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四川省成都市六校协作体2011-2012学年高二下学期期中联考 数学文


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成都市六校协作体高 2010 级第四学期期中试题

数 学文
(全卷满分:150 分
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1 ,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x > 1 2.“ x > 1 ”是“ x > x ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2

完成时间:120 分钟)


B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x > 1 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 袋中装有 6 个白球,5 个黄球,4 个红球, 从中任取 1 球,抽到不是白球的概率为 ( A.

2 45

B.

4 15

C.

3 5

D.非以上答案 ) B.a 和 b 至有一个是偶数 D.a 和 b 都不是偶数 )

4. “a 和 b 都是偶数”的否定形式是( A.a 和 b 不都是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数

3 5.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为(

A. (1, 0) C. (2,8) 和 (?1, ?4)

B. (2,8) D. (1, 0) 和 (- 1, - 4)

6.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3

[27.5,31.5) 1l [31.5,35.5)

根据样本的频率分布估计,数据落在[31.5,43.5)的概率约是 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

7.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如下右图的 茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是 X 甲、X 乙,则 下列结论正确的是(
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)

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A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 C.X 甲>X 乙;乙比甲成绩稳定

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B.X 甲>X 乙;甲比乙成绩稳定 D.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定 )

8.曲线 y = ex +1 在点(0,2)处的切线与直线 y = 0 和 x = 0 围成的三角形的面积为( (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)2

9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额 ? +a ? = bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
为( ) B. 65.5 万元 ) B.在 (0, ??) 上递减 D.在 ? 0, ? 上递减 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

A.6 3 .6 万元

10.已知函数 f ( x) = x ln x ,则( A.在 (0, ??) 上递增 C.在 ? 0, ? 上递增

? ?

1? e?

? ?

1? e?

11. 设 a ? R , 函 数 f ( x) ? e x ? a ? e? x 的 导 函 数 是 f ?( x ) , 且 f ?( x ) 是 奇 函 数 . 若 曲 线

y = f ( x) 的一条切线的斜率是
A、 ln 2

3 ,则切点的横坐标为 2 ln 2 B、 - ln 2 C、 2

(

) D、 -

ln 2 2

12. f(x) 是 (0,+ ∞ ) 上的非负可导函数 , 且 xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 对任意正数 a,b, 若 a<b, 则 ( )

A..bf (a) ? af (b)

B..af (b) ? bf (a)

C.af (a) ? f (b) D.bf (b) ? f (a)

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟 采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本。已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取____________名学生。

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14. 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的 长度小于 1 的概率为 。 ____.

15.若函数 f ( x) = ax3 - x2 + x - 5 在区间 (1,2) 上单调递增,则 a 的范围为______

16.右图是函数 y = f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象,给出下列命题: ① - 2 是函数 y = f ( x) 的极值点; ② 1 不是函数 y = f ( x) 的极值点; ③ y = f ( x) 在 x = 0 处切线的斜率小于零; ④ y = f ( x) 在区间 (- 2, 2) 上单调递增; 则正确命题的序号是 三.解答题(共 6 小题,共 76 分) 17. (本小题满分 12 分)甲、乙两人玩一种游戏:5 个球上分别标有数字 1、2、3、4、5, 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸出一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数 算甲赢,否则算乙赢。 (1)求编号的和为 6 的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由。 (写出所有正确命题的序号)

18. (本小题满分 12 分)已知命题 命题 q :方程 4 x
2

p :方程 x2 + mx +1 = 0 有两个不等负实数根;

+ 4(m - 2) x +1 = 0 无实根;若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,

求实数 m 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六组[40,50) ,[50,60) . . .[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的 信息,回答下列问题: (Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (Ⅲ) 从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.

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频率 wx.jtyjy.com 组距

0.025

0.015 0.01 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100

分数

20.(本小题满分 12 分)甲乙两人约定在下午六点到七点之间在某处会面,并约定先到者应 等候另一人 20 分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax3 + (2a - 1) x2 +1 ,当 x = - 1 时,函数 f ( x) 取得 极值. (1)求实数 a 的值; (2)确定函数 f ( x) 的单调区间.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = x - 8ln x , g ( x) = - x +14x . (1)求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 (a, a +1) 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) = g ( x) + m 有唯一解,试求实数 m 的值.

2

2

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成都市六校协作体高 2010 级第四学期期中试题

数学答案
一.选择题 1 C 2 A 7 A 8 D 二.填空题 13. 40 3 9 C B 4 A 5 D 6 B 10 D 14. 11 A 12 B

2 3

a?3 15 三.解答题
17. (1)

16. 1,2,4

1 5

------------6 分

(2)不公平 ------------12 分 18.若命题 P 为真,则 m>2; ------------3 分 若命题 Q 为真,则 1 ? m ? 3 ;----3 分 故 m 范围为 m ? 3,1 ? m ? 2 。----12 分 19. 解(Ⅰ)成绩落在[70,80)上的频率是 0.3,频率分布直方图如下图. --------------------------------------------------3 分 (Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60 分及以 上为及格) 为 1-0.01×10-0.015×10=75﹪ 平均分:45×0.1+55×0.15+65×0.15 +75× 0.3+85×0.25+95×0.05=71 --------------------------------------------------8 分 (Ⅲ) 成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学 生人数为 (0.03+0.025+0.005)×10×60=36 所以所求的概率为
0.03 0.025

频率 组距

0.015 0.01 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100

分数

18 ? 17 ? 15 ? 14 ? 3 ? 2 29 ? 36 ? 35 70

90 80

-----------------------12 分 20.解: 以 x 和 y 分别表示甲乙两人到达约会地点的时间 (以 分钟为单位) ,在平面上建立 xoy 直角坐标系,因为甲乙 都是在 0 到 60 分钟内等可能到达,所以这是一个几何概 型问题: 样 本 空 间 Ω =

70 60 50 40 30 20 10

40

20 10 20 30

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

? ? ?( x, y) : 0 ? x, y ? 60?

40 50 60 70

------------6 分
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事件 A=“甲乙将会面”= ( x, y) ?? : x ? y ? 20 所以 P( A) =

?

?

5 9

------------12 分

21.解: (1) f ( x) = ax3 + (2a - 1) x2 +1 在 x = - 1 处取得极值;
? f ?(?1) ? 3a ? 2 ? 4a ? 0 ,得 a = 2 .-------------------------------------3 分
(2)函数 f ( x) = 2 x3 + 2 x 2 +1,得 f ?( x) ? 6x2 ? 6x ,-------------------4 分

( x) = 0 ,即 6 x 2 + 6 x = 0 ,解得 x1 = 0,x2 = - 1 ;--------------------6 分 令 f?
- 1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时函数单调递增; 当 x ? ( ∞, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,此时函数单调递减; 当 x ? ( 1,
当 x ? (0, ∞) 时, f ?( x) ? 0 ,此时函数单调递增,--------------------------10 分

- 1) 及 (0, + ∞) 单调递减区间为 ( - 1, 0) ---12 分 ∴函数的单调递增区间为 (- ∞,

22. 解: (1)因为 f ( x) = 2 x -

'

8 ' ,所以切线的斜率 k = f (1) = - 6 .又知 f (1) = 1 ,则代入 x
------------3 分

点斜式方程有 y - 1 = - 6( x - 1) .即 y = - 6 x + 7 . (2)因为 f ( x) =
'

2( x + 2)( x - 2) ,又 x > 0 (定义域) , x

所以当 x > 2 时, f ' ( x) > 0 ;当 0 < x < 2 时, f ' ( x) < 0 .即 f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增, 在 (0, 2) 上单调递减; 又 g ( x) = - ( x - 7) + 49 ,所以 g ( x) 在上 (??,7) 单调递增,在上 (7, ??) 单调递减,
2

欲使函数 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 (a, a +1) 上均为增函数,

则?

?a ? 2 ,解之得 2 ? a ? 6 . ------------8 分 ?a ? 1 ? 7
2

2 ( 3 )原方程等价于 2 x - 8ln x - 14x = m ,令 h( x) = 2 x - 8ln x - 14x ,则原方程即为

h( x ) = m 。
因为当 x ? 0 时原方程有唯一解, 所以函数 y = h( x) 与 y = m 的图像在 y 轴右侧有唯一的交 点 又 h ( x) = 4 x '

------------9 分

8 2( x - 4)(2 x +1) ' - 14 = , 且 x > 0 , 所 以 当 x > 4 时 , h ( x ) > 0, 当 x x

0 < x < 4 时, h' ( x) < 0

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即 h( x) 在上 (4, ??) 单调递增,在上 (0, 4) 单调递减,故 h( x) 在 x = 4 处取得最小值,从而 当 x > 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m = h(4) = - 16ln 2 - 24 , 所以实数 m 的值为 - 16 ln 2 - 24 . ------------14 分

22 解 :( Ⅰ )

f? ( x) =

a(

x +1 ? f (1) ? 1 - ln x) b ? x - 2 , 由 题 意 知 : ? 1 即 2 ? ( x +1) x f (1) ? ? ? ? 2
------------4

?b ? 1 ? ?a 1 ?a ? b ? 1 ? b ? ? ? ?2 2
分 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 f ( x ) =

ln x 1 + ,所以, x-1 x

f ( x) ? (

ln x 1 1 ? )? x ?1 x 1 ? x2

? (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2ln x ? ? ? x ? ?

设 h( x) = 2ln x +

(k - 1)( x 2 - 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ,( x > 0) 则, h?( x) ? ------------6 分 x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,而 h(1) = 0 x2

⑴ 如果 k ? 0 ,由 h?( x) ?

1 h( x ) > 0 1-x 2 ln x k ln x k + ) > 0, 即 f ( x ) > + 从而,当 x > 0 时, f ( x) - ( ------------9 分 x- 1 x x-1 x 1 ) 时, (k ?1)( x2 ? 1) ? 2x ? 0, h?( x) ? 0 ⑵ 如果 k ? (0,1) ,则当, x ? (1, 1? k 1 h( x ) < 0 与题设矛盾; 而 h(1) = 0 ; h( x) > 0 得: ------------11 分 1-x 2
故,由当 x ? (0,1)时h?( x) ? 0,当x ? (1, ??),时h?( x) ? 0 得: ⑶如 果 k ? 1 , 那 么 , 因 为 h?( x ) ? 0 而 h(1) = 0 , ? x ? (1, ??) 时 , 由 h( x ) > 0 得 :

1 h( x ) < 0与题设矛盾; 1-x 2
综合以上情况可得: k ?? ??,0? ------------14 分

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