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2014江苏高考数学试卷(文科)


2014 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
参考公式: 圆柱的侧面积公式: S圆柱侧 ? d ,其中 c 是圆柱地面的周长,l 为母线长.. 圆柱的体积公式: V圆柱 ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。 1. 已知集合 A={-2, -1, 3, 4}, B={-1, 2, 3}, 则 A ? B=_______▲______ 2.已知复数 z =(5-2i) ( i 为虚数单位) , 则 z 的实部为
2





3.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 ▲ 4.从 1,2,3,6 这 4 个数中随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ 5.已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+ ? )(0 ? ? ? ? )它们的图像有一个横 坐标为

? 的交点,则 ? 的值是 3



6.如图所示树木的底部周长 (单位 cm) 在 ?8 0 ,1 3 0 图,则在抽测的 60 株树木中,有 木的底部周长小于 100cm.

? 的频率分布直方图如
株树

7. 在各项均为正数的等比数列 { a n } 中,若 a2 =1 ,

a2 ? 1, a5 ? a4 ? 2a6 ,则 a6 的值是 ▲
8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且

V S1 9 ? ,则 1 的值是___-_▲ V2 S2 4
2 2

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆 (x ? 2)? ( y ? 1) ? 4 截得的弦长为 __-_▲ 10.已知 f ( x ) = x +mx-1,若对任意 x ? [m,m+1], 都有 f ( x) <0 成立, 则实数 m 的取值范围是
2

▲ 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y= ax ?
2

b (a,b 为常数)过点 P(2,-5) ,且该曲线在 x


点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是

12.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3, AD ? 2, CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 , 则 AB ? AD 的值是 .
2

13 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? [0,3)时, f ( x) =| x ? 2 x ?

1 |.若函数 2

1

y= f ( x) -a 在区间 ?3, 4? 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ 14.若△ABC 的内角满足 sinA + 2 sinB=sinC,则 cosC 的最小值是 ▲ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

( ,?) 已知 ? ? ,sin ? = 2
? ?) 的值 4 5? ( - 2?) (2)求 cos 的值 6 ( (1)求 sin
答案: (1) -

?

5 5

?

10 10

(2) -

3 3-4 10

解:? sin ?

? 5 2 5 5 ( ,?) ? cos ? = ? 1 ? ( )2 = ? ,? ? 2 5 5 5
?
4 ? ?) =sin

( (1) sin

? ? 10 cos ? +cos sin ? = 4 4 10

( (2)cos
=-

? ? 5? ? - 2?) = ? cos( ? 2? ) =—(cos cos2 ? —sin sin2 ? ) 6 6 6 6

1 1 3 3 3 3-4 cos2 ? + sin2 ? = (1 ? 2 sin 2 ? ) + (2sin ? cos ? )= 2 2 2 2 10

16.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D, E, F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, 已知 PA ? AC, PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5 . 求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC .

2

17. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,F1 , F2 分别是椭圆 顶点 B 的

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, a 2 b2

坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C ,连结 FC . 1 (1)若点 C 的坐标为 ?

? 4 1? , ? ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; ? 3 3?

(2)若 FC ? AB ,求椭圆的离心率 e 的值. 1

18.如图,为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个圆形保护区,规划要 求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的 圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m .经测量,点 A 位于点

O 正北方向 60 m 处, tan ?BCO ? 点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处 ( OC 为河岸) ,
(1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

4 . 3

19.已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x ) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e
?x

? m ?1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3
a ?1

(3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? (1, ??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立,试比较 e 与e
e ?1

的大小,并证明你的结论.

3

20. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若对于任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得 Sn ? am , 则称 ?an ? 是“H”数列. (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n (n ? N *) ,证明: ?an ? 是“H”数列; (2)设 ?an ? 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ?an ? 是“H”数列,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 ?an ? ,总存在两个“H”数列 ?bn ? 和 ?Cn ? , 使得 an ? bn ? cn ( n ? N * )成立.

4


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