,左边多“2”项. (3) 消除差异:两边同时减去“8x+2”后得-5x=-3. 因为所得方程不是最简方程,于是将上面的过程再进行一次: (1) 确定目标:-5x=-3 ?? (2) 寻找差异:x 项的系数是“-5”.

消除差异:两边同时除以“-5”得 x= .

3 5

36、 类比和归纳在教材中哪些方法和思维常用到, 请你归纳出来并简要说明类比和归纳的程 序或思路

合情推理和公理化思想 归纳推理:由已知为真的命题作前提,引出可能真实命题作结论的推理。 类比推理: 已知两个对象具有某些相同的属性、 关系、 特征推出它们在其它特征、 属性、关系上也具有相同或相似的结论。 类比推理的程序: (1)选择适当的类比对象。 (2)根据选择的对象找出相应已知 属性、关系、特征。 (3)找准类比内容。 (4)得出类比结论。 不完全归纳推理的程序: (1)研究教学结论,明确归纳对象。 (2)设计将要展示 的 2~3 个归纳对象。 (3)引导学生观察分析对象,找出共同属性或关系。 (4)引 导归纳,提出猜想。

37、列举一个简要的例子说明小数数学中数学的形式化过程


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