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高三数学寒假作业(二十五) 小题限时保分练


寒假作业(二十五) 小题限时保分练——南昌一模试题节选(注意命题点分布) (时间:40 分钟 满分:80 分)

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|x>log2m},若 A?B,则实数 m 的取值范围 是( ) A.(0,4] 1? C.? ?0,2? 1 ? B.? ?2,1? 1? D.? ?-∞,2?

解析:选 C 由 x2-x-2<0,解得-1<x<2, 故 A={x|-1<x<2}. ∵B={x|x>log2m},A?B,∴log2m≤-1, 1 即 0<m≤ . 2 2.如图,在复平面内,若复数 z1,z2 对应的向量分别是 OA , OB , 则复数 z1+z2 所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

uuu r

uuu r

解析:选 A 由题图可得 A(1,2),B(1,-1),则 z1=1+2i,z2=1-i,则 z1+z2=2+i. ∴z1+z2 所对应的点的坐标为(2,1),位于第一象限. 2 016? 3. 已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 x∈[0,1)时, f(x)=lg(x+1), 则 f? ? 5 ?+lg 18 =( ) A.1 C.5 B.2 D.10

解析:选 A ∵当 x∈[0,1)时,f(x)=lg(x+1), 4? 9 ∴f? ?5?=lg5. 又∵函数 f(x)是周期为 2 的奇函数, 2 016? ? 4? 9 ?4? ∴f? ? 5 ?=f?-5?=-f?5?=-lg 5, 2 016? 9 ∴f? ? 5 ?+lg 18=lg 18-lg5=lg 10=1. 4.点 A 是半径为 2 的圆 O 内一个定点,P 是圆 O 上的一个动点,线段 AP 的垂直平分 线 l 与半径 OP 相交于点 Q,则|OQ|· |QA|的最大值为( A.1 B.2 )

C.3

D.4

解析:选 A 由题意知,|QA|=|QP|,|OQ|+|QP|=2, 故|QA|+|OQ|=2, 由基本不等式可知, |QA|+|OQ|?2 |OQ|· |QA|≤? 2 ? ? =1(当且仅当|QA|=|OQ|=|PQ|,即 PA⊥AO 时,等号成立), 故|OQ|· |QA|的最大值为 1. 5.设 f(x)是定义在 R 上的函数,则“f(x)不是奇函数”的充要条件是( A.?x∈R,f(-x)≠-f(x) B.?x∈R,f(-x)≠f(x) C.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0) D.?x0∈R,f(-x0)≠f(x0) 解析:选 C f(x)不是奇函数等价于?x∈R,f(-x)=-f(x)不一定成立,即?x0∈R, f(-x0)≠-f(x0). 6.已知|a|=3,|b|=5,a 与 b 不共线,向量 ka+b 与 ka-b 互相垂直,则实数 k 的值 为( ) 5 A. 3 3 B. 5 5 D.± 3 )

3 C.± 5 解析:选 D 因为 a 与 b 不共线, 所以 ka+b≠0,ka-b≠0. 因为向量 ka+b 与 ka-b 互相垂直,

所以(ka+b)· (ka-b)=0,所以 k2a2-b2=0, 因为|a|=3,|b|=5,所以 9k2-25=0, 5 所以 k=± . 3 π ? 7.点 P? ?- 6,1?是函数 f(x)=sin(ωx+φ)+mω>0, π π |φ|< ?的图象的一个对称中心,且点 P 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ,有以 2? 4 下结论: ①f(x)的最小正周期是 π; ②f(x)的值域为[0,2]; π ③f(x)的初相 φ 为 ; 3

5π ? ④f(x)在? ? 3 ,2π?上单调递增. 则正确结论的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

π ? π? ? 解析: 选 D 因为点 P? ?-6,1?是函数 f(x)=sin(ωx+φ)+m?ω>0,|φ|<2?的图象的一个 对称中心, π ? 所以 sin? ?-6ω+φ?=0,m=1. π 因为点 P 到该图象的对称轴的距离的最小值为 , 4 π 2π π π ? 所以 T=π= ω ,ω=2,代入 sin? ?-6ω+φ?=0,|φ|<2,得 φ=3, π 2x+ ?+1. 即 f(x)=sin? 3? ? 故①f(x)的最小正周期是 π,正确; ②f(x)的值域为[0,2],正确; π ③f(x)的初相 φ 为 ,正确; 3 π π π ④令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 得- 5π π +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 12 12 19π 25π ≤x≤ , 12 12

令 k=2,得

5π ? ?19π 25π? 因为? ? 3 ,2π??? 12 , 12 ?, 5π ? 所以 f(x)在? ? 3 ,2π?上单调递增,正确. x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线 a b 的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( A.x± 3y=0 C.x± 2y=0
2 2

)

B. 3x± y=0 D.2x± y=0

x y 解析:选 B 由于双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F, a b 则 F(2,0),双曲线的半焦距 c=2,设 P(m,n), 由抛物线的定义知|PF|=m+2,又|PF|=5, ∴m+2=5,m=3,

∴点 P 的坐标为(3,± 2 6). a +b =4, 2 ? ? ? ?a =1, 由? 9 24 解得? 2 ?b =3, 2- 2 =1, ? ? a b ? 则双曲线的渐近线方程为 3x± y=0. x+y-6≤0, ? ? 9.设 x,y 满足不等式组?2x-y-1≤0, ? ?3x-y-2≥0, a+1,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,2] C.[-3,-2] ) B.[-2,1] D.[-3,1]
2 2

若 z=ax+y 的最大值为 2a+4,最小值为

解析:选 B 由题意作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,
?x+y-6=0, ? 由方程组? ? ?3x-y-2=0,

解得 A(2,4), 同理可得 B(1,1), 因为 z=ax+y 的最大值为 2a+4,最小值为 a+1, 所以 z=ax+y 在点 A 处取得最大值,在点 B 处取得最小值, 由 z=ax+y,得 y=-ax+z, 所以-1≤-a≤2, 所以-2≤a≤1. 10.执行如图所示的程序框图,若输出的 n=9,则输入的整数 P 的最小值是( )

A.50 C.78

B.77 D.306

解析:选 C 模拟程序框图的运行过程,如下: n=1,S=0,输入 P,S=0+2=2,n=2,S≤P,

S=2+22=6,n=3,S≤P, S=-6+23=2,n=4,S≤P, S=2+24=18,n=5,S≤P, S=-18+25=14,n=6,S≤P, S=14+26=78,n=7,S≤P, S=-78+27=50,n=8,S≤P, S=50+28=306,n=9,S>P, 终止循环,输出 n=9, 所以 P 的最小值为 78. 8 5 11.一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 12π+ ,则正视图与侧视 3 图中 x 的值为( )

A.5 C.3

B.4 D.2

解析:选 C 由三视图知,该空间几何体是由圆柱与四棱锥组合而成的,且圆柱底面 半径为 2,高为 x, 四棱锥底面为正方形,边长为 2 2,高为 32-22= 5, 1 8 5 故该几何体的体积为 4πx+ ×(2 2)2× 5=12π+ , 3 3 解得 x=3. 12.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 在线段 BB1 和线段 A1B1 上移动,∠EAB π? =θ,θ∈? ?0,2?,过直线 AE,AD 的平面 ADFE 将正方体分成两部分,记棱 BC 所在部分 π? 的体积为 V(θ),则函数 V=V(θ),θ∈? ?0,2 ?的大致图象是( )

解析:选 C 如图,由题意作正方体 ABCDA1B1C1D1, π? 当 θ∈? ?0,4?时,棱 BC 所在部分为直三棱柱, 1 1 1 故 V=V(θ)= · AB· BE· BC= ×1×1×tan θ×1= tan θ, 2 2 2 故排除 A、B; π π? 当 θ∈? ?4,2?时,棱 A1D1 所在部分为直三棱柱, π 1 -θ?,结合图象知,C 正确. 故 V=V(θ)=1- tan? ? 2 ?2 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.

解析:由三视图可知原几何体的直观图如图所示, 该几何体是以直角梯形 ABDE 为底面,BC 为高的四棱锥, 1 1 故该四棱锥的体积 V= × ×(2+6)×6×6=48. 3 2 答案:48 14.已知直线 l:y=kx+b 与曲线 y=x3+3x+1 相切,则斜率 k 取最小值时,直线 l 的方程为________________. 解析:由 y=x3+3x+1,得 y′=3x2+3, 则 y′=3(x2+1)≥3, 当 y′=3 时,x=0,此时 y=1,即切点坐标为(0,1).

∴斜率 k 取最小值时,直线 l 的方程为 y-1=3(x-0), 即 3x-y+1=0. 答案:3x-y+1=0 2 016x 1+2 014 π 15.已知 0<a≤ ,设函数 f(x)= +sin x(x∈[-a,a])的最大值为 P,最 2 2 016x+1


小值为 Q,则 P+Q 的值为________. 解析:f(x)= = 2 016x 1+2 014 +sin x 2 016x+1


2 016×2 016x+2 014 2 +sin x=2 016- +sin x 在[-a,a]上是增函数, x 2 016 +1 2 016x+1 2 2 +sin a+2 016- -sin a - 2 016a+1 2 016 a+1

故 P+Q=2 016-

2 2 =4 032-?2 016a+1+2 016-a+1?

?

?

=4 030. 答案:4 030 16.已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 a=1,2cos C+c=2b, 则△ABC 的周长的最大值是________. 解析:在△ABC 中,由余弦定理可得 2cos C= ∵a=1,2cos C+c=2b, ∴ 1+b2-c2 +c=2b, b a2+b2-c2 , ab

化简可得(b+c)2-1=3bc. b+c?2 ∵bc≤? ? 2 ?, b+c?2 ∴(b+c)2-1≤3×? ? 2 ?, 解得 b+c≤2(当且仅当 b=c 时,取等号). △ABC 的周长 l=a+b+c≤3, ∴△ABC 的周长的最大值是 3. 答案:3


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