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2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第4讲 直线、平面垂直的判定与性质练习 理


【创新设计】 (全国通用)2017 版高考数学一轮复习 第八章 立体几 何 第 4 讲 直线、平面垂直的判定与性质练习 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:45 分钟) 一、选择题 1.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4

解析 由直线与平面垂直的性质,可知①正确;正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面, 而不平行,故②错;由直线与平面垂直的定义知④正确,而③错. 答案 B 2.下列命题中错误的是( )

A.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β ,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面 α ⊥平面 γ ,平面 β ⊥平面 γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 对于 D,若平面 α ⊥平面 β ,则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β ,即与平面 β 的关系还可以是斜交、平行或在平面 β 内,其他选项易知均是正确的. 答案 D 3.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC
1

)

解析 ∵M 为 AB 的中点,△ACB 为直角三角形,∴BM=AM=CM, 又 PM⊥平面 ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC, 故 PA=PB=PC. 答案 C 4.(2016·银川一模)设 m,n 为空间两条不同的直线,α ,β 为空间两个不同的平面,给出 下列命题: ①若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ; ②若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β ; ③若 m∥α ,m∥n,则 n∥α ; ④若 m⊥α ,α ∥β ,则 m⊥β . 其中的正确命题序号是( A.③④ B.①② ) C.②④ D.①③

解析 ①若 m∥α ,m∥β ,则 α 与 β 相交或平行,故①错误;②若 m⊥α ,m∥β ,则 由平面与平面垂直的判定定理得 α ⊥β ,故②正确;③若 m∥α ,m∥n,则 n∥α 或 n? α ,故③错误;④若 m⊥α ,α ∥β ,则由直线与平面垂直的判定定理得 m⊥β ,故④正 确.故选 C. 答案 C 5.(2016·九江模拟)如图,在四面体 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列正确的是( A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 解析 因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,又 BE∩DE=E,于 是 AC⊥平面 BDE.因为 AC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 BDE.又由于 AC? 平面 ACD,所 以平面 ACD⊥平面 BDE,所以选 C. 答案 C 二、填空题 6.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC 和△PAC 的边所在的 )

2

直线中,与 PC 垂直的直线有________;与 AP 垂直的直线有________. 解析 ∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC;∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C, ∴AB⊥平面 PAC,∴与 AP 垂直的直线是 AB. 答案 AB,BC,AC AB 7.在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列 三个论断: ①AC⊥PB; ②AC∥平面 PDE; ③AB⊥平面 PDE.其中正确论断的序号为________. 解析 如图,∵P-ABC 为正三棱锥,∴PB⊥AC; 又∵DE∥AC,

DE? 平面 PDE,AC?平面 PDE,
∴AC∥平面 PDE.故①②正确. 答案 ①② 8.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的正投影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC; ④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. 又 AC⊥BC,且 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且 BC∩PC=C,∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又 AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF,∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案 ①②③

三、解答题 9.(2016·郑州模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱

PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 证明 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF,DE? 平面 DEF,
3

所以直线 PA∥平面 DEF. (2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA,EF∥BC, 1 1 2 2 2 且 DE= PA=3,EF= BC=4.又因为 DF=5,故 DF =DE +EF , 2 2 所以∠DEF=90°,即 DE⊥EF. 又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC. 因为 AC∩EF=E,AC? 平面 ABC,EF? 平面 ABC, 所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE? 平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 10.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB= 2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点. 求证:(1)CE∥平面 PAD; (2)平面 EFG⊥平面 EMN. 证明 (1)法一 取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 1 因为 E 为 PB 的中点,所以 EH∥AB,且 EH= AB. 2 1 又 AB∥CD,CD= AB, 2 所以 EH∥CD,且 EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CE∥DH. 又 DH? 平面 PAD,

CE?平面 PAD,
因此,CE∥平面 PAD. 1 法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点,所以 AF= AB. 2 1 又 CD= AB, 2 所以 AF=CD,又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,AD? 平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA? 平面 PAD,
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所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE? 平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA,所以 AB⊥EF.同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF? 平面 EFG,FG? 平面 EFG, 因此 AB⊥平面 EFG.又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD,又 AB∥CD,所以 MN∥AB. 因此 MN⊥平面 EFG.又 MN? 平面 EMN, 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底 面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AB 上 C.直线 AC 上 ) B.直线 BC 上 D.△ABC 内部

解析 由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,BA∩BC1=B,则 AC⊥平面 ABC1,又 AC? 平面 ABC,因此平 面 ABC⊥平面 ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 答案 A 12.(2016·衡水中学模拟)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面

A1BD 的垂线,垂足为点 H.则以下命题中,错误的命题是(
A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°

)

解析 对于 A,由于 AA1=AB=AD,所以点 A 在平面 A1BD 上的射影必到点 A1,B,D 的距离 相等,即点 H 是△A1BD 的外心,而 A1B=A1D=BD,故点 H 是△A1BD 的垂心,命题 A 是真命 题;对于 B,由于 B1D1∥BD,CD1∥A1B,故平面 A1BD∥平面 CB1D1,而 AH⊥平面 A1BD,从而

AH⊥平面 CB1D1,命题 B 是真命题;对于 C,由于 AH⊥平面 CB1D1,因此 AH 的延长线经过点 C1,命题 C 是真命题;对于 D,由 C 知直线 AH 即是直线 AC1,又直线 AA1∥BB1,因此直线
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AC1 和 BB1 所成的角就等于直线 AA1 与 AC1 所成的角,即∠A1AC1,
而 tan∠A1AC1= 答案 D 13.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC, 2 = 2,因此命题 D 是假命题. 1

PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直
线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE? 平面 ABC,得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB? 平面 PAB,∴AE⊥

PB,①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错;由正六边形
的性质得 BC∥AD,又 AD? 平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立, ③错;在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确. 答案 ①④ 14.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC= 2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. (1)证明 因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC. 又 PA⊥底面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 PA⊥BD,因为 AC∩PA=A,所以 BD⊥平面 PAC,

PC? 平面 PAC,所以 BD⊥PC.
如图,设 AC∩BD=F,连接 EF. 因为 AC=2 2,PA=2,PE=2EC, 2 3 故 PC=2 3,EC= ,FC= 2, 3 从而 = 6, = 6. 所以 =

PC FC

AC EC

PC AC ,又∠FCE=∠PCA, FC EC

所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°. 由此知 PC⊥EF. 又 BD∩EF=F,所以 PC⊥平面 BED.

6

(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足. 因为二面角 A-PB-C 为 90°, 所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB, 故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直, 故 BC⊥平面 PAB,又 AB? 平面 ABC,于是 BC⊥AB, 所以底面 ABCD 为正方形, 又 AC=2 2,故 AD=2,PD= PA +AD =2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD?平面 PBC,BC? 平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC,A,D 两点到平面 PBC 的距离相等,即 d=AG= 2.
2 2

d 1 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α ,则 sin α = = . PD 2
所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.

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